小学数学典型错例分析及矫正策略

数与代数

【错例】

一辆汽车行驶10千米耗油0.8升，平均每千米耗油多少升？平均每升油能行驶多少千米？

每千米耗油：10÷0.8=12.5（升）

每升能行驶：0.8÷10=0.08（千米）

【诊断】

1.数量关系的建构缺失。新教材没有采用系统的应用题编排方式，而是把解决问题教学与各部分知识的教学有机地结合在一起，淡化了应用题解题方法的训练，淡化了数量关系的概括。

2.“平均分”的要领不清。低年级在教学“平均分”时，特别注重以下两个问题的研究：一是什么叫平均分；二是怎么平均分。主要采取动手操作的教学方式帮助学生理解平均分的意义，获得平均分的方法，求得平均分的结果，引进除法算式。而对平均分的要领——把“什么东西平均分”“平均分成几份”却研究得不多，这恰恰是解决上述几个问题的关键。

3.大数除以小数的负迁移。学生在低、中年级所接触到的用除法解决的问题，都是用“大数除以小数”列式计算，从来没有出现用“小数除以大数”的现象。长此以往，学生在不断地练习中，逐渐形成这样一种条件反射——当发现需要用除法解决问题时，根本不加考虑，直接用“大数除以小数”列式计算。

【对策】

1.关注平均分的过程。在教学“平均分”时，我们不能把目光仅仅停留在理解“什么叫平均分、怎样平均分”上，而要重点研究“把什么东西平均分”“平均分成几份”。在指导学生进行每一次平均分的过程中，不断引导学生体会平均分时必须搞清楚这两个关键问题。

2.建构平均分的模型。注重研究平均分的现象，透过现象抽象出具有一般规律性的知识，并加以总结、提炼，适时形成数量关系。同时帮助学生把教材中分散编排且未对数量关系进行整理的“解决问题”加以分析，及时进行必要的梳理与整合，使学生较好地理解和掌握“平均分除法”数量之间的内在联系，引导学生建构“平均分除法”的数学模型。

3.抑制负面条件反射。在解决平均分问题时，教师可以随机出现“大数除以小数”或“小数除以大数”的平均分现象，甚至还可以不出现数据，直接用文字叙述。用这样的方式引导学生关注平均分的过程，体会用算式表示的方法。通过只列式不计算的策略，可以有效避免学生计算上的困难，并及时引进“小数除以大数”的算式。这样“大数除以小数”或“小数除以大数”的算式反复呈现，破坏学生对“大数除以小数”等于平均分的非本质属性的建立，使其无法形成条件反射，从而避免负迁移对小数除法乃至分数除法的干扰。

【错例】0.5和0.9之间有（无数）个一位小数。

【诊断】

“熟”生“笨”。学生因为经常进行机械重复的练习，使得连题目都不用仔细看就知道了“答案”，造就了一批因“熟”生“笨”的学生。学生经常做类似“0.3和0.4之间有无数个小数”的题目，那么0.5和0.9之间肯定也有无数个小数。学生在潜意识中就将“一位小数”偷换成了“小数”。

【对策】

重视题组教学。设计练习时不能只关注量的积累，更重要的是要多采用同素材、异解题的题组训练，引导学生在思中感悟，在辨中明理，理解对比题组之间的区别与联系。比如出这样一组对比题：

（1）0.5和0.9之间有（ ）个小数。

（2）0.5和0.9之间有（ ）个一位小数。

将这两道题进行对比，题（1）没有规定小数的位数，所以应填“无数”。而题（2）明确规定只能找一位小数，符合要求的只有0.6、0.7、0.8三个小数，所以应填“三”。

【错例】

【诊断】

1.对运算定律和性质理解不透。学生在新学时，由于练习题型单一，大量的简单模仿使学生忽视了对运算律或性质的实质性把握，内涵理解不够彻底，所以到了综合运用时出现误判，导致错用运算定律和性质。

2.强烈的简算预期干扰了运算。长时间计算优化意识的培养，学生容易见到算式就观察数字特点，千方百计地使用简便算法，从而弱化了运算的限制条件，加大了学生的误判。

【对策】

1.结合生活情境加深对运算律或性质的理解。在教学中要借助数学知识的现实原型，着力引导学生将简便计算应用于解决现实生活中的实际问题，同时注意解决问题策略的多样化。如理解减法性质：可以结合生活中的付钱问题，设计“先付前一样物品的钱”“先付后一样物品的钱”“两样物品一起付钱”等问题，让学生借此解决实际问题，理解所学运算定律，构建运算定律模型。

2.用自己的语言多角度理解运算律或性质。现行的教材没有对运算律进行完整意义上的描述，把归纳、总结交给了学生。学生可以根据自己的知识经验理解，但不能仅仅满足于用字母表示运算律，而是要多角度理解其内涵，把新知重组到自己的知识体系中去。

【错例】

【诊断】

1.知识负迁移产生错误猜想。学生在学习了乘法分配律之后，计算类似45÷9-27÷9时，尝试着把算式写成（45-27）÷9，发现这样改写是成立的，于是他们认为类似也是成立的，从而猜想“除法分配律”的存在。

