函数的单调性教学设计及评课

郝晶 张强

关键词：单调性；教学设计；评课

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1009-010X（2018）14-0059-06

一、学习内容分析：

“函数单调性”概念以函数思想方法为核心，与函数定义、性质、特殊函数等其它数学知识有紧密联系。在初中教材中，函数递增（递减）概念依据变量之间依赖关系，对函数变化趋势进行描述；而高中函数单调性概念是用解析法刻画函数在其定义域内某区间上图像的变化及变化趋势，同时结合函数图像进行几何解释。在新概念学习过程中，要注重函数单调性概念的理解，同时突出函数单调性的研究方法，注重让学生在研究过程中，体会用代数方法研究函数特征的必要性与重要性，设计合理的学习活动，增进学生的体验与经历，提升学生数学抽象、数学运算等数学核心素养。有了以上学习积累与经验，学生在研究函数其他性质、解决相关函数问题时，可以运用函數单调性知识与思想方法对函数其他相关问题进行研究。函数的单调性在高中数学中具有核心地位和承上启下的重要作用。

二、教学目标分析

1.注意图形语言到符号语言过渡。通过对现实问题的观察，感悟准确用符号语言表达数学现象的必要性，领会准确用符号语言对描述函数性质的基本方法。引导学生用准确的数学语言归纳、表达、函数单调性概念。

2.通过学生熟悉的初等函数特例研究，理解和感受用解析法证明函数单调性基本思想与过程，增进学生逻辑推理与运算能力；并能根据定义证明函数在给定区间上的单调性。

3.运用数形结合方法，利用图像和定义判断特殊函数的单调性，发展几何直观素养。

4.通过对若干数学问题的理解，感受函数单调性在刻画函数变化规律、解释现实问题中的思想方法与作用，特别通过对现实实际问题的解决，感受数学的应用价值，提升学生数学学习兴趣。

三、情境与问题分析

1.通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本课主题函数单调性，同时借助多媒体的直观展示，让学生观察函数图像变化趋势，过渡到用代数语言表达函数单调性。

2.设置“问题串”引导学生深入思考与研究，总结研究函数性质规律与方法。

3.设计数学“学习活动”，将数学习题与练习转化为学习问题，结合例题设置“螺旋上升”式思考问题，逐步让学生感受并理解以下问题：单调性定义中，如何理解自变量在给定区间取值“任意”性？满足什么条件函数就是单调函数？函数单调性与函数区间有什么关系？单调函数证明基本思路与步骤是什么？

4.设置与现实相关的问题与情境，感受利用函数单调性定义证明函数单调性过程，体会利用函数单调性表达现实世界的数学方法，培养学生数学建模素养。

四、整体把握数学学习价值

函数单调性是学生高中阶段学习的第一个函数特性，是学生进一步体会函数思想与特殊函数模型的一个重要环节。教学分为三个层次逐步提升学生数学感知与素养——第一个层次，创设情境引出课题，让学生充分认识到数学源于生活，又能应用于生活，进而激发学生的学习兴趣，感受“知识从哪里来”；第二个层次，设置合理学习事件与环节，自主探究数学概念，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，通过逐级抽象，体会数学抽象的价值，掌握数学抽象的过程，在学习经历中提升学生数学抽象素养；第三个层次，理解概念与初步应用，尝试用概念解决问题是提升概念理解的最佳途径，在这一过程中，教师要引导学生 “回归概念”，体会用函数单调性概念理解和解释数学问题的基本思路与方法，在用概念过程中培养学生严谨推理与证明的习惯，提升学生逻辑推理素养。

五、学生学情分析：

学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：第一，从初中描述性递增（递减）函数出发，需要把具体的、直观的函数单调性的特征抽象出来，并用数学的符号语言描述，存在一定思维跳跃；第二，利用定义证明函数的单调性过程，对学生在代数方面严格推理能力的要求较高，应该给予学生自主尝试空间与时间，引导学生用代数语言进行严谨的数学推理与证明。

六、学习的重、难点：

重点：1.函数单调性的概念抽象过程。

2.函数单调性概念理解。

3.判断和证明函数的单调性。

难点：理解函数单调性的概念。

七、教学策略分析：

1.多媒体演示创设情境，让学生通过观察气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观认识，为概念的引入提供了必要性，让学生结合已有的初中学习经验进入新课题研究。

