基于AR(m)-QAR-GARCH模型的沪深指数VaR测度研究

奚晓军 王淼晗 章贵军



基于AR(m)-QAR-GARCH模型的沪深指数VaR测度研究

奚晓军1王淼晗2章贵军3

（1．闽南师范大学商学院，福建漳州 363000）（2．上海德勤税务事务所有限公司北京分所，北京 100738）（3．江西财经大学统计学院，江西南昌 330013）

传统的GARCH模型在测度我国沪深指数日对数收益率VaR时，由于不能兼顾其尖峰、厚尾、有偏性和自相关性的特征往往效果不佳。针对沪深指数日对数收益率的上述特点，提出利用AR(m)-QAR-GARCH模型测度我国三大股指的VaR。基于Kupiec似然比和DQ检验表明：AR(m)-QAR-GARCH模型测度沪深指数VaR预测准确性要好于自相关性不明显的恒生指数和日经指数；AR(m)-QAR-GARCH模型对沪深指数VaR测度效果要好于几种没有考虑自相关性的GARCH模型；对于我国沪深指数收益率自相关性可能存在的阶段性特点，AR(m)-QAR-GARCH模型也适合。

VaR；自相关性；GARCH；Kupiec检验；DQ检验

我国证券交易市场自1990年创立以来，对促进企业融资、繁荣我国金融市场和改善人民收入都起到了非常重要的作用。为了发展和完善我国股票交易市场、降低投资风险，我国政府出台了一系列与发达国家不同的交易制度。一系列别具一格的交易制度以及我国证券交易市场独具特色的融资行为和投资行为，都可能造成我国证券指数与发达国家表现不一致的地方。具体可能表现在我国沪深证券指数方面，证券指数是刻画证券交易市场投资风险的重要指标，成熟的证券市场指数的股指收益率一般不具有自相关性①[1,3]。由于我国证券市场各项制度的改革是逐步出台的，这可能造成我国证券指数收益率自相关性呈现“此一时，彼一时”的特点。目前，针对这种指数收益率自相关性出现阶段性特点，国内外还缺乏对其VaR测度模型的探讨。

GARCH类模型能有效地刻画金融资产收益率波动的聚类特征和异方差现象，逐渐发展成为测度VaR成员中重要的一员。由于传统的GARCH模型参数估计是在具体的条件分布假定下进行的，当假定的分布不正确时，GARCH模型测度VaR的精确度就会下降[5,9]。为了克服这一缺陷，Engle和Gonzàlez-Rivera提出利用非参数方法可以更好地描述波动率分布特征。结合分位数回归思想，Koenker和Zhao提出利用不需要对分布进行假定的条件分位数回归ARCH模型测度波动率情况，并且认为该模型具有更加稳健的估计性质[7]。Xiao和Koenker发展了Q-ARCH模型的思想并提出基于线性GARCH（p，q）的条件分位数自回归GARCH模型，并提出估计模型参数的两步估计方法[10]。魏宇的研究表明，GARCH模型可以比较精确地预测我国金融市场VaR[13]。张颖、张富祥对比了递归形式的CAViaR和分位数回归形式的GARCH模型，发现IGARCH-CAViaR模型更适合刻画相对成熟的美国和日本金融市场风险的演化过程，分位数回归的GARCH模型对上证综指和深圳成指描述情况较好[15]。

到目前为止，还没有基于分位数回归的GARCH模型在测度VaR时考虑到股市收益率的自相关性问题。我国股市收益率不仅具有尖峰、厚尾和有偏性，而且具有自相关性，因此有必要探讨考虑收益率自相关性因素的基于分位数回归的GARCH模型。鉴于此，本文构建了考虑股市收益率自相关性因素的基于分位数回归的GARCH模型，然后分析和比较了其在测度我国沪深证券市场收益率VaR时的统计特征。

