找准学习起点，捕捉思维动态，渗透极限思想——“圆的面积”教学实践

◇邵 虹

众所周知，教材是按照知识的内在逻辑关系编写的。多数教师依循教材的逻辑起点确立课堂教学的目标起点，这样的做法虽然保证了教材的系统性和严密性，却忽视了学生在学习过程中可能超前或滞后于教材所预想的起点。教材只是提供了课堂教学的“可能起点”，无法顾及学生真实的学习水平与能力。因此，仅仅依赖教材分析和教师的经验判断教学起点是不够的，对学生真实的学习起点展开研究，找准“最近发展区”，确定教学内容，修正教学目标，能有效地提高教学效率。

一、找准学习起点，选择教学内容，修正教学目标

笔者选择了杭州市城区实验学校和普通学校各2个班的140 名六年级学生，以问卷的方式进行了“学习起点”调研，测查学生学习圆的面积之前对该知识及相关内容的掌握情况，分析学生学习圆面积的认知起点。

1.学生知道“圆面积概念”吗？

语言表达：圆的表面大小 涂色表征人数 105 35百分比 75% 25%

分析：被测学生中，有75%的学生能用语言表达圆面积的含义；25%的学生会用涂色表征圆的面积，说明这部分学生头脑中出现了圆面积的表象。

思考：新课教学时是否需要安排环节明确“圆面积”的概念？

2.学生认为圆的面积与什么有关？（可多选）

与圆周率（π）有关人数 30百分比 21.4%与半径有关与直径有关与周长有关127 102 42 90.7% 72.9% 30%

分析：90.7%的学生认为圆的的面积与半径有关，但能够正确说出圆的面积与半径有什么关系的学生较少。

思考：教学前猜想“圆的面积与什么有关”是十分重要的问题，它能引导学生从圆的特征和属性两方面进行思考。建议教学时要重视圆的面积计算公式推导与半径之间建立联系，理解公式推导的过程。

3.学生选择怎样的方法研究圆的面积？

研究方式把圆切割成学过的图形，再求面积人数 8百分比 5.7%将圆均分成小扇形数 格子放在一个比圆大的正方形内比较78 42 12 55.7% 30% 8.6%

分析：有55.7%的学生希望通过“剪拼”方法研究圆的面积，说明平行四边形等直边图形利用“转化”思路研究面积的经历带给学生正向迁移，这种研究经验的积累为学习圆的面积奠定了基础。有30%的学生采用数方格研究圆的面积，还有8.6%的学生提出要将圆的放到一个更大的正方形内研究，这为理解圆的面积与半径之间的联系、估计圆的面积的取值范围提供了依据。

4.学生知道圆的面积计算公式吗？能独立推导圆的面积计算公式吗？

不知道人数 24百分比 17.1%65 17 34 46.4% 12.1% 24.4%知道知道（过程对）知道（没过程）知道（过程错）

分析：知道圆的面积计算公式的有116人，占所有学生的82.9%；不知道圆的面积计算公式的有24人，占所有学生的17.1%；其中46.4%的学生能正确推导圆的面积计算公式，并能合理解释公式的推导过程；36.5%的学生独立推导圆的面积计算公式有困难。

笔者根据是否知道“圆面积计算公式”的学生表现，分成以下几个水平层次：

水平1，完全不知道圆的面积计算公式；

水平2，听说过圆的面积计算公式，但不知道推导方法或用了错误的推导方法；

水平3，知道用剪拼的方法研究圆的面积，但不会表达；

水平4，能用图形或文字完整表达圆的面积的推导过程。

从课前调研结果看，学生对圆的面积计算公式的了解不是一张白纸。在课堂教学中，我们不但要承认这种差异，而且要充分利用学生间的差异，并开发成为优质教学资源。笔者根据真实的学习起点，修正了本节课的教学目标。