2.利用“问题串”引导学生探究学习。围绕本节课“核心问题”，展开小组合作与交流。

3.实验器材的恰当使用，提高了课堂的趣味性，丰富了学生的直观感受。

4.多媒体展示和学生“板演”相结合，提高课堂效率的同时注意数学推理严谨性。

八、教学过程：

（一）创设情境，引入新知

观察一个图形（函数），（通过多媒体给出承德市今年8月8日气温变化曲线图）

思考问题：同学们共同观察承德市今年8月8日的气温曲线图，如果用函数观点来分析，设时间为t，温度为T，这条曲线表达的是关于这两个变量的函数关系吗？为什么？

预案：教师结合学生回答追问：如果设时间t为自变量，能从图中得出自变量的变化范围吗？这个函数的定义域及它的对应关系？

【设计意图】

回归函数定义，师生共同总结：该曲线反映了气温T随时间t的变化规律，在区间[0，24]内每给一个时间t的值，根据图像都有唯一确定的温度T与之对应，是一个函数。

师：观察图像，结合已学过的函数观点，你能说出这一天的气温变化规律吗？

设计要求，学生独立思考，师生共同交流辨析。单调函数：（1）当天的最高气温，最低气温及何时达到；（2）某些时段温度升高，某些时段温度降低。

思考问题：最高气温和最低气温是在什么范围研究的？结合学生回答给以及时评价；如果在定义域内，根据函数在定义域某一个范围内变化规律，把定义域分成若干部分进行研究，你又会发现什么规律？

师生共同归纳关键点：研究函数性质要在整个定义域内研究；在定义域内的某个区间上，随着时间t的增加，对应温度升高、降低的变化规律就是函数的单调性，引出课题，板书课题。

思考问题：除了气温在某一范围的变化规律，你还能举出生活中具有单调性质的实例吗？

预案：（1）承德市橡胶坝水库一年中水位随时间的变化；（2）某段时间学生身高的变化。

师生共同归纳：抛开实际背景，从函数观点看，它们都反映了在定义域内的某区间上，随着自变量的变化，函数值变大或变小的规律（即函数的单调性）；在初中学会用文字来描述函数的单调性，这节课我们就来学习一种更为方便的定义形式：用符號语言对单调性进行代数刻画。

【设计意图】

生活情境引入新课，可以激发学生的学习兴趣，让学生感悟数学来源于生活，运用数学知识可以解决生活中的实际问题，并向学生提出这节课的学习目标。

（二）探索归纳，建构定义

观察下列函数图像，说出函数的变化规律。

①f（x）=x；②f（x）=-x+1；③f（x）=x2

预案：学生回答图像变化趋势并描述函数的变化规律，回答思路基本利用初中“描述法”。

【设计意图】

1.由图像认识增函数与减函数，直观且易于学生接受；

2.为单调函数定义中的关键词“区间上”作铺垫；

3.让学生反复体会数形结合的思想。

核心问题1：根据上面的描述，对比函数f（x）=x与f（x）=x2在区间（-∞，+∞）上的变化规律，说出它们的不同点？

预案：函数在整个定义域上都是增函数，f（x）=x2是在定义域内的区间（0，+∞）上是增函数。

教师追问：如果要定义增函数，应该选择在定义域上还是在定义域内的区间上呢？

师生共同归纳：单调性应与定义域内的区间相对应。

核心问题2：请归纳函数f（x）=x，f（x）=2x+1在其定义域上和函数f（x）=x2在区间（0，+∞）上的共同特征，并试着用符号语言表述“函数f（x）在定义域内某区间D上是增函数”。

设计要求，学生独立思考后并回答出共同特征，然后进入小组合作探究，探究核心是，如何用符号语言表述“函数f（x）在定义域内某区间D上是增函数”。

预案：增函数的共同特征：在定义域内某区间D上，函数值随自变量的增大而增大；不同小组进行符号表述，但学生描述可能不准确，如： 在区间D上，取两个自变量值x1，x2，当x1

【设计意图】

由特殊到一般，归纳得到增函数定义，在自主探究阶段中产生认知冲突，利用学生的思维节点引导更深层次的思考。

讨论交流问题：“在函数f（x）=x2的定义域（-∞，+∞）上，取两个自变量值x1=-1，x2=2，由x1

预案：（1）在定义域（-∞，+∞）上不是增函数（举反例如x1=-3，x2=2）；（2）在（0，+∞）上取特殊值；（3）x1，x2取特殊值不具有代表性，任意取才能代表区间上的所有值。

