基于NURBS曲面建模的三维空泡形态计算方法

张 春,王宝寿

(中国船舶科学研究中心 水动力学国防科技重点实验室,江苏 无锡 214082)

空泡减阻是一种革命性的减阻技术,也是实现水下航行体高速化的重要途径[1]。在空泡减阻问题研究中,对空泡外形轮廓的准确描述是设计航行体水下超空泡航行的重要依据[2],当水下航行体高速运动或人工通气形成空泡时[3],其空泡形态会直接影响水下航行体的流体动力,因此空泡形态研究是超空泡航行体设计与应用的关键所在。

由于空泡流动的复杂性,目前还没有能够准确描述空泡形态的物理公式,其计算方法主要包括经验公式、Logvinovich原理[4]、势流理论的边界元法以及求解RANS方程的多相流方法等[5]。对于经验公式和Logvinovich原理,研究对象大都是基于空化器产生的二维轴对称超空泡[6-8],事实上,由于航行体几何物面的存在,空泡可能会由于空化数、攻角等原因直接闭合在物面上,从而形成航行体的局部空泡流型或非轴对称空泡,这就超出了二维空泡形态研究的范畴。凭借精细化的流场信息捕捉和空泡形态预示能力,势流理论的边界元法和求解RANS方程的多相流方法被广泛用于三维空泡形态的研究中。例如,周景军[9]采用基于速度势的奇点面元法计算了超空泡形态;黄海龙等[10]用CFX软件针对三维圆盘空化器在不同空化数下进行超空化流动数值模拟;邢彦江[11]在Fluent软件的基础上进行二次开发,实现了航行体运动方程与空泡控制方程的耦合求解。然而在具体工程应用中,这两种方法的计算成本都相对较高,因此很有必要进一步探索用于航行体三维空泡形态计算的工程方法。

国内最早开展该问题研究的应该是中国船舶科学研究中心的顾久渊[12]。1999年,他假设每一个空泡截面的膨胀可用修正的球泡方程来描述,而弹体坐标系中空泡截面本身的横向平移速度与横向来流速度相同,在此基础上提出了三维空泡形态计算方法。李雨田等[13]提出以航行体空泡流型为主导进行超空泡航行体流体动力设计,空泡流型则根据航行体外形与空泡外形匹配关系得到。程少华等[14]结合Logvinovich原理对航行体带攻角状态下垂向运动的非定常空泡进行了模拟。这些工作为航行体的三维空泡形态研究做出了贡献,由于没有对航行体和空泡面进行参数化建模,只能用公式描述空泡横截面与航行体物面的相对位置关系,这给处理空泡面闭合问题带来很大的困难,而且也很难适用于具有复杂几何外形的航行体。

对于充分发展的空化,可以假定航行体物面只影响空泡面的闭合,并不会改变空泡截面的扩展规律。本文将Logvinovich原理与NURBS方法结合,通过航行体和空泡面的NURBS曲面参数化建模和求交运算得到航行体的三维空泡形态,并分别就轴对称型定常空泡、小攻角引起的非轴对称型定常空泡以及航行体竖直向上运动过程中的非定常空泡进行了模拟。

1 数学模型

1.1 小攻角下的定常空泡

假设航行体在理想无界流体中以小攻角α、速度v0作匀速直线运动,圆盘空化器半径为Rn,流体密度为ρ。以航行体中心顶点为原点分别建立惯性坐标系XOY和弹体坐标系xoy,并以初始时刻为零点建立时间轴t,如图1所示。取τ时刻航行体所通过的截面为观察截面,则此观察截面内的物理参量在任意时刻的值可记作为φ(τ,t)的形式。

当攻角α较小且忽略重力影响时,空泡截面可以近似为圆形。将航行体运动速度按照攻角分解为竖直方向和水平方向,假设航行体竖直运动对空泡截面的圆心位置和扩展规律没有影响,只可能会影响到空泡面的闭合。因此,水平方向上可以使用Logvinovich空泡截面独立膨胀原理,即空泡截面面积S(τ,t)与内外压差Δp(τ)满足微分方程:

(1)