知识与技能目标——建立正确的圆的面积概念；感悟将“圆”等分研究面积的必要性，掌握圆的面积计算公式并能正确计算；能运用公式解决实际问题。

过程与方法目标——通过观察、猜想、操作、验证、归纳等数学活动，经历五次圆的面积的转化和推导过程，积累数学活动经验；揭示“用扇形等分”研究的原理，在数学活动中培养比较、分析、概括能力，渗透极限思想，发展空间观念。

情感、态度目标——积极参与数学活动，有好奇心和求知欲；在探索圆的面积计算公式的过程中，养成独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯。

二、捕捉思维动态，经历推导过程，积累数学经验

1. 尊重差异，基于认知层次揭示研究问题。

（1）课件出示一个圆，“圆的面积”指的是什么？关于“圆的面积”，你已经知道什么？

（2）指名请“学习起点”调查中不知道圆的面积计算公式的学生回答：你相信这个结论吗？

（3）指名请“学习起点”调查中知道圆的面积计算公式推导过程的学生回答：有办法证明你的结论吗？谁愿意分享自己的证明过程？

设计意图：教师直面现实，充分利用学生之间的差异，对不同层次的学生提出了不同的学习要求。引导水平1 和水平2 的学生明白：数学知识的学习不能盲目听信，要讲科学道理；要求水平3 和水平4 的学生懂得：真正学会知识，需要经历探究的过程，要讲清其中的道理。

2.动手操作，交流探究思路，明确“转化”策略。

（1）善用差异，请学生推导圆的面积计算公式。

学生在实物展台操作：将圆平均分成16 份，拼成一个近似的平行四边形，利用平行四边形的面积推导圆面积计算公式。

教师追问：为什么要将圆等分成若干份？为什么要拼成平行四边形？

设计意图：引导学生联想之前的学习经验，感知在探究圆的面积时，可以先将圆形转化成已经学过、会计算面积的图形。而圆是曲线图形，转化成直线图形就需要将圆等分成若干份，然后拼一拼，可能会拼成学过的直线图形。

（2）在个别学生演示的基础上，全体学生动手操作尝试将圆进行转化。

教师收集学生研究成果，并逐个呈现：

生1：我已经拼成平行四边形，但还是不知道怎样得到圆的面积计算公式。

生2 ：S圆=C×r。

生3：S圆= πr2。

生4：因为S平=底×高，将每个扇形分割后，再拼成一个变形的平行四边形。

教师引导学生观察（如图1），分析发现：

图1

圆周长的一半相当于平行四边形的底，圆的半径相当于平行四边形的高。根据平行四边形的面积计算方法，圆的面积就等于圆周长的一半乘半径。

教师继续追问：圆的面积计算公式中“r2”是怎么来的？

学生交流推导方法，经历公式概括的全过程：

平行四边形面积=底 × 高

设计意图：本环节的设计旨在激活学生已有的数学活动经验与新知识之间的结合点，依据不同阶段学生的思维特点、不同层次学生的认知水平和不同难易程度的学习材料，设计了开放的活动空间，让所有学生都能参与进来。在学生汇报的环节，教师十分重视学生的观察、发现和概括能力，通过对转化前后图形关系的比较，加深对数学内部知识联系的理解，获得丰富而有效的数学活动经验。

（3）类比迁移，丰富圆的面积计算公式推导的经验。

师：同学们通过圆等分后转化成平行四边形，推导出了圆的面积计算公式。圆只能转化成一种图形来研究面积吗？

生：我们认为可以把圆转化成长方形、梯形、三角形，也能推导圆的面积计算公式。

操作与思考：16 等分后的圆还可以转化成其他已经学过面积计算公式的平面图形，推导面积计算方法（如图2）。

图2

活动要求：

①选一选，每人选择一种转化的方法。

②推一推，独立思考并计算圆的面积。

③议一议，怎样推导圆的面积，并准备汇报。

合作与交流：概括圆的面积计算公式。

设计意图：本环节学生自由选择转化图形，通过动手操作、反复实验研究，亲身经历“化曲为直”的转化过程，积累了丰富的数学活动经验，重视数学思想方法的渗透。“面积计算公式的概括”是学生学习的难点，因此这个环节设计了让学生经历独立思考、小组讨论、全班汇报的过程，引导他们从对圆的面积推导的直观感知逐步上升为抽象的字母公式。同时重视学生用规范的数学语言进行表述，重视板书规范严密的推导过程，让学生理解和明晰公式的来源。这样的数学活动过程，不仅能锻炼学生的数学归纳概括能力，同时帮助学生积累了如何研究问题的经验。