一、测度模型及检验方法

（一）QAR-GARCH模型

根据VaR定义，有：

（二）AR(m)-QAR-GARCH模型及估计步骤

本文给出测度VaR时考虑收益率自相关的QAR-GARCH模型，表达式如式（6）所示：

式（6）实际上是由自回归部分和QAR-GARCH模型两部分构成，其中自回归AR(m)部分写成式（7）的形式：

3．采用两步法对各参数进行估计，得到干扰项的估计值。第一步是估计s阶分位数自相关函数。根据干扰项式（8）、（9）构建目标函数（10）：

（三）检验方法

1．失败比率

2．Kupeic检验

3．DQ检验

二、样本数据描述

为了反映我国证券市场收益率波动情况的最新信息，本文选取上证综指（SSEC）和深证成指（SZSC）2003年1月1日到2014年1月31日的数据，数据来源于DATASTREAM数据库、谷歌财经和雅虎财经。图1到图4（见下页）分别为各个股指的收益率序列图，可以看出，上证综指和深成指股指收益率波动具有较明显的集聚特征，日经225指数香港恒生收益率集聚特征相对较弱。基于ADF的单位根检验结果表明，所有的指数收益率序列均表现平稳。

表1 四大股指收益率描述性统计

注：“*”表示相应统计量在1%的显著水平下拒绝原假设，“**”，表示相应统计量在5%的显著水平下拒绝原假设，“***”表示相应统计量在10%的显著水平下拒绝原假设

图1 上证综指收益率序列

图2 深证成指收益率序列

图3 日经225指数收益率序列

图4 恒生指数收益率序列

表2为我国三大股指及日经225指样本期内股指对数收益率数据自相关性检验结果。基于低阶自相关性检验的统计量表明：上证综指和深证成指收益率存在明显的高于三阶的自相关性，香港恒生存在微弱4阶自相关性及日经225收益率不存在明显的自相关性。自相关性检验结果同时说明测度我国沪深指数收益率时应考虑高阶自相关性，测度相对比较成熟证券市场股指（如香港恒生和日经225）收益率时不必考虑自相关性。

表2 四大股指收益率自相关性检验

三、模型测度结果与比较

根据各大股指数据、VaR测度公式以及Kupeic统计量和DQ统计量测度公式，本文将各种计算结果整理得到表3和表4所示数据。

（一）AR(m)-QAR-GARCH对四大股指收益率VaR测度结果比较

表3数据为AR(m)-QAR-GARCH模型对四大股指收益率VaR测度结果。从表3测度结果不难看出，AR(m)-QAR-GARCH模型对我国上证综指的风险预测准确性相对比较高，检验结果反映训练集及测试集中VaR都非常接近真实水平。同时，测试集上的计算结果表明， AR(4)-QAR-GARCH模型在1%和5%的分位点上的Kupiec统计量对应的概率值都非常接近1，表明其对上证指数VaR的预测精确程度明显高于对其它指数VaR的预测，这一结论恰好与表2中反映的上证指数收益率存在较强的4阶自相关性一致。

对于深圳成指VaR测度而言，AR(3)-QAR-GARCH和AR(4)-QAR-GARCH模型样本集内测度结果拟合度非常高，计算得到的失败比率都十分接近0.01和0.05，并且Kupiec统计量对应的概率值接近于1；在测试集上，两个模型VaR估计结果的Kupeic统计量对应的概率值略小于训练集，但均不能拒绝模型有效的原假设，虽然其对测试集数据VaR的估计能力相对较弱，但其预测准确性也不差，Kupiec统计量对应的概率值至少也达到了0.7。

表3 AR(m)-QAR-GARCH模型对四大股指VaR测试结果比较

注：表3中AR3-Q为3阶自回归分位数GARCH模型，表3中AR4-Q为4阶自回归分位数GARCH模型；由于空头头寸的计算结果几乎与多头一致，本文仅列举多头情况

由表3还可以看出，无论是训练集还是测试集中，AR(4)-QAR-GARCH模型在1%水平和5%水平上对恒生指数VaR的测度效果相对较好，测度结果都十分逼近真实风险值，AR(3)-QAR-GARCH模型测度效果比AR(4)-QAR-GARCH稍差一点，这也印证了表2中恒生指数收益率4阶自相关性强于3阶自相关性的检验结论。AR(m)-QAR-GARCH模型在1%水平和5%水平上对日经225指数VaR的预测结果也不差，虽然Kupeic统计量对应的概率没有大于0.9的高概率值，但至少也达到了0.5。此外，比较分析发现，在1%分位水平上，AR(m)-QAR-GARCH模型对恒生指数VaR预测的性明显高于日经225指数，可能是因为恒生指数收益率存在微弱的4阶自相关性的缘故。

