江苏盐城市一小教育集团日月路校区(224005)
因数和倍数是苏教版教材五年级下册的内容,它是数与代数部分重要的知识之一,是在学生已经初步认识自然数的基础上教学的,它是因数和倍数单元的第一课时,所以能为学生进一步学习本单元的最大公因数和最小公倍数做铺垫。2017年4月我第一次执教,课堂教学环环紧扣且滴水不漏,精致的课堂,精心的设计,良好的教学效果,可我总感觉少了些什么,反思后发现:学生在课堂上虽然较好地掌握了新知,但是思维却被关在笼子里。所谓的环环紧扣,紧紧地束缚了学生思维,充满了暗示的设计和一步一个台阶的铺垫,让学生失去了“英雄用武”的地方。一堂课结束,留给学生的只有摸着石头过河的经验而已。2017年的12月,我再次执教,这次我秉承“让学生思维在课堂上生长”的理念进行授课,教学取得了令人满意的效果。
课前,我首先深入了解学生,找准学生思维的起点,摸准学生思维发展的方向,顺应学生思维发展的方向来设计教学。如果说第一次的课堂像一件正规的西装,紧紧地束缚着我和学生,第二次的课堂就像一件休闲装,学生的身心是自由的、开放的,学生的思维是活跃的。
师:看来,用12个小正方形摆不同的长方形,只有3种不同的摆法,由此得到了3个不同的乘法算式。今天我们要研究的内容就藏在这些乘法算式中,就以3×4=12为例。
师:3×4=12,数学上是这么介绍它们之间的关系——3是12的因数,4也是12的因数,也就是3和4都是12的因数。反过来,12是3的倍数,12也是4的倍数。
师:大家都听明白了吗?谁来试着说一说?
师(揭示课题:因数和倍数):这就是我们今天要研究的内容。
师:这里还有两道算式,你也能像我刚才那样说一说吗?
生1:我要说的是2×6=12,2是12的因数,6也是12的因数。反过来,12是2的倍数,12也是6的倍数。
生2:我要说的是1×12=12,1是12的因数,12也是12的因数。反过来,12是1的倍数,12也是12的倍数。
师:如果不摆图形,谁能出一道类似这样的算式,让大家说一说它们之间的因数与倍数关系。
师:如果隐去算式,只给出方框里的两个数,你能说一说哪个数是哪个数的因数,哪个数是哪个数的倍数吗?
师(出示):你是怎么想的?
生3:2×6=12,所以6是12的因数。反过来,12是6的倍数。
师:还可以想到什么算式?
生4:12÷6=2。有乘就有除。
师(出示):你又想到了什么算式?
生5:我想到24÷12=2,所以12是24的因数。反过来,24是12的倍数。
师:这两题里都有哪个数?
生6:12。
师:我能说12是倍数吗?为什么?
生7:不能,要说清楚12是谁的倍数。12和24在一起的时候,12是24的因数。
师:是的,因数和倍数表达的是两个数之间的关系,它们是相互依存的。要说清楚谁是谁的因数,谁是谁的倍数。
师(出示):它们之间存在因数和倍数的关系吗?
生8:不存在!12个小正方形,每排摆5个,不能摆出长方形。
师:是的。要注意的是,因数和倍数所说的数一般指不是0的自然数。
师:看来你们已经掌握因数和倍数的概念了。下面一起做一个游戏。我给出一个数36,请你报出一个数,然后说出它和36的关系及想到的算式。
生9:18。18是36的因数,36是18的倍数,我想到的算式是36÷18=2。
生10:4。4是36的因数,36是4的倍数,我想到的算式是 4×9=36。
生11:72。36是72的因数,72是36的倍数,我想到的算式是 72÷36=2。
……
【思考:首先,采用直观形象的“用12个小正方形摆不同的长方形”的活动,得到乘法算式,教师根据其中的一个乘法算式“3×4=12”,介绍了因数和倍数的概念,然后让学生说出另外两个算式中存在的因数和倍数的关系,让学生初步感受因数和倍数的概念,并加以运用。其次,让学生不依赖正方形,直接说出一道算式,由其他同学说说这道算式存在的因数和倍数的关系,从而顺利完成了第一步的抽象。紧接着,只给两个数,要求学生说出哪个数是哪个数的因数,哪个数是哪个数的倍数。学生看到熟悉的6和12,能迅速调动之前拼长方形活动中积累的经验,顺利完成知识的正迁移,完成了第二次抽象,此时学生的思维之门已经悄然打开。最后,只给一个数36,让学生报出一个数,并说出这个数和36的关系及想到的算式,激活了学生思维的兴奋点。】
师:我发现绝大部分同学报的都是36的因数,只有两位同学报的是36的倍数。那下面我们就先来研究如何找36的因数。
师:你准备怎么找36的因数?
生1:4×9=36,4 和 9 都是 36 的因数。
师:你用( )×( )=36就找到了36的2个因数。
师:看来找36的一对因数不难,难就难在找出36的所有因数。想一想,怎么找才能不遗漏、不重复?