师生共同思考辨析：归纳得到增函数定义，进一步完善学生对增函数理解。

【设计意图】

定义中取值的“任意性”是关键点，也是学生理解的难点问题，为了帮助学生对给定区间两个不同自变量取值的“任意性”理解，教师应给以适时的点拨：区间上的值有无数多个，是取不完的，因此应该注意取值的“任意性”，不可由特殊值代替取值“任意性”。

（三）严格定义，理解概念

教师学生共同给出增函数定义，并研究增函数定义本质。

思考问题：有了增函数的定义，请你具体谈谈你对“f（x）=x2在区间（0，+∞）上是增函数”是怎样理解的？

预案：对定义域： 研究函数性质，首先应该在定义域内研究； 针对（0，+∞）这个区间，单调性与定义域内区间相对应，是局部概念；两个自变量的取值的任意性，代表了区间上所有值；自变量变化与相应函数值变化的一致性。

【设计意图】

逐步深化对单调函数定义的理解。

教师追问：有了对函数性质的这些认识，对比增函数的定义，你能给出减函数的定义吗？

【设计意图】

让学生通过类比，归纳概括出减函数定义。

师生共同辨析：减函数定义及单调区间概念。

教师引导：函数f（x）=x在整个定义域内都是单调的，而函数f（x）=x2在其定义域（-∞，+∞）内不单调。

核心问题3：回到前面引课时的气温曲线，说出函数的单调区间，并指明函数在相应区间上是增函数还是减函数。

【设计意图】

让学生正确表达单调区间以及函数在相应区间上的单调性。

组织活动交流：师生共同检测判断学生对定义的理解情况，并说明理由。

巩固练习：判断下列说法是否正确，并结合定义说明理由。

（1）定义域为（0，+∞）的函数f（x），满足f（n）

（2）对于定义域内的区间D，若任意x1，x2∈D，当x1>x2时，都有f（x1）>f（x2），则函数f（x）在D上是增函数.（ ）

变式：函数f（x）在D上增函数，若任意x1，x2∈D，f（x1）>f（x2），则有x1______x2.

（3）对于定义域内的区间D，任意x1，x2∈D，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0，则函数在D上是增函数.（ ）

【设计意图】

深化学生对定义的理解，进一步巩固概念。

师生总结归纳：有了定义，对函数的单调性应该有新的认识：单调性反映了在定义域内某个区间上随自变量的变化，单调性的定义从代数形式刻画函数变化趋势，更加严谨准确。借助图像可以直观感知单调性，但无法操作，而且并不是所有函数的图像都很简单，有些函数图像画不出来，但可以应用函数单调性的定义证明一个函数是否具有单调性。

（四）知识应用

例1：用定义证明：函数f（x）=2x+1在其定义域上是增函数.

设计要求，关注推理证明严谨性与推理证明基本思路。（1）用区间表示定义域；（2）取值（突出“任意性”）两个不等的自变量值x1，x2，预案：以下有学生完成：不妨设x1

学生完成证明后，教师追问：如何比较f（x1），f（x2）的大小呢？希望获得什么关系，结论是什么？你的基本推理证明过程是否完整？推理证明基本思路是什么？你对严格的推理证明有什么感受？在数学推理证明过程中需要注意什么？总结归纳。

【设计意图】

让学生学会如何分析问题，并初步体会用定义法证明单调性的过程中逻辑严密且言必有据；增强了学生运用代数法描述单调性的信心。

师生共同演示小实验：向上拉动活塞，在实验仪器中用手指封住一定量的气体，记下此时仪器上的刻度，用力向下压活塞并记下此时仪器上显示的刻度，结合手指的感觉，猜想压强P随体积V的变化规律。