2.凑整的“条件反射”导致忽视运算顺序。在数学学习中，一些具有特殊性的表现形式往往成为学生感受信息刺激强弱的干扰因素。观察，学生把注意力集中在了算式的凑整上，忽视了整体的运算顺序。

【对策】

1.指导学生经历由猜想到验证的过程。学生从乘法分配律猜想“除法分配律”是很自然的事，教师应该引导学生进行验证，在这个过程中不断明确两者的区别，让负迁移成为学生正确进行简便运算的教学资源，帮助学生避免受知识负迁移的影响。

2.培养学生的整体意识。教师在新授教学中，应有意识地强化“弱刺激”(算式整体)，引导学生予以注意，并积累辨别经验；在指导学生观察时，应注意引导他们将整体印象与细节观察相互补充，以区别类似“25×4÷25×4”和“(25×4)÷(25×4)”等不同算式。

【错例】把5米长的铁丝平均截成6段，每段长米，每段是这根铁丝的（）。

【诊断】

1.与原有认知产生冲突。一般来说，如果总数比份数大，学生都能快速和准确地求出每份数。比如把8米长的铁丝平均分成4份，那么每份是8÷4=2（米）。一旦变成总数比份数小时，比如“把5米长的铁丝平均截成6段”，学生往往会无从下手。这说明学生对“每份数=总数÷份数”还是掌握的，问题出在总数和份数的数字大小与学生原有认知产生冲突。

2.没有完全理解分数意义。学生不能准确理解哪个问题求的是分率，哪个问题求的是具体数量，“每段长（ ）米”是每份数的具体数量，“每段是这根铁丝的（ ）”是每份数与总数量的比较关系，即分率。

【对策】

1．区分分率和具体数量。分率是反映两个数量之间的比较关系，后面没有单位名称，表示具体数量的分数后面有单位名称。在教学中，可以这样引导学生区分：“每份占总量的几分之几”“甲是乙的几分之几”表示的是分率。求分率首先要有标准量，如上面的“总量”“乙”就是标准量。“每段长几分之几米”“每份是几分之几千克”表示的是具体数量。问题一“每段长多少米”求的是具体数量。把5米平均分成6份，列式就是5÷6＝问题二“每段占全长的几分之几”，求的是分率。以钢管的全长为标准，把1个整体平均分成6份，每份就是

2．数形结合理解题意。此类题目可以通过画图等数形结合的方法来解决，学生比较容易理解。

【错例】

一堆7吨的煤，如果每天用煤量相同，4天烧完，其中3天烧的占这堆煤的（）。

【诊断】

1.知识的负迁移影响。平时简单、机械、重复的练习使学生忽视了问题的本质特征，被问题的非本质特征所迷惑，形成片面经验：求谁是谁的几分之几，就是把条件中出现的两个数写成分数的形式。

2.多余条件干扰。一般“求一个量是另一个量的几分之几”时，问题中两个量在条件中都是已知而且是唯一的，而这里的“7吨煤”对学生的思考形成了干扰。

【对策】

1.用分数的意义正迁移。“求一个量是另一个量的几分之几”是基于分数意义基础上的教学。因此，在教学用分数表示两个量的关系时，应架设“桥梁”把这个知识点实施正迁移，把“求一个量是另一个量的几分之几”纳入分数意义的认知结构，从而实现知识的正迁移。

2.加强比较，厘清认识。教师应注意变换练习题的形式，可以增加对比题，使学生厘清知识间的异同点，不被非本质特征所迷惑。如设计以下题组进行对比练习：

（1）甲堆煤有9吨，乙堆煤有7吨，乙堆煤质量是甲堆煤质重量的（ ）。

（2）一堆煤有9吨，第1天用去3吨，第2天用去2吨，第2天用去这对煤的（ ）。

（3）一堆9吨的煤，如果每天用煤量相同，5天烧完，其中3天烧的占这堆煤的（ ）。

【错例】

水果批发市场运来两批苹果，第一批运来吨，比第二批少运来吨，一共运来苹果多少吨？

错解一：

错解二：

【诊断】

1．受到思维定势的影响。长期受惯性思维定势的影响，认为“多”就加，“少”就减，根本不理解题目的意思。

2．缺少数量关系的分析。比第二批少运来吨，说明第一批少，第二批多，要求第二批有多少吨，必须用第一批的吨加上少的吨，而不是用吨减去少的吨。

【对策】

1．加强审题习惯培养。提醒学生看清题意，不要简单地认为“多”就加，“少”就减，应加强对审题习惯的培养。

2．引导分析数量关系。要求一共运来多少吨，必须知道第一批和第二批各运来多少吨，根据题意，已知第一批运来吨，再根据比第二批少运来吨，求出第二批有多少吨，然后才能用“第一批运来的吨数”加“第二批运来的吨数”。

3．重视数形结合思想。平时加强数学思想方法的渗透，本题可用数形结合以及转化的数学思想方法进行教学。学生可以用画线段图的方式来帮助理解题意，哪个量多，哪个量少，通过画图一目了然，培养学生画图的习惯。