(课件出示:你能找到36的所有因数吗?
1.想一想:怎么找才能不遗漏、不重复?
用算式记录下你的想法,填写在右边的方框里。
2.写一写:把36的所有因数写在横线上。
36的因数有:________________。
3.完成后,先在小组里交流,说出你的想法。)
生2:我写的算式有 4×9=36,6×6=36,1×36=36,2×18=36,找到 36 的因数有 4、9、6、6、1、36、2、18。
生3:他这里写了两个6,重复了,只要写一个就行了。他还少写3和12两个因数。
师:是的,相同的因数只要写一个就行了。想一想,怎么找才能不遗漏、不重复?
生4:乘法算式从1×36=36开始,按顺序接着写2×18=36,3×12=36 ,4×9=36 ,6×6=36。这样一看就很清楚,而且不遗漏。
师:他说到了一个词语——顺序。也就是有序地列举出36的所有因数,这样能防止遗漏和重复。
【思考:在游戏中,由于36这个数相对较大,绝大部分学生报出的是36的因数,只有一个学生会报出36的倍数。顺着学生思维发展的方向,教师就可以引导学生先研究如何找36的所有因数,此时学生迅速调动之前刚获得的经验,开始列举36的因数,但是一开始的列举是无序的、不全面的,在思考怎么找才能不重复、不遗漏的过程中,学生发现需要进行有序地列举。这样,在自主探索的过程中,学生的思维在不断地向深处行进。】
师:下面我们来玩一个猜数游戏,比比谁的脑力好。
师:有一个数,它有5个因数,按从小到大的顺序这样排,分别对应这五张卡片。(五张卡片依次贴在黑板上,卡片的背面分别写着 1、2、4、8、16)
师:想一想,不需要翻就能知道哪一张卡片上的数?为什么?
生1:不翻就能知道第一张卡片上的数是1,因为任何一个自然数的最小因数就是1。
师:恭喜你,非常正确。
师:翻开哪一张就能知道这个数是多少?为什么?
生2:翻开最后一张卡片,就知道这个数是多少。因为每一个自然数,它的最大因数就是它本身。
师:你真棒!
师:那剩余的几个因数应该在谁和谁之间?为什么?
生3:剩余几个因数应该在1和16之间。因为16最小的因数是1,最大的因数是它本身16,所以其他因数应该在1和16之间。
师:这说明一个数的因数的个数是有限的。
师:下面我们接着玩猜数游戏。这里有一个数,我依找出它的前五个倍数,并按从小到大的顺序排列好。(教师把五张卡片依次贴在黑板上,卡片的背面分别写着 5、10、15、20、25)
师:翻开哪一张就能知道这个数是多少?为什么?
生4:翻开第一张,就能知道这个数是多少。因为任何一个自然数,它的第一个倍数就是用它乘1,也就等于它本身。
师:完全正确。还有不同的意见吗?
生5:翻开任何一张都可以。第一张的数是这个数的1倍,第二张的数是这个数的2倍,第三张的数是这个数的3倍……依次类推,第五张的数除以5就可以得到这个数。
(教室响起热烈的掌声)
师:如果让你继续找下去,还可以找到5的倍数吗?能找多少个?为什么?
生6:如果继续找下去,可以找到无数个5的倍数,从5的一倍开始,5的两倍,5的三倍到5的无数倍,所以5的倍数有无数个。
师:那一个数的倍数的个数是——
生(齐):无限的。
【思考:在本环节的猜数游戏中,学生情绪饱满,思维活跃。由于在猜数过程中,学生需要根据前面已有几个数的因数和倍数,抽象概括出所有自然数的因数和倍数的共同特点,因此,在抽象、概括和推理的过程中,学生的思维在拔节生长。】
1.开放的课堂,学生思维生长的沃土
“因数和倍数”属于概念性的教学内容。我在第一次上课时不敢放手让学生自主探索、自主构建,人为地搭起了密密麻麻的脚手架,环环紧扣、完整的设计,使学生失去了思考的自由性,在教师强拉硬拽的牵引之下,学生只能跟着教师走,思维的发展受到了限制,所以教师和学生都感受到了无形的束缚感。第二次上课时,我采取了开放式的教学设计,遵循学生思维发展的规律,顺应学生思维发展的方向,让学生在思考中经历因数和倍数概念的逐步抽象过程,学生在自主探索找一个数的因数和倍数的方法过程中,思维在不断地向深处行进。
2.活动中的追问,学生思维生长的阶梯
数学是思维的体操,问题是思维的阶梯!第二次上课时,我主要让学生自主学习,通过以问引思,促进学生思维的发展。学生在自主探索如何找36的因数时,我的追问“怎样找才能不重复,不遗漏?”就能引导学生的思考走向深层次,学生的思维也随之拾级而上。接下来的猜数游戏中,学生思维的激情完全被点燃,学生在抽象概括出所有自然数的因数和倍数的共同特点的过程中,思维力在慢慢地生长,数学思想方法的种子也悄然播种在学生心田上。