此外，无论是训练集还是测试集中，由AR(3)-QAR-GARCH和AR(4)-QAR-GARCH模型测度的四大指数的VaR的DQ检验统计量均不能拒绝原假设，检验结果见表4。此外，表3结果表明，所有Kupeic统计量对应的概率值均不能拒绝测度模型VaR测度结果。这说明对于即使不存在自相关性的香港恒生指数和日经225指数，利用AR-QAR-GARCH模型测度的VaR也不会表现太差。

（二）不同模型VaR测度结果比较

表4反映了QAR-GARCH和AR(m)-QAR-GARCH模型与其它常见的GARCH模型VaR测度结果统计检验数据。鉴于表1对数据检验表明四大股指收益率均具有尖峰、偏态和厚尾的特征，所以均采用基于Skewed-t（有偏的学生分布）分布的GARCH用于比较，主要有EGARCH、IGARCH和GJRGARCH。通过对QAR-GARCH和AR(m)-QAR-GARCH模型与其它三种GARCH模型VaR测度的统计检验检验结果表明3个方面的内容。

1．AR(m)-QAR-GARCH模型对沪深指数VaR测度表现相对较好。无论是Kupiec统计量对应的概率值，还是DQ统计量概率结果均超过0.7，相对于其它模型而言AR(m)-QAR-GARCH模型对我国沪深指数VaR测度效果良好。从表4检验结果同时可以看出，虽然QAR-GARCH、EGARCH、IGARCH和GJRGARCH模型测度效果略逊于AR(m)-QAR-GARCH模型，但总体表现并不差，可能由于其都考虑到了沪深指数的尖峰、厚尾和有偏的特征。因此，有理由认为AR(m)-QAR-GARCH模型对沪深指数VaR测度效果较好的原因是考虑了沪深指数收益率的自相关性问题。

2．AR(m)-QAR-GARCH模型对恒生指数和日经指数VaR测度并无明显优势。表4检验结果同时表明，虽然AR(m)-QAR-GARCH对沪深指数VaR测度表现相对较好，但对恒生指数和日经指数VaR测度并无明显优势。对恒生指数的VaR测度中，在1%分位点上，AR(m)-QAR-GARCH和GJR效果相对较好，检验统计量对应的概率值都达到了0.6，AR(4)-QAR-GARCH模型准确率稍高于GJR；在5%分位点上，QAR-GARCH、AR(m)-QAR-GARCH、IGARCH和GJR表现效果均不差，此时GJR模型预测准确率稍高于AR(4)-QAR-GARCH模型。在对对日经指数的VaR测度中，QAR-GARCH和GJR表现效果相对较好。显然，上述分析表明，AR(m)-QAR-GARCH之所以对恒生指数和日经指数VaR测度无优势，可能是二者不存在明显自相关性的原因。同时不难看出，对于测度指数收益率不存在自相关性的VaR而言，利用考虑自相关性的模型可能并不是一件坏事，虽然无助于显著改善测度效果，但也并没有显著降低测度效果。所以，对于沪深指数自相关性可能存在“此一时，彼一时”的阶段性特点，考虑自相关性的AR(m)-QAR-GARCH模型测度其VaR相对比较可靠。

3．基于分位数回归的GARCH模型好于基于Skewed-t参数分布的GARCH模型。针对文中的四大股指而言，从Kupiec统计量和DQ统计量对应的概率值是否小于显著水平上来看，基于分位数位数回归的GARCH模型好于Skewed-t参数分布的GARCH的模型。一个可能是原因是基于分位数回归的非参数不受股指收益率分布的影响，而基于参数分布的GARCH模型可能会降低估计效果[11-16]。具体而言，对于沪深指数的受益率VaR测度结果，AR(4)-QAR-GARCH模型效果最好，IGARCH模型效果相对较差；对于恒生指数和日经指数的VaR测度结果，除EGARCH模型表现较差外，参数方法和非参数方法差别不明显。

表4 不同GARCH模型VaR测度检验结果比较

注：表4中计算结果均根据测试集中数据计算得到，其中QGAR为QAR-GARCH模型，EGAR为E-GARCH模型，IGAR为IGARCH模型，GARCH模型、IGARCH模型及GJR模型均为基于Skewed-t的计算结果

