高中数学常用不等式求解分析

2018-06-19 09:52河南省郑州龙湖一中潘其渊

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河南省郑州龙湖一中潘其渊

不等式属于高中试卷中的常见题型，考题形式多样，充满灵活性，从基本填空题到综合型大题各类题型均可能考察到。高中生在日常的学习当中，若无法准确的掌握高中数学不等式解题技巧，不仅不能掌握数学知识，提高数学成绩，而且还会在数学习题解答中遇到困难，降低解题速度。因此帮助学生加强对这部分知识的掌握和了解迫在眉睫。

一、不等式的类型

高中数学中常见不等式主要有：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式。

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式。

3.一元高次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数大于2的不等式。

4.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式。

5.绝对值不等式：含有绝对值符号的不等式。

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式。

二、不同类型不等式的解法

1.一元一次不等式解法

解这种不等式最终归结为解最基本不等式

ax ＞ b(或ax＜b，ax ≥ b，ax ≤ b)。以ax ＞ b(a, b ∈ R)为例，若a＞0则解为若a＜0，则解为；若a=0，则，若，则解为；x ∈ R（2）若b≥0，解为x∈φ。

一元一次不等式简单易懂，不易出错，一般不会直接出考题，但是一元一次不等式是解其他类型不等式的基础，需要熟练掌握。

2.一元二次不等式的解法

一元二次不等式的一般形式为（或≥0）和。一元二次不等式可用因式分解或配方法求解，也可根据一元二次方程的根及二次函数的图像的关系求解。若能因式分解，则可以直接求解，若不能，则可用判别法，先求方程的根，根据方程的根求不等

式的解。具体解法为：令x1, x2为方程

的两个根，且则

（1）ax2+b x+c ＞ 0(a ＞0)，则：①若 ∆＞0，则不等式的解为(−∞, x1)∪(x2,+∞)；②若 ∆=0，则不等式的解为③若∆＜0，则不等式的解为R。

（2）ax2+b x+c＜0(a ＞0)，则①若 ∆ ＞0，则不等式的解为(x1, x2)；②若∆≤0，则不等式的解为φ。

一元二次不等式和一元一次不等式的解法是解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是无理不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。

3.一元高次不等式的解法

最简单常用的解高次不等式f(x)＞ 0（或＜0）的方法是标根法。具体为：把方程f(x)= 0的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f(x)的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根，穿过最后一个点后不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”。如果不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为“＜”则取数轴下方穿根线以内的范围。

例1：求(x−2)(x−1)(x+1)＞ 0的解

在数轴上标根得：x1=−1 ,x2= 1 ,x3=2，画穿根线：由右上方开始穿根，如图1所示。

因为不等号为“”则取数轴上方，穿根线以内的范围，即：−1＜x＜1或x＞2。