Neumann边界条件下非局部扩散方程解的爆破

张敏华

(阳光学院 基础教研部， 福建 福州 350015)

0 引 言

文中主要工作是考虑下列Neumann边界条件下非局部扩散方程：

(1)

其中,Ω是一个光滑有界的区域，J:RN→RN,G:RN→RN是连续非负并且径向对称的函数，在单位球内是紧支集的,使得

式(1)右边第一个积分项考虑的是个体从其他方向到达或者离开点x；式(1)右端的第二个积分项描述的是个体进入或者离开区域的流量，根据函数g的符号。这就是所说的Neumann边界条件[1]。而且，文中在方程中增加了一个反应项up(x,t)，探求问题的爆破解的情况。

在先前的文献中关于非局部扩散过程已经得到了相关的关注。与文献[2]提及的一样，u(x,t)可以表示为单个群种在(x,t)点的密度，J(x-y)表示为从点y到x的概率分布；那么

从别的方向到达点x的到达率。

对于Neumann边界条件下的非局部扩散，Cortazar等[3-4]研究了相类似的问题，形式如下：

1 局部存在唯一性

其中,t0是一个固定的点。

式(1)中的u,t分别用w,s来代替,可得:

因此考虑相关的积分系统：

根据此方程，建立下列算子。

定义1令Φ:Bt0→Bt0定义如下：

(2)

证明 考虑0

|Φw0,g[w(x,t1)]-Φw0,g[w(x,t2)]|=

其中，|Ω|代表区域Ω的测度。因此，当t∈(0,t0]，算子Φw0,g是连续的。

当t=0时：

|Φw0,g[w(x,t)]-w0(x)|=

由上述两个估计可得，对于每一个t∈[0,t0]，算子Φw0,g是连续的。

证毕。

C=C(Ω,J,G,p,‖w‖Bt0,‖z‖Bt0)

使得：

|‖Φw0,g[w(x,t)]-Φz0,h[z(x,t)]‖|≤‖w0-z0‖L

(3)

证明

|Φw0,g[w(x,t)]-Φz0,h[z(x,t)]|≤

‖w0-z0‖L

C=max{2K1|Ω|+pηp-1,K2}

证毕。

作为上面两个引理的结果，有下面的解的存在性和唯一性定理。

|‖Φw0,g[w(x,t)]-Φz0,h[z(x,t)]‖|≤Ct0‖w-z‖Bt0

最后，式(1)两边关于时间t积分可得：

再关于x积分

考虑到J的对称性和Fubini定理有：

推论1假设u,v是式(1)的解，其中初始值和边界值分别为u0,v0，g,h。那么对于每一个t0>0，存在一个只依赖于t0的常数C1满足：

证明 由u,v的定义可知

根据引理2可知：

如果Ct0<1可得：

推论2令u∈Bt0，那么u是式(1)的解,当且仅当：

证明 式(1)可以表示为：

两边分别乘上eA(x)s，有：

两边从0到t积分得：

证毕。

2 比较原理

给出式(1)的比较原理。下面首先给出上下解的定义。

改变不等号的方向可以定义下解。

x∈Ω,t>0

证明 假设在某些点w(x,t)是负的。令

θt(x,t)=e-λtw(x,t)(λ>0,λ≥2sup|c|)

如果假设在(x0,t0)处θ达到负的最小值，其中t0>0，那么

θt(x0,t0) =-λe-λt0w(x0,t0)+e-λt0wt(x0,t0)≥

(c-λ)θ(x0,t0)>0

这个与θ(x,t)在(x0,t0)处θ达到负的最小值矛盾。证毕。

3 全局存在和爆破

证明 假设p>1。在式(1)的第一个方程两边关于x∈Ω积分，再应用Fubini定理有：

因为g≥0，G是非负函数，那么有：

反之，假设p≥1。考虑下列的ODE问题：

因为对于t>0,p≤1，z(t)>1，那么z(t)>zp(t)。因此z(t)是式(1)的全局上解。因此根据比较原理可知u是全局的。

参考文献：

[1] C Cortazar, M Elgueta, J D Rossi, et al. Boundary fluxes for nonlocal diffusion[J]. Differential Equations,2007,234:360-390.

[2] P Fife. Some nonclassical trends in parabolic and parabolic-like evolutions[J]. Trends in Nonlinear Analysis,2003,136:153-191.

[3] C Cortazar, M Elgueta, J D Rossi, et al. How to approximate the heat equation with Neumann boundary conditions by nonlocal diffusion problems[J]. Arch. Ration. Mech. Anal.,2008,187(1):137-156.

[4] F Andreu-Vaillo, J M Mazon, J D Rossi, et al. Nonlocal diffusion problem[J]. Mathmatical Surveys and Monographs, Ameritican Mathematical Society,2010,96:165.

[5] Wang YuLan, Chen Qiong. Blowup analysis for a nonlocal diffusion equation with reaction[J]. Journal of Sichuan University,2012,49:299-303.

[6] Liviu I Ignat, Julio D Rossi. A nonlocal convection-diffusion equation[J]. Journal of Functional Analysis,2007,251:399-437.

[7] 李中平,徐思.杜宛娟.快速扩散方程的第二临界指标及解的生命跨度[J].数学物理学报,2012,32A(5):904-913.

[8] 张敏华.一类非局部渗流扩散方程的爆破分析[J].福建教育学院学报,2016,17:118-121.