拉长数学教研的历程——以“尝试与猜测”教学为例

◇闫金艳

一 我的困惑

“尝试与猜测”是北师大版教材五年级上册“数学好玩”的内容，主要内容是借助“鸡兔同笼”这个载体，让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会解决问题的一般策略——列表。

课中我引导学生以假设法和列表法为主解决问题。课后有学生质疑：“遇到这类问题用假设法就行了，为什么还要学习其他方法？都不如假设法好用。”此时，我不知该如何回答，便一句话给掩饰了过去。

做课后练习时，学生的表现却出乎意料，我以为学生能够灵活运用几种方法解决问题，学生却出现很多问题。如有的学生只知套用假设法思路列式计算，却不知道算出来的结果是鸡的只数还是兔的只数；有的只知鸡兔，不知其他，不能举一反三。

这些实际情况使我产生了困惑：教材中让我们运用尝试与猜测的价值何在？数学老师该如何做才能让学生真正理解数学，掌握分析问题的思想方法呢？

于是，我们几位数学老师采用了“互助式观课”的教研活动，围绕课前准备、教学实践、课后交流等几个方面展开讨论。

二 初次教研——峰回路转

1.课前准备——绞尽脑汁。

课前，我们先进行了教材分析与学情调研。首先，我们将北师大版教材各年级出现的列表法进行比较，发现“尝试与猜测”这一内容，主要是借助“鸡兔同笼”这个载体，鼓励学生在尝试和不断调整的过程中，体会列表这一解决问题的策略。我们还与其他版本教材进行了对比，发现北师大版教材注重让学生经历尝试、列举、不断调整数据、发现数据之间关系和变化规律的过程，在不断深入研究列表的基础上与其他解题方法进行沟通和联系。

其次，我们进行了学生调研，前测题目为：“鸡兔同笼，共有 30个头，88 只脚，鸡、兔各有多少只？ ”前测结果如下：在调查的35人中，能解决问题的共25人（约占71%），他们所用的方法如表1。

表1 能解决问题的学生所用的方法

在前测中，我们发现大部分学生已经掌握了解决“鸡兔同笼”问题的方法，可以看出抽象的假设法在多种方法中占据了很高的比例，但学生真正理解假设法了吗？通过访谈得知，很多学生是通过课外学习知道假设法的，更多的是套公式。其实对学生而言，“列表尝试法”更符合学生的认知。学生受“鸡兔同笼”情境束缚，无法回到“原始”状态。为此，我们根据学生生活实际，大胆调整“鸡兔同笼”情境，创设了一个类似问题，并以这个情境导入，以期激发学生原始的经验，尝试解决新问题。

2.第一次实践——迫不及待。

有了以上的思考后，我们进行了教学实践。由一位老师执教这节课，其他老师进行课堂观察，并记录发现的问题。

师：学校组织各年级进行乒乓球比赛，可以有20 桌同时进行比赛，有66人参加，你知道有几桌进行单打，几桌进行双打吗？在纸上记录你的思考过程。

（学生独立思考，教师巡视并选择学生作品进行展示）

作品: 4+2＝6 66÷6＝11 20-11＝9

师：这样做可以吗？

生：不行，安排11 桌单打、9 桌双打不能满足人数共有66人。

师：那该怎样有序地记录呢？

生：一个一个地试。

师：请把你的方法有顺序地记录下来。

这一教学片段中，教师能及时捕捉错例，但在呈现错例后，仓促地让学生解释是怎么回事，教师没有进一步分析，而是转入自己设定好的环节，即让学生将单打与双打的桌数一个一个地试试去解决问题。

课后，大家进行了讨论，交流中我们发现，当我们专注于教学研究时，当我们一心想要实现学习目标时，总会遇到“教”与“学”难以衔接的问题，作为教学主体的学生，他们怎样思考问题？他们遇到了什么困难呢？

3.教师交流——茅塞顿开。

这节课，学生在解决这个问题时是有很多困难的，如大部分学生没有解决问题的思路。如何从此处入手，鼓励学生寻找困难的原因，经历寻找方法的过程，理解选择尝试法的根本原因呢？

如，在给出问题后，可以询问学生：哪些同学已经解决了这个问题？没有解决问题的遇到了什么困难？我们一起来交流，说不定能解决你的难题呢。交流后从错例入手，期望学生有更多的思路去解决问题。