【诊断】

1．这类题本身比较难理解。源于“求一个数比另一个数多（少）百分之几”实际上是一个“省略型”句式，即“比较量”与“标准量”比较隐蔽。

2.学生没有理解百分数的意义。问题中“谁是谁的百分之几”搞不清楚，或者无法正确地理解问题的本质。

3.学生审题不仔细。凭感觉认为只要把两个量相除就能得到分率，没有细细推敲这里的单位“1”是哪个量，就草率列出“50÷200=25%”这样的算式。

【对策】

1．理解百分数意义。这是“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的实际问题，难在如何正确地理解“多（少）百分之几”，明确其指的是哪两部分相比。不但要使学生明确“多（少）百分之几”是一个“省略型”句式，而且要让学生知道“省”在哪，为什么这样“省”，体会到“多（少）百分之几”表述的合理性。

2．结合生活原型。求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题，涉及对两个量的双重比较，既有差比，也有倍比。因此在教学中要突出比较，在比较中让学生体验到新知学习的必要性。新课教学时最好选择学生比较熟悉的比较原型，如商品降幅，少选用工农业生产中出现的问题，借助生活原型帮助学生理解数学模型存在的现实意义，了解这类问题的结构特征之后，再来解决其他对于学生来说比较生僻的工农业生产中的问题。

3.追问揭示本质。锻炼学生数学语言表达的能力，如上述题中，问题“降低了百分之几”还可以怎么问？是哪两部分相比？如何把省略句中的省略成分补充进去，使之成为完整句？为什么要这样补充？这些追问可以让学生深刻理解这种语言表达方式的真正含义。

【错例】

一种商品现在售价200元，比原来降低了50元，比原来降低了（C）。

【错例】

（1）用长42厘米、宽28厘米的长方形纸片拼成一个正方形（中间没空隙），最少需要多少张这样的纸片？

（2）现有一张长42厘米、宽28厘米的长方形纸，要把它剪成大小相同的正方形且无剩余，正方形的边长最长是多少？

错解1：将算出来的42与28的最大公因数与最小公倍数直接当成问题的答案。

错解2：两道题的解题思路相反，即第一题求两数的最大公因数，而第二题求两数的最小公倍数。

【诊断】

1.从教师层面分析。一方面觉得概念教学与问题解决放在一起教学难度增大；另一方面认为公因数（公倍数）是为约分（通分）服务的，为以后的分数计算服务。课堂中往往将公因数（公倍数）的应用仅仅停留在几个数的关系上，也有教师直接从概念出发进行教学：如出示42和28请学生先找出他们的因数，再找一找哪些因数是公有的，谁是最大的。学生缺乏对于公因数（公倍数）概念的感性认识基础，碰到需要用公因数（公倍数）解决问题的时候就不大清楚了。

2.从学生层面分析。对于学生来说，理解公因数（公倍数），找两个数的公因数（公倍数）并不困难，难的是拿到一道题后，如何判断这题该用什么知识来进行解答。从错解1中可以看出有一部分学生凭生活经验或者说是数学的直觉，知道用公因数或公倍数的知识来解答，但是对于求出来的公因数和公倍数是题目中的哪个量并不清楚，导致了错解。

【对策】

1.重视概念的比较。引导学生从最大公因数与最小公倍数的概念、方法与应用等方面进行比较，促使他们认清本质。

2.重视概念的感悟。在教学公因数、公倍数时，充分合理地利用教学资源，注重学生的动手操作，使他们在解决问题的过程中获得感悟，为抽象概念提供感性认识的基础。

3.重视数与形的结合。就该题而言，教师可以利用画图的方法，帮学生建立起数与形的空间联系。教学分析时，可引导学生将两题所表达的意思用图示的方法画一画，在画的过程中明确该选择什么知识进行解答，并通过图示对比，明确所求的最大公因数（最小公倍数）表示的是拼（剪）后正方形的边长，再进行计算。

【错例】

小明和妈妈去超市购物，发现相邻的两家超市同一品牌的商品原来的销售价格都相同，但现在各自出了一则公告：

小明应建议妈妈去哪家超市购物？为什么？

（100-25）÷100 八五折=85%

=75÷100 75%＜85%

=75% 小明应建议妈妈去甲超市购物。

【诊断】

1．缺乏生活经验。以上的素材对成人来讲很熟悉，但对生活经验缺乏的学生来讲可能比较陌生。

2．审题不清。错误地认为满100元送的25元购物券是现金返还，而实际上应该理解为多给25元实物。

3．分析问题不全面。没有结合实际情况分析问题，甲超市购满100元才有优惠，如果购物不足100元，是没有优惠的。

【对策】

1．沟通数学与生活的联系。进行情景化的课堂教学，注重紧密联系生活实际，充分利用学生在日常生活中熟知的景点购票，商场购物、新闻消息等，让学生真正体会到数学源于生活。建议学生更多地参加生活实践，丰富生活阅历，在生活中学习数学，理解数学，感知数学。

