运用常数“1”巧证不等式

李宁

我們知道“1”是数学中一个最简单的数字，可就是这个看起来简单的“1”在数学的许多领域中起到了非常重要的作用，在高中数学课程中，不等式证明是一个难点，往往题目看起来一目了然、简单易懂，证起来却不知从何入手，下面我们通过几个典型例题针对含有常数“1”的这类不等式证明题目的方法作如下介绍：

一、利用 =

例1：已知 ， ，且 ，求证： .

分析： 等价于 ，而 ，

于是我们有， = =2.

二、利用已知题设表示“1”

例3：已知 ，且 求证： .

分析： ，

同理我们有， .

从而， .

三、利用变形转换“1”

例4、若 ，且 ，求证： .

分析：解法1：

.

解法2：利用 .

四、将常数拆成“1”

例5、 已知 均为正数，且

求证： .

分析： ，

.

五、巧用“1”分析等号成立条件

例6、已知 ，求证 .

分析：等号成立时有 ， ，

从而，

得 .

由上面的例题我们可以看到，从结论直接分析等号成立的条件，方法是多样的。许多不等式的证明，我们从正面看来很难下手时，这时我们可以从结论开始分析等号成立的条件，往往会起到“柳暗花明又一村”的效果.

不等式证明当中含有常数“1”的这类题目，我们归纳了以上五种证明方法，这五种方法的共同特点就是活用“1”、巧用“1”，换句话说，“1”是这类题目的突破口.我们只要抓住了这个“1”，题目的证明就轻而易举了