1.2 垂直运动的非定常空泡

假设有一半径为Rn的平头航行体在忽略自由面效应的重力流体中作竖直运动,以竖直向上运动产生的垂直超空泡为例,如图2所示。建立如图所示的惯性坐标系XOY和弹体坐标系xoy,并以初始时刻为零点建立时间轴t,取τ时刻航行体所通过的截面为观察截面。

根据运动学关系,观察截面在惯性坐标系XOY中的X方向坐标X(τ)和在弹体坐标系xoy中x方向坐标x(τ,t)分别为

(2)

(3)

根据Logvinovich空泡截面独立膨胀原理,航行体垂直运动时产生的非定常空泡扩展规律如式(1)所示。与航行体小攻角运动时产生的定常空泡不同,垂直运动过程中航行体运动速度和空泡截面内外压差是非定常变化的。假设大气压力为pa,空泡内压恒为pc,当考虑重力加速度g的影响时,空泡截面内外压差Δp(τ)=pa+ρgX(τ)-pc。

2 NURBS方法

NURBS方法[15]也称非均匀有理B样条方法,是一种用参数矢函数表述曲线或曲面的方法,其曲面表达式为

(4)

式中:ωi,j为权因子,di,j为控制点,Ni,g(u)和Nj,h(v)为B样条基函数,可根据de Boor-Cox递推得到。

使用具有解析解的圆球表面对NURBS方法进行了验证。参照相关文献,采用9×5个控制点以及对应的权因子确定了圆球表面NURBS表达式,并计算出圆球表面上的几何坐标,如图3所示。球面取4×4个面元,每个面元上的高斯点取6×6个,计算出圆球表面面积为12.566 370 4,与理论值的相对误差为0.000 001 59%,计算结果与理论结果吻合很好,说明用NURBS表达物面几何量具有很高的精度。

选取常见的锥柱组合型航行体和圆柱航行体为建模对象,尺寸参数分别来自文献[2,16]。以锥柱组合体为例,由于航行体中的空化器、导流碗等部分的尺寸相对很小,在物面建模过程中予以忽略,如图4所示。

3 航行体的三维空泡形态计算

3.1 轴对称型定常空泡

对于定常空泡,空化数是决定空泡形态的唯一相似参数,图5为不同空化数下的航行体轴对称空泡形态。

可以看出,当空化数较小时,空泡形态对空化数的变化非常敏感,且空泡长度随着空化数的减小明显增大,而空泡最大直径的增加速度相对缓慢,说明随着空化数的减小,空泡的长细比越大。相对于单一圆盘空化器产生的超空泡而言,航行体的空泡形态计算考虑了几何物面的影响,这使得空泡形态表现出了一些不同的特性。对于自由闭合空泡流型,即物面全部被空泡面包络的情况,2种空泡形态区别不大,这也是符合实验结论的,因此这种情况下可以忽略航行体物面,只考虑空化器的作用;但对于局部空泡流型,航行体空化器产生的空泡会直接闭合在物面上,这使得航行体空泡长度相对短一些,但基本不会影响到空泡的最大直径。

3.2 小攻角引起的非轴对称型定常空泡

空化数为0.1时不同攻角下的航行体空泡形态如图6所示。从图中可以看出,对于闭合在航行体物面上的局部空泡流型来说,α=-1.5°和α=1.5°两种工况下的空泡形态关于xoz平面对称,说明了计算方法的合理性。同时,攻角的存在使得空泡流型呈现出非轴对称特征,当航行体以正攻角航行时,航行体迎流面的空泡面面积小于背流面的空泡面面积,即迎流面的沾湿面面积要大于背流面的沾湿面面积;当航行体以负攻角航行时,则反之。物面迎流面和背流面沾湿面积的不同直接导致了航行体表面压力分布的非对称性,随着航行体攻角的增加,迎流面的空泡闭合位置不断前移,背流面的空泡闭合位置则不断后移,因此作用在柱段的流体动力也会发生变化。在工程应用时,可利用切片法根据沾湿面分布估计出航行体的流体动力,对航行体的初步设计有一定的指导意义。需要说明的是,对于锥柱组合型航行体,锥柱接合处的物面曲率存在突变,这可能会使得肩部产生空化器效应,从而在物面产生新的附体空泡,本文的数学模型不能模拟出这一流动现象。