出示以下错例：

与学生一起分析错例，从以下几个角度入手：错例①说明不全是单打或双打，错例②说明单打与双打的桌数不会同样多。

从以上错例我们可以发现，学生的思维能给我们带来很多有价值的信息。那么，该怎样思考这个问题呢？启发学生既要考虑一桌单打与一桌双打各需要几个人，还要考虑怎样安排能满足桌数是20，总人数是66。同时，让学生思考：这个问题难在哪里？与以前学的有何不同？

在教研交流中，我们越来越强烈地感受到，分析学生出现困难的原因，改变学生原有的思维方式非常重要，因为学生是教育教学中最重要的资源，教师越了解学生真实的想法，越能深入探究知识的本质，教学就越有针对性。

三 再次教研——走向深入

1.第二次教学实践——找到方法。

修改教学设计后，我们再次走上讲台。特别提醒观察的老师要及时捕捉学生的困难，并适时引导学生之间相互启发，记录学生的思考方法，逐一展示与交流。

生1：我先假设有1 桌单打，19 桌双打，共有78人，比66人多，可以增加单打人数，减少相同数量的双打的桌数，我发现增加1 桌单打，减少1 桌双打，人数就会减少2，按照这样的规律试下去，就会试到符合要求的人数。（如图1）

师：他采用逐一列举的方法，先满足20 桌这个条件，在不断的尝试中去满足66人，顺利地解决了问题。

生2：我先假设单打与双打的各有10 桌，然后根据总人数是否满足66人进行调整。（如图2）

图2

师：你是怎样想到这种方法的？

生：这种方法可以缩小列举的范围。

生3：我是跳着列举的，先假设有1 桌单打，19 桌双打，共有78人，比 66人多，我再增加 1桌单打的，这时候总人数是76，比66人多了10人，我就直接减少5 桌双打的，就找到答案了。（如图 3）

图3

师：跳着列举，靠计算指挥“跳”，很快就能找到答案。

生4：我是用假设法计算的。假设20 桌全是单打，那么比实际少了26人，然后每把一桌单打换成双打，人数就增加2，因此26 除以2 等于13，有 13 桌双打，7 桌单打。

师：这么多方法都能解决问题，你喜欢哪种方法？

课上老师一个个地出示学生作品，让学生说说自己的想法。那么，有没有更好的设计，既能让学生对比发现各种方法的特点，又能深入沟通方法之间的联系呢？

2.再次交流——深度思考。

本节课，我们将学习目标定位于帮助学生经历尝试、分析和不断调整的过程。课堂上，教师在实现这一目标时不能急于寻求到最终结果，而是在寻求的过程中，放慢前进的脚步，鼓励学生通过观察、对比，发现各种列举方法中蕴含的规律，通过分析找到调整的方向，不断完善列表方法。

首先，建议教师将几个作品放在一起，请学生解读，发现这些作品的相同处和不同处，让他们体会到列表的方法具有思考有序、系统完整、一一对应、符号简洁、准确率高等诸多优点。

其次，我们要帮助学生体验解决问题方法的多样性，列表法、假设法、列方程等并不是孤立存在的，相互之间有着必然的联系，在展现方法时要抓住各种方法之间的联系，将多种方法有机结合，使整个教学过程衔接紧密。

其实，列表法蕴含着假设法思维的雏形，通过按顺序列表就可以让学生初步感知：随着双打或单打桌数的调整，人数会发生有规律的变化。会用跳跃列表尝试解决问题的学生就已经基本抓住了假设法的思考方式，取中列表实际上就是一种取中假设。在教学中，我们不仅要注重学生间分享解决策略，还要注重沟通策略之间的联系。

四 教研带给我们的启示

在教研中，我们越来越清楚地认识到，学生对知识的深刻体验，基于教师对教材和学生的分析及独具匠心的教学设计。

首先，我们要仔细研读教材，了解教材编写的意图。建议梳理一个教学主题在各年级所涉及的教学内容和要求，做到心中有数，这样教学时才能有目的、有重点地教学。从知识框架、呈现形式、数学思想、表达方式等方面，用全局观指导教学。

其次，我们要分析学生的学习困难。要不断思考学生可能会遇到哪些困难，产生哪些错误。在仔细分析学生学习困难的基础上，有针对性地制定学习目标，使“教”真正为“学”服务。

最后，联系整合，让数学学习系统化。数学知识间是有联系的，教师要善于引导学生发现其中蕴含的规律，帮助学生建构知识之间的联系。如“尝试与猜测”这节课中，注重列表法与假设法之间的联系，在动态演示中帮助学生体会解决问题的思维方法。

总之，教研让我们更加清楚，教师要善于在日常的教学中积累经验，及时审慎思考自己的教育行为，让学生的数学学习慢下来，真正实现教学相长。