3．理解折扣的意义和方法。帮助学生充分分析打折的计算方法，在动手做题前，必须真正理解现价、原价，避免盲目计算。

3．通过比较强化认识。通过对比练习让学生理解“满送”和“满减”的概念，并进一步加深学生对折扣的理解。可以设计这样一道对比题：妈妈到超市买东西，发现相邻的三家超市同一品牌的商品原来的销售价格都相同，现在各自出了一则广告：甲超市——购物满100元，送购物券20元，乙超市——所有商品一律八折，丙超市——购物满100元减15元。你建议妈妈去哪家超市购物？为什么？

【错例】

铺设一间办公室，用边长4分米的方砖铺地，需要750块，如果改用边长5分米的方砖铺地，需要多少块？

解：设需要x块。

5x=4×750

x=3000÷5

x=600

【诊断】

1．受思维定势的干扰。学生一般在大量练习中所接触的两个成反比例的量都是直接的，很多学生只粗浅地看了一下题，就惯用反比例解决问题的基本模式来解此题。这是造成错解的主要原因。

2．学生解题思路不清晰。本题两个成反比例的量中有一个量是隐蔽的，学生不能透过“每块方砖的边长”，求出与块数成反比例的“每块方砖的面积”这个隐蔽的量。

3．反比例意义的教学不扎实。在判定两个量是否成反比例时，往往是直接提供两个相关联的量让学生判定，而很少呈现诸如“房间地面的面积一定，（ ）与（ ）成（ ）比例”这种开放式的判断，促进学生对反比例意义的深入理解与把握。

【对策】

1．加强正反比例意义的理解和判断。不仅要让学生会找准不变量是比值（商）一定还是积一定，判定是正比例关系还是反比例关系，还要会分析题中成正比例或反比例的是哪两个量。

2．加强对比练习，打破思维定势。可设计对比性的题组，打破思维定势，提高分析能力。如“正、反比例的对比”“基本的和稍复杂的对比”等。

3．培养学生认真审题的习惯。有些学生是由于粗心大意没看清题目造成的，这就要求学生认真分析题中的数量关系，明确成比例的是哪两个量后再解答。

（崇 冲）

图形与几何

【错例】

1.台湾岛是我国的第一大岛，它的面积约是36000（公顷）。

2.5340000000米=（53.4或534000）万千米

【诊断】

1.单位建构不深刻。学生对于单位之间的进率，以及单位之间的化聚，往往掌握得较好。对于较小的如1厘米、1平方分米、1立方米等单位的认识也比较深刻，但对较大的长度、面积、体积单位所代表的实际大小却没有确切的概念，不能将诸如“公顷、平方千米”“千米、万千米”等与生活紧密联系，遇到需要将这些知识运用到生活中时，缺乏有效的解决策略。

2.生活经验有缺失。一般而言，学生对于“土地面积单位和较大的土地面积”在实际生活中的接触基本为零，感觉“公顷”已经是一个很大的面积单位了，加上36000也是一个比较大的数，容易形成感觉上的偏差，觉得第1题填写“公顷”也是可以的。

3.前摄抑制负迁移。日常练习中多要求把数改写以“万”为单位或以“亿”为单位的数。受此影响，看到第2题中既要改写以“万”为单位，又到聚到“千米”，自然而然就负迁移到以“亿”为单位的数的方法。出现后一个答案，显然是审题不清或对“万千米”这个概念缺少真正的理解。

【对策】

1.理解较大单位的含义。利用生活中的资源，通过数学活动，让学生在建构较小单位实际大小正确表象的基础上，通过将较小单位依次叠加，如由1平方米、10平方米、20平方米……10000平方米（公顷）……1000000平方米（平方千米），在单位逐渐变化的过程中，推理、感悟、理解较大单位的表象，培养利用较小单位进行较大单位估测的能力，建立对大数据单位的体验。

2.积累实用的生活经验。引导学生将单位与数据相结合，对较大的实物或单位进行探究与思考。可以通过查阅资料，并与资料进行比较的方法，或是帮助学生建立参照体系，与参照物进行比较的方法，感悟、积累更多较大单位的实际经验和关于较大数量的体验。

3.注重灵活的思维方法。当学生遇到新的问题时，要引导学生善于分步探究、化难为易，分层递进，灵活解题。如把“米”改写成“万千米”，可以先思考1千米=1000米，把含有“米”的数改写成含有“千米”的数，然后想“千米”和“万千米”之间的进率，把以“千米”为单位的数改写成以“万千米”为单位的数，再思考、总结出“米”与“万千米”之间的进率，并推广到“千克”与“万吨”等单位之间的进率等，达到“做一题会一类”的练习效果。

【错例】

像上面这样，把一张正方形纸连续对折两次，然后沿虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后得到的图案是（ A ）。

【诊断】

1.空间想象能力薄弱。把正方形经过数步操作，可以得到展开后的图案。而学生的思考往往比较单一，只盯着沿虚线剪开后的图形。通过对剪开后剩下图形的考察，感觉应该有个尖尖的角，至于展开后形成什么样的图案，却想象不出来。