三、设置认知冲突，揭示“等分”原理，渗透极限思想

我们已经知道，圆也是通过分割转化成平行四边形、长方形等图形来研究面积的，但是这种转化方法与其他直边图形的转化方法不同。一般的直边图形是通过有限次分割变换而成的，而圆是通过无限次的等分拼接、逼近才转化成直边图形的，这样的操作依据便是极限思想。因此，极限思想是本节课重要的数学思想。如何精确计算圆的面积？如何真正理解有限与无限、圆与方、曲与直的矛盾呢？笔者做了以下的尝试：

1.对于前面的圆的面积计算公式推导过程，你有什么疑惑？

生1：拼成后的近似图形还有一些“边”不是直的，这样推导出来的面积计算公式精确吗？

生2：为什么要等分成小扇形来拼接？

教师出示“学习起点”调查结果：（如图3）

图3

课前调查结果显示，有75%的学生选择了利用“小扇形”研究圆的面积。多数学生认为：扇形既是圆的一部分又与三角形的面积相似，而且等分后的扇形弧长总和是圆周长，两条直边是圆的半径……这些因素有助于圆面积的研究。

2.观察与想象：小扇形与小三角形的关系。

（课件动态演示，如图4，学生安静地观察与想象：圆等分的份数越多，三角形的底越接近扇形的弧长；三角形的高越接近扇形的半径；三角形的面积越接近扇形的面积）

图4

引导学生闭眼想象无限等分下去，当三角形的面积与扇形的面积误差无穷小的时候，三角形的面积就等于扇形的面积了。

3.思考与交流：将一个半径为r 的圆平均分成若干份后，研究它的面积。

学生回答：无论将这个圆等分成多少份，每一份都是一个近似等腰三角形，求出一个三角形的面积，再乘个数，就是圆的近似面积。当等分成无穷多份时，这些小三角形的面积和就等于圆的面积。

全班交流：

设计意图：借助计算机辅助教学，动态演示圆等分成 4 份、8 份、16 份、32 份、64 份、128 份……后的图形，引导学生观察每种等分结果中小扇形与小三角形之间的关系，造成视觉冲击。引发学生思考并得出圆等分的次数越多，小扇形与小三角形越接近。当等分无数次时，小扇形就等于小三角形，从而在渗透极限思想的同时，消除“近似公式”的错误观念。在这个环节，预留了开放的探究空间，学生可以将圆等分成任意份（16 份、32份、128 份……），都可以通过无限想象，利用一个小扇形的面积来推导并概括出圆的面积，巩固了以曲代直的转化思想。

4.回顾与整理。

①今天我们一起研究了什么问题？②我们是怎样研究的？③你还有什么问题？

5.今天主要运用了转化的方法来推导圆面积计算公式。其实，除了今天用的方法，数学爱好者还想出了一些有趣的方法。（如图5）

图5

设计意图：在课的最后，让学生安静地想一想，回顾自己学习的内容、学习的方法，有助于学生将所学的知识形成一种观点——研究未知的领域可以通过转化的思想——研究曲边图形可以借助直边图形——通过有限想象无限……让学生将研究的对象与它们之间的关系统一内化成一个新的思维领域。在这个阶段，教师需要与学生一起做一个全面的评述，帮助学生形成完整的研究思路。此外，在研究最后让学生反思研究的过程，想一想还有哪些问题，并布置了研究圆与其他直边图形的面积关系的课外作业，既有利于巩固知识，培养学生科学、认真、严谨的研究态度，也有利于激发学生继续研究相关问题的兴趣。