图7是攻角为1.5°时不同空化数下的航行体空泡形态。可以看出,对于自由闭合空泡流型,小攻角虽然对空泡形态有一定影响,但航行体仍然处于被包络状态,沾湿面面积为0,因此对航行体的受力情况影响不大。对于局部空泡流型,由于物面的作用,小攻角对空泡形态有显著的影响,可以明显改变航行体的沾湿面分布情况,从而改变航行体所受的流体动力。此外,在同一个攻角下,迎流面与背流面空泡闭合位置的距离会随着空化数的增加而减小。

3.3 竖直向上运动时的非定常空泡

胡俊辉[16]使用高速摄像得到了航行体在出水过程中的空泡形态变化规律,本文选择其中长细比为6的平头航行体(2#模型)为对象。2#模型是圆柱型航行体,实验中测量的空泡也是轴对称的,可以简化为二维情况,这里使用三维空泡形态计算是为了进一步验证方法的可行性。

根据航行体水中速度和位移的实验测量曲线分析得到,航行体在水下阶段可以近似为匀减速运动,过程持续时间为5 ms,其中约在2.25 ms后空化得到了充分发展,计算参数如表1所示。表中,Rn为航行体半径,L为航行体长度,m为航行体质量,h0为航行体初始浸深,v0为航行体初速,a为航行体运动加速度。

表1 计算参数

图8为航行体竖直向上运动过程中非定常空泡的演变过程。可以看出,空泡经历了生长和缩小这两个演化过程,初始时刻时航行体高速入水,超空泡逐渐形成,而后随着速度的急剧减少,空泡长度也逐渐减小。

图9为航行体位移、空化数、空泡长度以及空泡直径计算值与实验值的对比。从位移和空化数的对比曲线来看,计算值与实验值吻合很好,说明使用匀减速运动近似较为合理。由于航行体运动过程中速度急剧减小,空化数随时间呈单调增加趋势,航行体的空化数变化范围较大,因此不能直接根据前述公式计算系数A(τ)。这里将系数A(τ)取为经验常数2,所得到的空泡长度和空泡直径计算值与实验值存在一定差距,一方面可能是因为Logvinovich原理基于势流理论得到,没有考虑到多相流、湍流等影响,并且计算模型中的经验参数A(τ)对结果有重要的影响;另一方面可能是实验测量中存在的误差。

4 结论

将Logvinovich原理与NURBS方法结合,通过航行体和空泡面的NURBS曲面参数化建模和求交运算得到航行体的三维空泡形态。分别就轴对称型定常空泡、小攻角引起的非轴对称型定常空泡以及航行体竖直向上运动过程的非定常空泡进行了模拟,得出了以下结论:

①对于自由闭合空泡流型,可以只考虑空化器的作用;对于局部空泡流型,空泡会直接闭合在物面上,这使得航行体空泡相对于单一圆盘空化器产生的超空泡短一些,但基本不会影响到空泡的最大直径。

②攻角使得空泡流型呈现出非轴对称特征,对于局部空泡流型,当航行体以正攻角航行时,迎流面的沾湿面面积大于背流面的沾湿面面积;当航行体以负攻角航行时,则反之。此外,随着航行体攻角的增加,迎流面的空泡闭合位置不断前移,背流面的空泡闭合位置则不断后移。

③对于自由闭合空泡流型,小攻角对航行体的受力情况影响不大;对于局部空泡流型,小攻角对空泡形态有显著的影响,可以明显改变航行体的沾湿面分布情况。同一个攻角下,迎流面与背流面空泡闭合位置的距离会随着空化数的增加而减小。

④对于Logvinovich原理,空化数越小,其计算值越接近实验值,当拓展到空化数较大的情况时,经验系数A(τ)的选择比较关键,计算值与实验值也可能存在较大差别。

本文提出的方法可以有效地用于航行体三维空泡形态计算,并且可视化程度高,对超空泡航行体尤其是复杂外形超空泡航行体的设计具有一定的工程应用参考价值。

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