2.动手操作意识弱化。在教学平行四边形、三角形、梯形、圆面积公式推导时，教师会让学生根据教材要求，动手操作体验，但在解决实际问题时，很少会遇到需学生动手操作的题目。因此即使遇到类似本题，只要按提供的步骤，对正方形进行实物操作，再展开就能得到直观结论，学生却想不到通过动手操作去解决问题。

【对策】

1.优化空间想象。学生对规则的平面图形都很熟悉，能够建立起相应的几何模型，解决问题时，有时无需画出图形也能根据文字描述轻易解决。但当出现不规则的平面图形时，沿用规则图形的表象却解决不了。因此，教学中要引导学生善于借助规则图形，把不规则图形形象化、具体化。如可以，通过想象，把沿虚线剪开后的图形一步一步进行倒推（如图），即可得到展开后的图案。

2.倡导动手实践。许多数学规律都是通过实际动手操作找出来的。有时候，当公式不能解决问题时，不妨引导学生往后退，退到问题的原点。如果学生按题目要求，拿出一张正方形纸，再根据步骤一步步操作，最后展开图案，就能得到正确答案。

【错例】

把20本练习本摞成一个长方体，它的前面是一个长方形。再把这摞练习本均匀地斜放，这时前面变成了一个近似的平行四边形。近似平行四边形的面积（A或B）长方形的面积。

【诊断】

1.思维定势影响。学生接触最多的是类似这样的题：用手捏住四根木条钉成的一个长方形的两个对角，把它向相反方向拉成一个平行四边形，此时，平行四边形的底就是原来长方形的长，平行四边形的高比长方形的宽短，两相比较，周长不变，面积变小。受此影响，看到题目，学生马上就得出“平行四边形的面积（小于）长方形的面积”的错误结论。

2.概念混淆不清。把周长和面积概念混淆，题目中比的是面积，而学生最容易看出大小的却是“平行四边形的周长要比长方形的周长长得多”，但面积大小不能一下子看出来，因此，错误地推理得出“平行四边形的面积（大于）长方形的面积”。

3.背景提炼能力不足。把平面图形放到立体图形中进行思考、比较，无疑比直接给出平面图形进行比较要难，需要学生经历从立体图形的背景中提炼出平面图形的过程，对于空间想象力弱的学生而言，会有不知所措、无从下手的感觉。

【对策】

1.直达问题本质。从条件复杂的数学问题中找到能解决问题的条件，去除背景、去伪存真、化繁为简，直达问题本质，是一种基本的数学素养。如果学生能够一下子从“体”中抽象出“面”，把关注点主要集中于长方形的面积和平行四边形的面积，可以使探究更为流畅而有效。

2.丰富活动体验。组织学生进行实际的操作活动，引导学生在对20本练习本进行操作的过程中，经历猜想（面积谁大谁小）、操作、分析（探究面积大或小的原因）、归纳（每一本练习本侧面积不变，总面积也不变）、比较（跟木条钉成的长方形框架变化成平行四边形比较，两者有何不同）等由现象到本质的体验，不仅得出的结论全面，而且注重了方法的渗透和思维的延伸。

3.注重思考方法。教学中，既要根据题目要求，引导学生深入探讨面积之间的关系，也要引导学生探讨周长之间的关系；既要引导学生把平行四边形与长方形比较，也要引导学生把长方形与平行四边形比较，使学生得到的数学经验完整而有序。

【错例】

学校有一个周长是25.12米的圆形花坛，在花坛的外围修一条宽2米的环形小路，这条小路外围的周长是多少米？

3.14×（25.12÷3.14+2）=31.4（米）

【诊断】

1.脱离生活实际。学生能根据公式通过花坛周长求出花坛的直径，再根据新的直径求出小路外围的周长。但由于缺乏生活体验，误以为用花坛的直径加上小路的宽度就是小路外围的直径。

2.思维缺乏缜密性。解决图形问题时，学生缺乏借助直观图形帮助数学思考的意识，缺乏深入思考的数学习惯，仅凭感觉“宽（多）2米”确定是要加上2米，却分不清到底是半径多出2米，还是直径多出2米。

【对策】

1.丰富生活经验。如果学生没有亲身经历的生活体验，遇到的数学问题即使来源于生活现实，对他们来说仍然是无源之水。因此，可以组织学生通过实地考察、亲身参与测量、交流讨论等方式，使学生感悟“宽2米”其实是比原来的半径多2米，或者说比原来的直径多两个2米，而不是直径加2米。

2.养成画图习惯。良好的画图习惯既是学生空间想象力的依托与回归，也是学生借以解决图形问题的“利器”。引导学生遇到图形问题时，首先要根据题意画出图形，再根据图形理清相关条件之间的关系，有序思考，缜密推理。如图，就能很清楚地看出，小路外围的直径比花坛的直径多出两个2米。

3.优化数学思维。学习数学最重要的是提升数学思维，而数学思维的训练，需要教师在日常的教学中多引导，教给学生思考问题的方法，养成良好的思维习惯。比如，本题中涉及“一一对应”——半径要与半径对应，直径要与直径对应。

