利用极限的计算来探求连续函数的极值点

揭 勋

(广东文理职业学院，广东 廉江 524400)

利用极限和函数在某点连续以及极值点的定义，可以探求连续函数的极值点，从而系统全面地解决连续函数的极值求解问题，这个方法思路一致且较易理解，可作为高校讲授函数极值问题的补充方法或后继课程.

1 关于一元连续函数的极值点

1.1 关于一元连续函数的极大值点

先看看一元连续函数的极大值及极大值点的定义[1]148.

定义1设连续函数f(x)在区间(a,b) 内有定义,x0∈(a,b), 如果对于x0两侧近旁的任意点x(x≠x0)，均有f(x)

我们知道，一元连续函数的极值点必然是驻点或不可导点，但驻点或不可导点则不一定是极值点.因此，结合一元函数在某点连续的定义[2]15,[3]29,[4]29及一元连续函数的极大值的定义，可得下面的结论：

上述结论也可描述为：

设点x0是一元连续函数f(x)的驻点或不可导点，在该点处，若Δx→0,则Δy→0-,即：

该结论把一元函数在某点连续的定义、极大值的定义和极大值点处的函数图像特征联系了起来，便于理解和记忆，依据该结论探求极大值点的计算过程也简单易行.

1.2 关于一元连续函数的极小值点

根据一元连续函数极大值点的上述判断方法，可以类似地判断一元连续函数的极小值点.

定义2设连续函数f(x) 在区间(a,b) 内有定义,x0∈(a,b), 如果对于x0两侧近旁的任意点x(x≠x0)，均有f(x)>f(x0) 成立, 则称f(x0) 是函数f(x) 的一个极小值, 点x0称为f(x) 的一个极小值点[5]66,[6]91.

故有下面的结论：

也可以表述为：

1.3 关于一元连续函数的非极值点

1.4 关于一元连续函数极值问题的例题分析

解：该函数的定义域为(-∞，+∞)

1)在x=1处，

2)在x=0处，

3)在x=2处，

故x=1是函数f(x)的极大值点，此时的极大值是1；x=0是f(x)的极小值点，此时的极小值为0；x=2是f(x)的极小值点，此时的极小值为0.

例2讨论函数f(x)=(x2-1)3+1的极值.

解：f(x)的定义域为R，f′(x)=6x(x2-1)2

故f(x)的驻点为x=-1或x=0或x=1，没有不可导点.

由于f″(x)=6(x2-1)(5x2-1)，

故f″(-1)=f″(1)=0,因此，若试图根据国内现行《高等数学》教材所介绍的方法：利用函数的二阶导数(即利用极值的第二充分条件[6]93)来判断驻点x=-1和x=1是否极值点，是不可行的.但我们可按本文介绍的方法来判断，事实上

在x=1处，

上式中，若Δx→0+，则其结果是0+；但若Δx→0-，则其结果是0-，故其结果无法一致统一为0+或0-，故x=1不是f(x)的极值点.同理，经过计算极限后可判断，点x=-1处也存在类似的结论，也不是f(x)的极值点；而x=0是极小值点，极小值为0.

2 关于二元连续函数的极值点

现行高校的教材对二元连续函数极值点的判断要借助驻点的二阶偏导数值来讨论[7]218(其重大缺点是不考虑不可微点)，才能判断驻点是否极值点，这种方法不可靠(会漏掉不可微点这类极值点)，只能求解某些函数的某些极值点.

我们可以参考上述一元连续函数极值点的判断方法，进行思路延伸，探索出二元连读函数[7]171的极值点的方法.

定义3设二元连续函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，若对于该邻域中任何不同于(x0,y0)的点(x,y)，成立不等式f(x,y)≤f(x0,y0) (或f(x,y)≥f(x0,y0))，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大(或极小)值，点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极大(或极小)值点.

我们知道，若二元函数z=f(x,y)在某区域内连续，则其图像一般是空间直角坐标系下的一个连续曲面，其极值点必然是驻点或一阶偏导数不全(或全不)存在的不可微点，反之，驻点或一阶偏导数不全(或全不)存在的不可微点不一定是极值点.在每个极大值点的某个邻域，函数z=f(x,y)的图像会从任意方向向极大值点处挤逼，形成图像在极大值点处向上突起的现象，该极大值点处的函数值为该邻域内函数的最大值；在每个极小值点的某个邻域内，函数的图像会从任意方向向极小值点处挤逼，形成图像在极小值点处向下凹陷的现象，可以形象地理解到，该极小值点处的函数值为该邻域内函数的最小值.若函数的某个驻点或一阶偏导数不全(或全不)存在的不可微点处不具有上述图像特征，则该驻点或不可微点必非极值点；若函数的某个驻点或一阶偏导数不全(或全不)存在的不可微点处具有上述图像特征，则该驻点或不可微点就是极值点.

受二元连续函数极值点处的图像特征及受二元连续函数极值点的定义[8]68启发，我们可以得出下列结论:

上述结论也可表述为：

同理，该结论也可表达为：

例3讨论函数z=f(x,y)=-x2+y3+6x-12y+10的极值点.

解：借助函数的一阶偏导数，可求得两个驻点(3,2)和(3,-2)，它们是该函数所有的可能极值点.

1)在点(3,2)处，

显然，上式的结果可能是0+，也可能是0-，故点(3,2)不是该函数的极值点.

2)在点(3,-2)处，

故点(3,-2)是该函数的极大值点，可求得极大值为35.

3 关于三元连续函数的极值点问题

这类问题，国内现行教材没有提及.依照前述探讨一元、二元连续函数极值问题的思路，可以得出求解三元连续函数极值的方法，以之作为相关知识的补充，可使学生的知识面得到系统性的加强.

根据三元函数在某点连续的定义及三元连续函数极值点的定义，得：

解：借助f(x,y,z)的一阶偏导数，可知点(0,0,0)是一阶偏导数全不存在的点，该点是函数唯一的可能极值点.在点(0,0,0)处，

故点(0,0,0)是f(x,y,z)的极小值点，易求得极小值是0.

4 关于n元连续函数的极值点问题

更有意义的是，利用极限和n元函数在某点连续的定义及极值点的定义，可以探求n元连续函数的极值点，可以系统全面地解决多元连续函数的极值求解问题，并为相关学科的相关计算提供可行的理论方法.这个方法思路一致且较易理解，可作为高校讲涭函数极值问题的补充方法或后继课程.

5 结语

极值是连续函数的重要性质之一，生产和科学实践中常遇到的最优化问题，就与函数的极值有着密切的关系.极值问题是高职院校《高等数学》和《经济数学》的教学重点和难点，但现行教材并没有全面系统地介绍多元连续函数极值的求解方法.本文论述的方法是：利用导数求出连续函数可能的极值点后，根据连续函数的特征及极值点的定义，借助极限的计算判断出连续函数的全部极值点并求得所有的极值，为相关问题的计算提供了可行的方法，且对一元及多元连续函数的极值求解具有思维方法上及计算方法上的一致性，容易强化知识点之间的联系，加强了学生对极值问题的系统性理解及发散性思维的培养，可以作为现行教材相关知识的必要补充或后继内容.