基于学情分析的数学教学——对“平行四边形的面积”教学价值的探寻

安徽濉溪县实验小学（235000）

在一次课堂教学交流研讨活动中，两位教师同时执教“平行四边形的面积”这一课，虽然细节处理略有不同，但从大环节的设计来看却是大同小异。

【教学过程】

一、情境导入

由比较长方形和平行四边形的花坛的面积大小入手，引出如何求平行四边形的面积。

二、探究新知

1．用数方格的方法得出长方形和平行四边形的面积同样大，通过填表初步推测出“平行四边形的面积＝底×高”。

2．验证公式。

（1）学生动手操作；

（2）汇报演示；

（3）观察比较:剪拼后的长方形和原来的平行四边形有什么联系。

（4）验证公式的正确性。

3．教学字母公式。

4．解答例 1。

三、应用巩固（略）

【问题思考】

这种是秉承教材设计的意图进行教学的思路，细细品味之余，发现两个问题。

一、方格图该怎么用？

1．“不满一格按半格计算”，这样数出来的结果准确吗？

在之前数方格求面积的过程中，方格图中的图形基本上都是整格的，而今天的平行四边形在方格图中却是“不规则的”，占格的大小不一，用原来的方法已经无法数出面积了，怎么办？教材给出了一种方法——不满一格按半格计算，以此来降低数方格的难度。可是一个新的问题出现了：为什么“不满一格按半格计算”？这样准确吗？

细细想想，这种数法得到的结果肯定是准确无误的。第一，可以沿平行四边形的高将平行四边形剪开，平移拼接后正好两个不满一格的方格能拼成一个满格；第二，这个平行四边形的几个端点都在方格线的交点上，斜边上的线段必然穿过以两端点为相对顶点的长方形的几何中心，这样一来，这条对角线的两边的图形（不满一格）必然两两构成中心对称图形，这样也就必然能使对称中心下的两个不满一格的方格合成一个完整的方格。

但是，学生觉得这样算出来的面积真的准确吗？五年级的学生会想到中心对称吗？学生如果不是用割补的方法数，即使数出的结果正确，也肯定会在心里打一个“问号”。

2．学生真的知道要把平行四边形转化为长方形吗？

想得出平行四边形的面积公式，该怎么办？把平行四边形转化为长方形，再求其面积。这是一种转化的思想。但学生能有这种想法吗？如果随便拿一个平行四边形，在不做任何提示的情况下，学生会想到转化成长方形吗？这恐怕是教师的一厢情愿吧。如果没有教材中的“暗示”，或是教具中剪刀、三角尺的“提示”，估计学生很难想到把平行四边形沿高剪下，拼成一个长方形。这让我想起了特级教师朱国荣说的一句话：可以把平行四边形变成长方形，更多地表达了编者和教师的想法，而不是多数学生原生态的认识。

那方格图有什么作用呢？仅仅是想让学生快速得出平行四边形的面积，并感知平行四边形的底和高与长方形的长和宽之间的相等关系吗？如果是这样的作用，那这个方格图的功效也太小了，何必浪费那么多时间数方格，直接由教师带着学生数岂不是更快？

带着这个问题，我翻阅了其他各版本教材对于方格图的处理。

苏教版教材：先在方格图中分别出示两组规则和不规则图形，让学生思考每组图形的面积是否相等（相等）；然后在方格图中出示一个平行四边形，让学生将其转化成长方形。

北师大版教材：先出示问题“公园准备在一块平行四边形的空地上铺上草坪，这块空地的面积是多少？”，然后让学生在方格图中数一数。

西师大版教材：比较一个长方形（长4cm、宽2cm）和一个平行四边形（底4cm、高2cm）的面积大小，然后把两个图形放到方格图上比较，并提示“把平行四边形沿高剪下平移”。

现代小学数学版教材（杭州）：与西师大版教材类似，比较一个长方形（长10cm、宽8cm）麦田和一个平行四边形（底10cm、高8cm）麦田的面积大小，然后把两个图形放到方格图上比较，但没有提示怎么转化。

从各种版本的教材中可以看出，除了人教版教材以外，其他版本的教材都没有出现“不满一格按半格计算”的痕迹。这说明什么？是否暗含着“当大小不一的格子无法数时，迫使学生用割补法计算，以此为紧接着的转化做铺垫呢？”

基于以上分析，我把这个环节的教学设计做了调整。

出示：

图1

师：你能数出它们的面积吗？

（学生数了一会儿，只有几个学生举手）

师：为什么这么长时间还没数出来？

生1：平行四边形的面积太难数了，不够一格的有大有小，很难知道大小。

师：是啊，对于这些大小不同的格子该怎么办？

生2：我有一个好方法。其实不需要数那些不够一格的格子，可以把这些格子移到另一边，就凑成满格了。

（生2边说边比画，教师用课件演示生2的想法）

图2

（其他学生受此启发，得出了两种不同的转化方法）

图3

师：你们很聪明！善于把一个复杂的问题转化成一个简单的问题，从而解决了面积大小的问题。这里运用了一种重要的数学思想——转化思想。在数学中，转化思想很重要！我们把平行四边形转化为长方形，什么变了？什么没变？

生3：形状变了，面积没变。

师：这个转化后的长方形和原来的平行四边形相比，除了面积相等，还有什么联系吗？

生4：这个长方形的长就是平行四边形的底，宽就是平行四边形的高。

师：根据这些联系，你有什么重大发现吗？

生5：平行四边形的面积会不会是底乘高？

生6：应该就是底乘高。因为这个长方形的长就是平行四边形的底，宽正好是平行四边形的高，它们的面积相等，长方形的面积是长乘宽，那平行四边形的面积就应该是底乘高。

师：了不起的推测！但这只是我们通过观察得出的初步结论。是不是所有的平行四边形都可以转化成长方形呢？拿出你的平行四边形（大小不一），你现在还需要什么工具？（教师分发剪刀和三角尺，学生动手操作）

二、要不要展示特殊的平行四边形？

在研究平行四边形的面积时，教师习惯让学生准备一些大小不一的平行四边形，让他们试着把平行四边形转化成长方形，从而得出平行四边形的面积公式，这是常用的不完全归纳法。但这些大小不一的平行四边形，多数是沿着一个顶点作高时，高在平行四边形的里面（如图4）的平行四边形，很少有沿一个顶点作高时，高在底边的延长线上的平行四边形（如图5）。这样就给归纳平行四边形的面积计算公式带来了问题：对于如图5所示的平行四边形，还能用转化的方法吗？底乘高的面积公式是否对此也适用呢？

图4

图5

基于以上分析，我对推导面积公式的环节进行了重新设计。

师（出示图5）：怎么剪拼这个平行四边形？

生1：可以把这个平行四边形放倒，再沿着高剪下来，就可以拼成一个长方形了。

师：这个方法也可以。如果我不想旋转这个平行四边形，还有什么办法呢？（学生陷入沉思，经过尝试后，得出如图6所示的方法）

师：看来通过平移，这个特殊的平行四边形也能剪拼成一个长方形。现在我们比较转化后的长方形和原来的平行四边形，它们有什么关系？

是不是所有的平行四边形沿着高剪下都可以转化成长方形？上述教学环节通过对特殊的平行四边形的推导，使学生更加深入地理解“平行四边形的面积=底×高”，学生从中能归纳出其共性和特性，深化了转化的解题策略，培养了学生的创新思维。

图6