【错例】

用棱长1厘米的小正方体，拼成一个稍大的正方体，至少需要（4）个小正方体。

【诊断】

1.缺少概念本质建构。长方体、正方体在生活中所见甚多，学生的生活经验积累较为丰富，因此，在将直观物体抽象成立体图形的教学过程中，有些教师常常忽视学生对概念本质的构建，导致学生的生活经验与数学知识相脱节，概念模糊，进而无法有效地从概念系统的角度，理清大小不同正方体之间的内在联系。

2.空间想象能力薄弱。学生的空间想象力不足，没有从三维空间的角度真正建立起正方体的概念，只是凭已有知识经验，从二维平面上思考，得出的是4个小正方形可以拼成一个较大的正方形，忽视了立体图形属于三维空间的事实。

3.解决问题方法单一。教师在日常教学中，往往以结果作为重要的教学目标追求，而忽视了教学过程的精细化，如从多个角度（空间想象、实物操作或数学推理计算等）激发学生思考、用多种方法解决数学问题的能力，学生思维途径的单一，导致缺少解决问题的策略支撑。

【对策】

1.丰富直观感知，建立空间观念。几何图形是从大量的实物形体中抽象出来的共同特征的集中表现。教学时，要联系生活实际，提供大小不同、材质不一的正方体实物，让学生仔细观察、充分感知共同特征，抽象出几何图形；再联系实际，根据几何形体到生活中去找实物，在观察、比较、语言描述中，不断优化认识，建立正方体的表象，形成对正方体的空间知觉。

2.动手操作体验，促进意义建构。动手操作是探究几何形体共同特征的重要手段。要放手让学生用手摸一摸，用自己的话来说一说，闭上眼想一想。在长方体与正方体的比较中，慢慢抽象出“正方体是方方正正的，它有6个面，每个面大小一样”的特征，从而建立起正方体清晰而深刻的表象。

3.精心设计练习，优化解题策略。不同思维特点的学生，有不同的解决问题的方法，如可以通过三维空间想象出每层有（2×2）个，两层共8个；也可以拿出小正方体实际操作一下；还可以思考，稍大些的正方体棱长是2厘米，体积是2×2×2＝8（立方厘米），8立方厘米中有8个1立方厘米等。学生可以根据自己擅长的方法寻求解决问题的策略，适合的才是最好的。教师可以安排以下的练习进行巩固：

（1）由8个小正方体拼成的大正方体，至少再添上（ ）个这样的小正方体才能拼成一个更大的正方体。

（2）如图，是由棱长1分米的小正方体组成的图形，要拼成一个正方体，至少还需要（ ）个这样的小正方体。

（3）用若干个棱长1厘米的小正方体铁块焊接成的几何体，从正面、侧面、上面看到的视图均如图所示。那么这个几何体至少由（ ）个小正方体铁块焊接而成。

【错例】

按要求画图：先把图1绕点O逆时针旋转90度，再向左平移4格。

错解：中间图和左侧图

【诊断】

1.本质认识发生偏差。学生虽然整体上掌握了旋转图形的三个要素，却没有发现，操作中因为旋转边的长度人为发生了变化，致使图形的形状发生了改变；平移时，移动的4格是对应点与对应点之间的格数，或对应边与对应边之间的格数，而不是图形与图形中间空格的距离。

2.缺乏有效验证方法。对图形进行旋转和平移的操作缺少有效的验证方法和手段，一旦学生形成了不正确的认知，即使再做一遍，可能还会出现相同的错误。

【对策】

1.丰富素材，增强感知。充分发挥多媒体直观形象的作用，为学生提供丰富的感知素材，如生活中风车的旋转、钟表表针的旋转、窗户的平移等动态过程，以及点的移动，线段和常见的图形的移动与旋转，加强学生对平移、旋转中图形的感知。

2.指导方法，操作强化。引导学生用规范的语言描述旋转和平移的过程，如旋转，要说清楚是“哪条线段或哪个图形绕哪个点、旋转的方向和旋转的角度”，三个要素缺一不可。在掌握方法的基础上，放手让学生按要求进行操作，再在比较与交流中加深认识。也可通过用剪一幅跟原图完全一样的图，在原图上，按要求进行平移或旋转，验证学生操作是否正确，增强对图形运动的感悟。

3.循序渐进，分层递进。用于旋转和平移的图形都要遵循由浅入深、由简单到复杂的原则。无论是点、线段，还是平面图形，都要让学生反复体会、甄别对错、寻找规律，直至把旋转与平移熟练掌握，能够综合运用解决问题。

【错例】

把一个圆锥形零件浸没在底面直径是20厘米的圆柱形容器中，这时水面上升9厘米，这个圆锥形零件的体积是多少立方厘米？

【诊断】

1.缺少思维探索历练。学生解答圆锥体积问题时，首先想到的是利用公式求体积，而没有从本质上去理解，这里“圆锥形零件的体积”已经转换成了“圆柱形水的体积”，即“圆柱形容器内水上升的体积=圆锥形零件的体积”，运用V柱=πr2h求体积。