四、结 论

本文构建了考虑自相关性的分位数回归GARCH模型，即AR(m)-QAR-GARCH模型，分别在训练集和测试集中的不同分位数水平上根据测度的Kupiec统计量和DQ统计量比较了AR(m)-QAR-GARCH模型对我国沪深指数VaR测度的准确性。最后，在测试集中的不同分位数水平上比较了AR(m)-QAR-GARCH模型和其它常见的GARCH模型对我国沪深指数VaR、香港恒生指数和日经225指数VaR测度效果。具体而言，得到如下三个方面的结论：

1. AR(m)-QAR-GARCH模型在测度沪深指数VaR时效果要好于自相关性不明显的恒生指数和日经225指数。通过比较AR(m)-QAR-GARCH模型对四大股指VaR测度的准确性，我们发现，无论在训练集中，还是测试集中AR(m)-QAR-GARCH模型对我国沪深指数VaR测度准确性均好于恒生指数和日经225指数。这说明由于我国沪深指数收益率具有明显自相关性，AR(m)-QAR-GARCH模型对其VaR测度的准确性要高于不具有明显自相关性的恒生指数和日经225指数。

2. AR(m)-QAR-GARCH模型对沪深指数VaR测度效果要好于几种没有考虑自相关性的GARCH模型。通过比较AR(m)-QAR-GARCH模型和QAR-GARCH、EGARCH、IGARCH和GJRGARCH模型对我国沪深指数VaR恒生指数和日经225指数VaR测度效果发现：对于存在明显自相关性的沪深指数而言，AR(m)-QAR-GARCH模型测度效果优于其它GARCH类模型；对于存在明显自相关性的香港恒生指数和日经225指数，AR(m)-QAR-GARCH模型与其它GARCH类模型，特别是GJR模型相比，并无明显优势。

3. AR(m)-QAR-GARCH模型适合于测度指数自相关性存在阶段性特点的VaR。虽然考虑了自相关性的AR(m)-QAR-GARCH模型对不存在自相关性的指数而言并无明显的比较优势，但相对于其它GARCH模型而言，无论是预测准确性方面，还是测度效果方面都表现良好。该模型也适用于测度即使没有明显自相关性的恒生指数和日经指数。所以，针对我国沪深指数自相关性可能存在“此一时，彼一时”的阶段性特点，考虑自相关性的AR(m)-QAR-GARCH模型测度其VaR相对比较可靠。

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（责任编辑：郑宗荣）

① Lo（1991）和Fama（1991）认为成熟的证券市场一般满足有效性市场假说，或者至少满足弱有效性市场假说。

②更详细的描述，可以参看徐金菊，许启发（2013）的文献。

VaR Measurement of Shanghai and Shenzhen Composite Index Based on AR(m)-QAR-GARCH Model

XI Xiaojun1WANG Miaohan2ZHANG Guijun3

Traditional GARCH-based model usually performs not so good when measuring VaR about log return rate of Shanghai and Shenzhen composite index without consideration of their property of leptokurtic, skewed and fat-tailed distribution and autocorrelation at the same time. This study proposes AR(m)-QAR-GARCH to measure three security exchange indices in our country with consideration of their distribution property and autocorrelation. Three main results of this study are attained by the use of Kupiec likelihood ratio test and DQ test. Firstly, we find that the model proposed by this study predicts more exactly than in the use of measuring VaR of Shanghai composite index and Shenzhen composite index than it has been used of HIS and Nikkei 225 index. Secondly, the model performs better than other GARCH-based model ignorance of volatility autocorrelation when measuring VaR of Shanghai composite and Shenzhen composite index. Thirdly, we also find that AR(m)-QAR-GARCH model also has good performance for measuring the VaR of Shanghai composite and Shenzhen composite index when the autocorrelation of them appear in a phase and disappear in another phase.

VaR; autocorrelation; GARCH; Kupiec test; DQ test

F222.3

A

1009-8135（2018）04-0042-12

奚晓军（1978—），男，吉林九台人，闽南师范大学商学院讲师，主要研究金融计量经济学。王淼晗（1989—），女，内蒙古包头人，上海德勤税务事务所有限公司北京分所员工。章贵军（1978—），男，湖北监利人，江西财经大学统计学院、江西财经大学应用统计研究中心、江西财经大学博士后流动站讲师，主要研究数量经济学。

国家社会科学基金一般项目“精准贫困识别和扶贫瞄准的统计测度研究”（16BTJ011）；福建省教育厅社会科学研究项目“福建省财产保险公司运行机制稳定性研究”（JAS160315）。