临界半线性波动方程解的有限时间破裂

汪海航，蒋红标

(1. 浙江理工大学 理学院， 浙江 杭州 310018； 2. 丽水学院 工学院， 浙江 丽水 323000)

0 引 言

(1)

其中初值满足

(2)

且p=pc(n),pc(n)为二次代数方程:

的正根，即

该问题为以下半线性波动方程小初值Cauchy问题(Strauss猜测)的拓展：

(3)

其中，n≥2,ε>0为小参数．已知结果表明，问题(3)存在一个临界指数p0(n),为下述二次方程的正根：

临界指标是指正实数p0(n)将(1,+)分成(1,p0(n)]和(p0(n),+)2个区间．当p∈(1,p0(n)]时，问题(3)不存在整体解；当p∈(p0(n),+)时，问题(3)对小初值有整体解．

此后，一些学者研究了问题(3)在外区域上的初边值问题，得到次临界情形、临界情形的若干破裂结果、生命跨度估计及超临界情形的整体存在性结果，相关进展可参考文献[15-20]．

最近，李卓然[21]研究了带次临界指标(1

本文主要研究带临界指标p=pc(n)的Cauchy问题(1)，证明了解将会在有限时间内破裂，主要结果如下：

定理1设n≥5,且初值f与g满足式(2)．假设问题(1)有解

(u,ut)∈C([0,T),H1(Rn)×L2(Rn)),

使得

supp (u,ut)⊂{(x,t): |x|≤t+R}.

文中，记号C表示常数，在不同的地方可表示不同的值．

1 预备知识

为证明本文的主要结论，需要应用以下引理：

引理1[9]设p>1,a≥1,且(p-1)a=q-2．t≥T0>0,若F∈C2([0,T))满足

F(t)≥K0(t+R)a,

(4)

且

F″(t)≥K1(t+R)-q[F(t)]p,

(5)

其中K0,K1,T0和R是正常数．当固定K1,存在C0>0且C0不依赖于T0和R,使得K0≥C0,则T<,即F(t)在有限时间内破裂．

为了叙述引理2，参照文献[9]引入试验函数：

(6)

且定义函数

ψ1(x,t)=φ1(x)e-t.

(7)

现引入2个泛函：

(8)

其中ψ1(x,t)为由式(7)定义的函数,u为问题(1)的解．u所满足的假设条件蕴含了F0(t)与F1(t)关于t连续可微．

(9)

引理3[21]设p>1，则

(10)

2 定理的证明

为了得到临界情形的破裂结果，采用文献[9]的方法建立一个关于非线性项的改进的下界估计．不失一般性,假设u(·,t)为径向函数．否则可定义

由达布公式可知：

其中,ω∈Rn为单位向量[22]．引入u关于空间变量的Radon变换：

(11)

其中,dSx为在超平面{x|x·ω=ρ}上的Lebesgue测度，容易证明R(u)仅依赖于ρ和t，而与ω无关.由式(11)和径向对称条件可得

令

(12)

这意味着R(u)(ρ,t)不依赖于ω．

由于u是问题(1)的解，显然R(u)满足一维波动方程:

R(|u|p(1+|·|2)α)(ρ,t),

(13)

由D’Alembert公式和假设条件:u的初始值是非负的，可得

R(u)(ρ,t)≥

(14)

注意到suppu(·,s)包含于半径为s+R、圆心为原点的球B(0,s+R)内，若|ρ1|>s+R，由于向量y垂直于单位向量ω，则可得

因此

R(|u|p(1+|·|2)α)(ρ1,s)=

即

suppR(|u|p)(·,s)⊂B(0,s+R).

(15)

由式(14)和(15)，得到

(16)

由式(10)可得

结合式(16)及ρ≥0，得到

(17)

下面引入函数f∈Lp(R)的一个变换：

(18)

注意到

其中M(|f|)为f的极大值函数．因此，存在C>0,

‖T(f)‖p≤C‖f‖p，

(19)

令

则有

(20)

当r≥ρ且1

(21)

(22)

由式(12)且注意到suppu(·,t)⊂B(0,t+R),可得

(23)

结合式(21)与(23)，有

(24)

由式(17)R(|u|)的下界，并结合式(24)及r≥ρ,得到

当ρ∈(0,t-R-1)时,显然存在常数Cn>0，对所有t>2(R+1),有

(t-ρ+R)≤Cn(t-ρ-R),

由此可得

(25)

由于p是满足式(1)的临界指数，即

(n-1)p2-(n+4α+1)p-2=0,

从而有

由式(25)，

(26)

由此，

根据上式，重新定义下界

C(t-R)n-1-(n-1)p/2+2αln(t-R-1-(t-R-1)/2)≥

C(t-R)n-1-(n-1)p/2+2αln(t-R)/2,

结合式(1)与式(8)，有

C(t-R)n-1-(n-1)p/2+2αln(t-R)/2，

(27)

可知，式(27)的下界较式(10)的下界多了一项lnt．

由于n-1-(n-1)p/2+2α≥0，当n≥4时,对式(27)积分2次，得到

F0(t)≥C(t-R)n+1-(n-1)p/2+2αlnt，

有

由于t充分大，显然

因此

F0(t)≥K0(t+R)n+1-(n-1)p/2+2α.

(28)

其中当t充分大时,K0>0为任意大数．结合式(9)与(28)，在引理1中取参数

a=n+1-(n-1)p/2+2α,
q=n(p-1)-2α，

即得对满足条件(p-1)[n+1-(n-1)p/2+2α]=n(p-1)-2α-2且p>1的p有p=pc,定理1成立.当p=pc(n)且初始条件满足式(2)时，问题(1)的解在有限时间内破裂．

3 α的取值范围

由式(22)中的条件可知α>0．下面验证

(29)

由pc(n)的表达式可知，式(29)等价于

即验证了式(29)．

另一方面，式(21)中要求1

即

3n-(4α+5),

亦即

综合可得