2.缺失系统建构经验。学生在解决圆锥体积时，已经形成了一定的思维定势，遇到求圆锥体积只会简单地套用公式。当条件或问题稍有改变，学生就会一片茫然。

【对策】

1.联系实际，有的放矢。引导学生认真读题，画出示意图，再联系生活实际，展开合理想象：上升的水的体积是圆锥形还是圆柱形？也可以通过实际演示，引导学生理解圆柱内水面上升9厘米的含义。

2.寻找关系，转化问题。把圆锥浸没在圆柱容器内的前、后不同情况进行对比，寻找出等量关系：圆锥形零件的体积=圆柱形容器内水上升的体积，通过将所求问题进行合理转化，进而得到正确答案。

3.变式练习，提升思维。通过变式练习，完善学生认知，提升思维能力。如：

（1）在一个底面半径20厘米、高30厘米，盛有水的圆柱形容器中，放入一个底面半径6厘米的圆锥，圆锥完全浸没水中。已知水面上升了3厘米，求这个圆锥的体积。

（2）一个盛有水的圆柱形容器，底面直径3分米，在其中浸没一个底面半径是6厘米，高4厘米的圆锥形物体，水没有溢出来，水面上升了多少厘米？

（3）在一个底面周长28.26分米、高20厘米，盛有水的圆柱形容器中，放入一个底面周长14.13厘米的圆锥，圆锥完全浸没水中。已知水面上升了0.5厘米，求这个圆锥的体积？

（刘爱东）

统计与概率

【错例】

幼儿园小朋友做红花，李昊桐做了7朵，张子涵做了5朵，杨嘉浩和刘若冰共做了12朵。平均每人做多少朵红花？

（7+5+12）÷3

=24÷3

=8（朵）

答：平均每人做8朵红花。

【诊断】

1.举例缺乏变式。在教学时教师选择的教学素材过于标准化，学生对平均数的概念理解不深，没有深入理解平均数产生的背景、意义，导致学生出现上面错误。

2.缺乏自主建构。教师对学生的指导不当，学生数学思考不深入，导致数学思维肤浅，制约了对平均数的理解与建构。

【对策】

1.增加变式练习，凸显知识本质。数学知识遵循着由浅入深、循序渐进的原则，因此在学生掌握了基本计算平均数的方法后，在教学中教师应适当增加变式练习。如，一个书架上第一层放书32本，第二层放书和第三层共46本。平均每层放多少本书？引导学生思考“平均每层放书多少本”“这一问题是求几层的平均数”“题目中怎么只有两个数”，在类似追问过程中，逐渐使学生明白“32+46”表面看是两个数的和，其实质表示三层书的总本数，所以应该除以3。实践表明，通过这样的变式练习，凸显“平均数”的知识本质，学生深入理解平均数后再完成错例中的练习，正确率会得到提高。

2.注重过程教学，培养检查习惯。培养学生检查的习惯，首先要使学生了解检查哪些方面，如核对题目是否抄对，书写是否规范，过程是否完整，解题方法是否得当，结果是否正确等。其次要教给学生一些检查的基本方法，如对于计算平均数，可以通过估算或逆运算来检查。第三，教师要对主动检查的学生予以表扬和鼓励，通过正强化和替代强化培养学生检查的习惯。

【错例】

下表是某商场2013年至2017年销售额增长率，选择什么样的统计图表示下面数据更合适？

__年份_增长_率__2013__2.3%_2014__3.4%__2015__3.8%__2016__5.2%_2017_5.9%

答：选用扇形统计图表示以上数据更合适。

【诊断】

1.扇形统计图理解不透彻。学生在学习扇形统计图时常见的数据均为百分数，这样的例证让学生误以为只要有百分数的数据就一定用扇形统计图。学生忽略了扇形统计图的本质作用——表示部分数量与总数之间的关系。

2.知识间的关系混淆不清。条形统计图主要能够看出各数据的多少，便于互相比较；折线统计图主要能够清楚地看出数据增减变化的情况；扇形统计图主要能够看出各部分数量与总数之间的关系。三种统计图虽有不同，但也存在联系。正是三种统计图复杂的关系，学生在根据统计数据选择合适统计图时会造成一些障碍。

【对策】

1.注重复习，夯实基础。日常教学中三种统计图的教学时间跨度较大，学生容易遗忘，因此学生在学习扇形统计图前，教师应加强条形统计图与折线统计图的复习，为扇形统计图的学习夯实基础。

2.加强对比，消除混淆。在数学学习中学生常出现以下错误，如混淆相似的概念、混淆相似知识的性质等。因此在学生掌握了扇形统计图的特征和作用后，教师应适当加强三种统计图的对比，从而帮助学生理清知识之间的区别与联系。

【错例】

下面是某糖厂去年上半年生产情况统计表，请根据表中的数据填空。

计划产值（万元）完成产值（万元）__第一季度第二季度___合 计360_____（400）（760）_____（378）______（440）818______超额率（百分号前保留一位小数）5%____10%（15%）__

【诊断】

1.思维定式干扰。“计划产值”与“完成产值”两列“合计”一栏的计算，均用第一季度产值数据加第二季度产值数据，学生受这种计算方法的负迁移影响，误认为“5%+15%=15%”是“合计”一栏中的超额率。

