两个指对函数不等式的作用被低估了——读《教学考试》有感

陕西 蔡正文 彭 健

一、关于不等式ex≥ex的证明与应用

【例】(山阳中学2017届11月月考题)已知函数f(x)=ax2-ex(x∈R)．

(Ⅰ)当a=1时，试判断f(x)的单调性并给予证明；

(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1

(ⅰ)求实数a的取值范围；

解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=x2-ex在R上单调递减,证明如下.

因为f′(x)=2ax-ex，当a=1时，f′(x)=2x-ex，

又曲线y=ex过原点的切线是y=ex，

所以当x≤0时，f′(x)=2x-ex<0，

当x>0时，ex>2x，故f′(x)=2x-ex<0，

所以当x∈R时，f′(x)=2x-ex<0，

当a=1时，f(x)=x2-ex，f(x)在R上单调递减.

由(ⅰ)易知x1∈(0,1)，

即f(x1)在(0,1)上单调递减，故f(1)

评注：①巧妙利用不等式ex≥ex，可回避分类讨论和二次求导；

②利用这种方法比其他方法更便于发现极值点x1在区间(0,1)上，有利于(ⅱ)的证明；

③对于导函数是f′(x)=bex-ax形式的都可以用此方法来判断f′(x)的正负．

二、关于不等式的证明与应用

【例】已知函数f(x)=ax2+x(1-lnx)(a∈R)．

(Ⅱ)若f(x)有两个极值点．

(ⅰ)求实数a的取值范围；

解：因为f(x)的定义域为(0，+∞)，

(ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2，其中x1

由(ⅰ)知当x∈(0,x1)时,f′(x)>0;

当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0;

当x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0；

由(ⅰ)知x1∈(1,e)，

②利用这种方法比其他方法更便于发现极值点x1在区间(1,e)上，有利于(ⅱ)的证明；

③对于导函数是f′(x)=blnx-ax形式的都可以用此方法来判断f′(x)的正负．

三、应用举例

这两个不等式在解答某些高考题中也有一定的应用，下面结合近年课标卷高考题加以说明，仅供参考.

【例1】(2015·全国卷Ⅰ文·21)设函数f(x)=e2x-alnx.

(Ⅰ)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；

解：(Ⅰ)略.

评注：①此解法避免了出现导函数零点不可求的局面；

②也避免了设导函数零点后，代入原函数的较高技巧性；

(Ⅰ)求a,b；

(Ⅱ)证明：f(x)>1．

解：(Ⅰ)略.

因为不等式ex≥ex中取“=”的条件是x=1，

评注：①通过不等式ex≥ex>0放缩得到新函数φ(x)，它的导函数零点可求；

②从而问题就转化为证明新函数φ(x)的最小值大于零的问题；

③这种处理方法大大降低了原题第(Ⅱ)问的思维难度．