说题：多维视角下解析一道高考试题

浙江省宁波中学

傅 婷 (邮编：638400)

笔者有幸参加宁波教研室组织的高中数学说题比赛.在参加比赛之前，笔者的学生问了这样一个问题：已知一个抛物线型的酒杯，杯口宽4cm,杯深4cm,若将一个玻璃球放进酒杯中，当玻璃球的半径在什么范围内，玻璃球一定会触及酒杯底部？笔者在给学生解答的过程中，发现这个酒杯中的数学与2016年浙江高考理科数学试卷第19题其实是同一类型的问题.遂选择了这个题目进行说题，题目如下：

(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)；

(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

1 解法分析

考点弦长公式;圆与椭圆的位置关系;椭圆的离心率

几何条件含参圆与椭圆至多有三个交点;离心率范围

目标动态圆锥曲线交点问题的转化

.

第(II)题：考查的是双二次曲线的交点问题，本题中有动态和恒成立两个难点，故问题的解决关键在于交点问题的转化.

视角一代数视角

由于圆锥曲线的交点个数可以转化为方程有解问题，便有解法1.

解法1方程在区间上根的分布问题

(a2-1)y2+2y+r2-1-a2=0

(*)

先考虑有四个交点情况，则需要方程(*)在(-1,1)上有两不同根，由

知识圆与椭圆的对称性、根的分布问题

策略正难则反

思想方程思想

方程的有解问题可以转化为函数的交点问题，故有解法2.

解法2函数在区间上的交点个数

(1-a2)y2-2y+1+a2=r2.

当a2>2时，圆与椭圆有4个不同的公共点.

思想函数与方程思想、数形结合思想

视角二几何视角

椭圆具有对称性，要保证圆与椭圆至多有3个公共点，则圆与椭圆y轴单侧不可能有2个公共点，即弦长在y轴单侧处处不相等.将两条动态曲线的交点问题转化为弦长问题,再代数解决.

解法1弦长相等(浙江省考试院提供的参考答案)

假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P、Q，满足AP=AQ,记直线AP、AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0，k1≠k2．

①

因此，以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1

知识圆与椭圆的对称性、弦长公式

思想函数与方程思想

在解法1的基础上，若AP=AQ,则三角形APQ为等腰三角形，连接PQ，取其中点M，连接AM，如图所示，则AM垂直PQ.涉及中点、垂直的位置关系，可以考虑用点差法，将弦长相等的数量关系转化为几何的位置关系.

解法2点差法

即(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0，得

②

由AP=AQ，得AM⊥PQ,即

知识圆与椭圆的对称性、点差法

思想设而不求思想、函数思想

视角三函数视角

圆与椭圆至多有3个公共点，即当点P从上定点逆时针旋转到下定点时,PA处处不相等，即弦长在y轴左侧单调.可以考虑构造函数，将交点问题转化为函数的单调性.

解法1弦长在y轴单侧单调递增

知识弦长公式、单调性

思想函数思想

在解法1的基础上，弦长单调递增，即意味着弦长是具有最大值的.反思解法1，利用弦长公式构造出的函数，较为复杂，不便于研究.点P为椭圆上的任意动点，可以利用椭圆的方程进行三角换元来设点P的坐标，则PA为P、A两点间的距离公式.

解法2弦长的最大值

圆与椭圆至多有3个公共点，即当点P从上顶点逆时针旋转半圈到下顶点时,PA单调递增，即当且仅当点P(acosθ,sinθ)为下顶点B(0,-1)时，PAmax=2.

PA2=a2cos2θ+(sinθ-1)2=(1-a2)sin2θ-2sinθ+1+a2,(-1≤sinθ≤1)

因为PA的最大值当且仅当sinθ=-1时取到，且1-a2<0,

知识距离公式、二次函数最值

思想函数思想、数形结合思想

对于一个复杂的动态圆锥曲线的交点问题，若直接处理起来比较困难，有时候可以考虑特殊位置.

视角四特殊视角

若需满足题目条件，只需当临界情况，即半径r=2时，椭圆完整在圆内，否则只需半径再大一点就会有4个交点.

策略考虑临界位置

思想函数思想、数形结合思想

解法小结对于本题，解法众多，但笔者认为最理想的解法是转化为距离(弦长)的最值.

2 背景分析

2.1 本质研究

本题所涉及的动态圆与椭圆的交点问题，其本质是y轴上的定点A到圆锥曲线椭圆上动点P的距离PA的最值问题.解决步骤如下：(1)两点坐标；(2)距离公式;(3)构造函数；(4)函数最值.深入研究本问题，还是得到一些其他的结论：在y轴单侧，PA单调递增时，圆与椭圆的交点个数为2或1或0个；在y轴单侧，PA不单调时，圆与椭圆的交点个数为4或3个.

2.2 问题链接

以下两个问题也是定点到圆锥曲线(椭圆、抛物线)上动点的距离的最值问题.

有一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4米，深8米，称之为抛物线酒杯，当玻璃球的半径为多大时，玻璃球一定会触及到酒杯底部.

3 拓展变式

对于2016年浙江高考理科数学试卷第19题，定点A在y轴上的位置比较特殊，恰为椭圆的上顶点，故对这个问题还可以进行拓展.

变式1点A在y轴上，椭圆外

变式2点A在在y轴上，椭圆内

变式3点A在y轴正方向上运动

解设椭圆上动点为P(acosθ,bsinθ),则

PA2=a2cos2θ+(bsinθ-tb)2=(b2-a2)sin2θ-2b2tsinθ+t2b2+a2,(-1≤sinθ≤1),

变式5点A在x轴正方向上运动

解设椭圆上动点为P(acosθ,bsinθ),则

PA2=(acosθ-t)2+b2sin2θ=(a2-b2)·cos2θ-2atcosθ+t2+b2(-1≤cosθ≤1),

一般结论：

变式6圆与抛物线的交点问题

设抛物线方程为x2=2py(p>0),若任意以点A(0,t)(t>0)为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，求t、p需满足的条件.

变式7点A为平面上任意一点

4 教学启示

通过对这道高考试题的研究，笔者得到了一些启发.任何一个复杂解析几何问题的解决，都需要用到基本知识，因此在教学的过程中应该注重学生基础知识、基本技能的夯实；引导学生从不同视角下进行研究，挖掘问题的本质；关注解析几何问题(比如交点问题)转化中的通性通法，方程与函数、数形结合等思想的应用.通过对问题的变换、推广和转化，可以有效培养学生思维的广阔性.