2.概念理解不清。超额率，学生在计算“合计”一栏差额率的时候，没有使用，而是把第一季度和第二季度的超额率相加。

【对策】

1.打破思维定式，灵活解决问题。在解决问题过程中，有许多问题是互相联系又互相区别的。计算“计划产值”和“实际产值”时，“合计”部分分别用第一季度产值加第二季度产值，而“合计”一栏中的超额率的计算有其独特性。在日常教学中应该培养学生认真审题并独立思考的习惯，打破在解决问题过程中的思维定式，灵活解决问题。

2.深刻理解概念，及时巩固练习。要加强对各种百分率的变式练习，比如，学生会计算一、二季度的超额率后，思考半年的超额率应该如何计算，并组织学生对比发现变中有不变，即计算超额率的计算方法不变，使学生在复杂的情景中能够把握概念的本质属性，从而提高解题正确率。

【错例】

下面统计表是未来三天的天气预报。

___日期_天气预报23日__雪___24日__多云____25日_阴__

23 日（一定）下雪。（请用“一定”“可能”“不可能”填空。）

【诊断】

1.缺乏生活经验。小学数学学习与生活是紧密相连的。但由于小学生不善于用数学眼光观察生活，不善于积累生活经验，因此经常会出现违背生活实际的“数学错误”。

2.随机性理解不足。用“一定”“可能”“不可能”等词语来描述生活中一些事件发生的可能性时，易带个人感情色彩来判断事件发生的结果。

【对策】

1.沟通数学与生活的联系。一方面要注意引导学生对生活实际的观察，以调整、积累生活经验。如为了更好地理解上题，教师引导学生对比天气预报信息与真实天气情况，体会天气预报中的天气信息是一种不确定现象。另一方面，还可以引导学生把所学知识应用到生活实际中，积累生活经验。

2.展示错误，开展纠错。日常教学中教师应充分利用典型错例引导学生辨析、讨论，使他们在主动分析自己和别人错误的过程中，达到纠正和规避数学错误的目的。如在教学中引导学生对“一定下雪”与“可能下雪”两种不同答案展开辩论。通过学生充分讨论与辨析，积累生活经验，增强学生对随机性的体验。

【错例】

下面是王叔叔某次骑自行车情况的统计图，请看图填一填。

1．王叔叔一共骑车行了（30）千米。

2．他中途休息了（1）小时。

【诊断】

1.在解决问题过程中审题不清。审题是解题的起始环节，是正确解题的基础。学生在解题时往往对此缺乏充分的认识，常常掉以轻心，在没有仔细审题的情况下盲目作答，致使数学错误的发生。

2.从图中解读数学信息能力薄弱。在日常教学中，教师一般注重培养学生通过阅读文字信息找出相应数学信息的能力，但对于从图中寻找相关数学信息的培养不够重视。

【对策】

1.提高审题技能。可以分三个步骤：第一步为细读，学生要一字一句地读，初步了解题意；第二步为推敲，学生在细读的基础上收集数学信息，推敲数学信息之间的数量关系，初步形成解题思路；第三步为提取，在推敲的基础上，进一步化繁为简，提取有价值的数字信息，揭示数量关系，形成解题思路。

2.培养读图能力。在解决问题时，学生往往忽略阅读标题、横轴与纵轴信息等。阅读上图时，学生首先要明确这张统计图表示王叔叔骑自行车的情况，其次通过阅读横轴信息获知横轴数据表示时间，每一格表示0.5小时，通过阅读纵轴信息获知纵轴数据表示路程，每一格表示5千米。有了这样的认识基础，才能够正确解读出图中各部分折线表示的意义。

【错例】

下面统计表是我国土地利用类型的大致构成情况。_________________________________________

可利用土地工矿、交通、城市用地和内陆水域等__________________________15.7%草地 林地 耕地32.6%16.6%13.5%难利用土地沙漠、石头、山地、永久积雪和冰川_____21.6%

耕地面积占可利用土地面积的百分之多少？

答：耕地面积占可利用土地面积的13.5%。

【诊断】

1.统计表信息理解能力薄弱。学生在解决这一问题时混淆了单位“1”。统计表中“13.5%”表示耕地面积占我国土地面积的13.5%，其中单位“1”是我国土地面积。而问题“耕地面积占可利用土地的百分之多少”中的单位“1”指的是可利用土地的面积。

2.缺乏数学与生活的联系。学生在解决此类问题时，对“可利用土地”“难利用土地”等不了解。

【对策】

1.加强统计表数据的理解。在教学过程中，利用情境让学生对比“耕地面积占我国土地面积的13.5%”与“耕地面积占可利用土地面积的百分之多少”这两个数学信息的区别与联系，从而发现对应量都是“耕地面积”，但单位“1”却不同，不仅加深了单位“1”的认识，也提高了学生阅读理解统计表中数学信息的能力。

2.加强数学与生活的联系。创设情境需结合学生的生活实际，设计出既能活跃课堂气氛又能激起学生学习动机的情境，使学生自主参与到数学活动当中，切实体会到数学来源于生活，服务于生活。