高中数学解题中应用数形结合思想的实践探索

朱斌

摘 要 在高中数学教学中应用数形结合思想能够帮助学生更好的理解初中数学知识，引导学生更好的将理性思维上升为感性思维，提升学生数学学习成效。为此，文章结合湘教版高中数学教学实例，具体分析数形结合思想的实践策略，旨在更好的促进学生数学学习。

关键词 高中数学；数形结合；实践教学

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）04-0216-02

数形结合思想方法是高中数学教学中常用的解题思想，具体内涵是将抽象数学语言和形象直观几何图形结合在一起开展数学教学，目的是在代数知识和几何知识相互转化的过程中将抽象、复杂的数学问题变得直观、形象，进而更好的促进学生数学学习。数形结合方法在高中数学教学中的应用范围很广，体现在解析几何、三角函数、排列组合等方面内容。为此，文章对数形结合方法在高中数学教学中的应用问题进行分析。

一、数形结合思想在数列学习中的应用

数列是一种特殊的函数类型，数列问题的解答需要应用数形结合思想，即在学习的过程中学生不仅需要掌握各个数列公式，而且还需要了解数列和函数之间的关系。比如在湘教版高中数学学习中有着这样一道数学题：“假设等差数列an的前n项和是Sn，其中a3=12，S12>0，S13<0，求S1—S12中的最大值，说明原因。”解答：根据题意了解到数列an是等差数列，假设Sn=An2+Bn（A、B分别是常数，其中A≠0，）解答得出Sn的图像是分布在二次函数y=Ax2+Bx上的图像，图像经过坐标原点，根据题目中给的条件S12>0，S13<0，由此能够得出y=Ax2+Bx图像上存在的两点，分别是（12，S12），（13，S13），它们的位置一般在x轴上上方和下方，同时能够得到二次函数的图像开口朝下，图像经过原点，具体图像如图1所示，假设函数图像和x轴的另外一个交点是（m，0），12

在学习这道题目的时候，教师不仅要引导学生记住各个函数的公式，而且还需要理解数列和函数之间的关系问题，通过数学结合思想的应用有效解决这个问题。

二、数形结合思想在集合学习中的应用

集合是高中数学学习的基础内容，数学结合思想在高中集合学习中的应用能够对内外联系问题进行准确的表达，提升学生解答集合问题的质量和效率。基于数形结合思想集合问题的解答能够将数量关系以方程图形的方式表现出来，之后通过解答方程来得到答案。在集合类型题中，对于一些解答比较复杂的题目可以采用抛物线的方式来解答。比如在湘教版高中数学学习中有这样一个题目：已知有两个集合分别是M={（x，y）x2+y2=1，x∈R，y∈R}求解集合M∩N中存在几个元素？对于这种集合类型题的解答一般会选择简单的数量关系，即通过将两个方程合并成方程组的形式进行解答，在解答之后得到x和y的数值。这种解题方式比较复杂。数形结合思想在解题中的应用能够将方程x2+y2=1比作一个圆，将方程x2-y=0表示成一个抛物线，通过这种方式能够题目变成x2+y2=1代表的圆和x2-y=0代表的抛物线之间有几个交点的问题，借助图形转换方式能够得到正确答案，提升自己解答问题的效率。

另外应用数形结合思想解决集合问题还有一种方式是指将抽象的代数关系转变为具体的图形，能够加强学生对集合知识的直观理解。和韦恩图相比，数轴主要是处理一些比较模糊的集合问题在。集合以不等式形式存在的时候，可以利用数轴解决他们的交集、并集、补集问题。比如已知集合A={x 00，2a<5的结论，求解之后得到0

三、数形结合思想在不等式中的应用

数形结合方法解决不等式问题的基本思路是需要写出相应不等式代表的函数，之后画出函数图形。通过观察图像和坐标交点以及图像和图像之间的交点解决不等式问题。文章以湘教版高中数学数形结合证明不等式为例具体分析数学结合方法在不等式中的应用。有这样一道题目：假设关于x和y的不等式组2x-y+1>0，x+m<0，y-m>0代表的平面区域内存在点p（x0，y0），能够满足x0-2y0=2，求m的取值范围。解答如下：建立平面直角坐标系，之后将题目给出的已知条件和结论以图形的方式画出，在现行的区域范围内存在m<-2m-1，加上要求可行区域内的直线y=1/2x-1上的点，如果边界点在直线的上方，那么（-m，m）在直线y=1/2x-1，下方就能够得到结论，最终得到不等式組m<-2/3.对于这道题目的解答，如果解答是从解不等式入手，在具体解答的时候比较复杂，通过应用数形结合思想能够提升题目解答效率，简化了数学学习。

四、数形结合思想在三角函数中的应用

高中数学应用数形结合方法解答三角函数问题主要分为运用数形结合求三角函数的值域、运用数形结合解决有关三角函数的证明问题几种类型。数形结合思想在三角函数教学中的应用能够提升解题效率，促进学生的数学学习。在湘教版高中数学三角函数学习中有这样一道数学题：“已知三角函数y=sinθ+2/cosθ-3，求解值域”，具体解题：将函数变形为y=sinθ-（-2）/cosθ-3，这个时候可以将函数y看作是一个固定点M（3，-2）和一个动点p（cosθ，sinθ）之间连线的斜率k进行考虑，假设x=cosθ，y=sinθ，根据三角函数公式sin2θ+cos2θ=1，得到x2+y2=1，得到出动点p运动轨迹代表半径为1的圆，因而能够将问题转变为求顶点M和单位圆上任意一个点p连线斜率k的取值范围。在整合之后得到方程kx-y-3k-2=0，根据图2得出：圆心到直线的距离≤1，列出式子|-3k-2|/〖√k〗^2+（-1）2≤1，求出k的值的集合是函数的值域，通过属性转换，问题能够得到有效解决。

五、数形结合思想在解析几何中的应用

和代数的抽象知识相比，几何图形的学习呈现复杂的情况。为此，在高中几何图形教学中，教师可以适当应用数形结合思想，将空间和图形有效结合，从而为学生的数学学习提供更加的便利，加强学生对解析结合问题的理解和认识，应用属性结合思想解决解析几何问题的时候要按照以下几个步骤进行：第一是应用方程代数式表示题目图形；第二是对题目中的方程或者代数进行变形、讨论；第三是将方程或者代数计算结果转变为几何语言。比如在湘教版高中数学中有这样一个题目：已知在坐标系中有两个图形，一个是椭圆，方程表达是x2/a2+y2/b2=1，一个是圆心在坐标原点0的圆，半径是〖√a〗^2+b2，椭圆的短轴长是2，离心率是√6/3，求解椭圆和圆的方程。解答：根据题意画出如图4所示的图形，根据图形来寻找解题方式。根据已知条件得出a=√3，c=√2，求解出椭圆方程和圆的方程。

六、结语

综上所述，数形结合解题思想是数学解题中常用的解题方法，在具体应用中能够将抽象的知识具体化，降低学生数学学习难度，促进学生对数学知识的掌握和理解，提升学生数学学习效率，为此，在高中数学教学中需要教师结合数学教学实际，将数形结合思想充分应用到其中，从而更好的促进学生数学学习。

参考文献：

[1]谢添威.数形结合思想在高中数学解题中的应用探析[J].文理导航（中旬），2018（02）：17.

[2]李墨涵.数形结合思想在高中数学解题中的运用探讨[J].考试周刊，2018（12）：78.

[3]吴涛.初探高中数学解题中的数形结合思想[J].数学学习与研究，2018（01）：129.