例题2：物理问题（见教材）

【设计意图】

不同小组展示，纠正用定义证明过程中出现的错误，让学生明确如何从条件和已知出发获得想要的结论和用定义证明单调性的步骤。

教师追问：总结以上两个例题相同点、不同点；总结归纳证明函数单调性一般思路与方法。

（五）能力提升与拓展

【设计意图】

通过学生之间的交流，举出反例，使学生能够正确理解单调性与区间相对应，并能正确书写函数的单调区间。

（六）课堂小结：

本节课你有哪些收获？（学生交流本节课学习过程中的体会和收获，师生合作共同完成小结）；

用定义证明函数单调性的方法和步骤：取值，作差、变形，判定符号，下结论；

②数学思想方法：数形结合；等价转化；归纳和类比等思想方法的运用。

（七）分层作业：

必做题：课本32页《练习》

九、对《函数的单调性》一节课的评课

函数是高中数学内容主线之一。“函数的单调性”具有承上启下作用，与其他数学知识有紧密关联；函数单调性蕴含着用代数方法研究函数的思想，在理解、归纳、应用函数单调性概念过程中，需要从具体函数出发，完成逐级抽象过程，并利用函数单调性概念解决一些抽象问题和现实问题，对于提升学生数学逻辑推理、抽象运算素养具有重要意义。本节课教学设计从初中学生思维起点出发，结合现实问题，利用函数思想方法研究一个现实问题或特殊函数变化规律，在概念形成阶段，凸显概念抽象过程；在概念巩固理解阶段突出概念本质，在概念应用阶段凸显数学逻辑推理的严密性，在研究与学习过程始终注意“数形结合”，凸显“几何直观”；在数学活动中，凸显学生主观能动性，对培养学生数学思维与数学素养起到积极作用。下面从几个方面进行具体评析。

（一）数学学习情境设计到位

从学生思维角度出发，从学生熟悉情境中提炼数学材料与问题，关注情境问题与其他知识的关联性。情境设计既有现实情境又有恰当的数学情境。本节课数学学习是从现实世界现象或数学的内部问题开始的，现实生活中存在大量递增或递减问题，那么引导学生从数学的角度或方法来认识这些现实世界问题，并将这些问题转化为数学学习的材料，让学生了解知识的背景、激发学生学习数学的学习欲望，是数学教学的一个重要环节。为了实现这一目的，从学生熟知的“温度变化”入手，“创设情境，引入新知”，教学中，抓住新旧知识联系，从学生认识出发，回归函数定义，并引出新知，这样设计课堂教学情境，是符合数学知识特征和学生认知规律的。

（二）注意从整体把握数学学习与教学

从知识上，关注初中知识、高中函数概念、已经学习的特殊函数，关注与其他学科知识关联；从思想方法上，关注本节课数学本质，注意凸显代数方法的表达与抽象过程，如本节课设计了一个合理的“探索归纳，建构定义”抽象过程；从数学教育价值上，关注数学思维品质培养，学会数学思考，关注数学核心素养发展过程。在学生观察感知阶段，给出学生熟悉的特殊函数，提出问题，让学生利用旧知识进行分析，同时建立新旧知识联系，让学生感受从哪些角度、什么方法分析函数变化规律，判断研究对象是具有什么基本特征的函数等；其次初步利用解析法分析概括特殊函数的本质特征，通过对学生已经学习或掌握的数学经验或材料，经过学生辨别、类比、化归、概括、抽象等过程，感受一类事物的本质属性，即概念或定义的本质属性；最后，明晰数学定义，初步运用定义，合理设计教学环节，完成从具体到抽象、从特殊到一般，最终形成一般函数单调性定义；分析利用解析法描述函数单调性关键因素，比如对函数在给定区间“任意性”的讨论、回归课堂情境中的问题、利用“函数单调性”定义判断分析等，都是围绕新定义本质，引领学生体会新定义在分析研究函数单调性过程中带来了哪些方便，体会运用数学方法进行严密的数学推理与运算等。

（三）围绕数学本质，提出了一系列有学习思考价值的“问题串”

问题是数学学习的基本思路和方向，它既体现数学学习知识载体，又体现数学思想方法和数学学习策略。本课教学设计能够围绕核心内容，设计系列“问题串”，提升课堂思维质量，教师提出问题的质量决定了教学的质量，课堂问题要能够反映数学本质，并在学生思维最近发展区内发问。教师围绕变量本质特征，结合函数概念本质，设计提出问题，引出新课题，围绕“解析法”归纳、总结、提炼一类事物本质属性，认识单调性本质，关注用定义中数学语言分析研究对象，指导学生运用定义解决现实问题。本教学设计有效发挥了“问题串”引领、提升数学思维能力的作用。

本节课教师关注师生互动，给予了学生思维发展空间，但在如何发挥学生能动性，让学生“冲锋在前”主动提出“自己的问题”方面，以及形成更多的课堂生成方面，還需进一步改进与提升。