从数形结合角度解绝对值不等式

吴远觉

绝对值不等式的常见解法有定义法、平方法、零点分区法，要点在于去掉绝对值。如果运用绝对值的几何意义，或者运用绝对值函数图像，从数形结合角度来解绝对值不等式，则显得直观、简便。下面笔者结合实例加以说明。

例1（2017年全国卷Ⅲ）已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|，求不等式f（x）≥1的解集。

解析：|x+1|-|x-2|表示x与-1的距离和x与2的距离之差，f（x）≥1表示这个差不小于1。结合数轴可知，x需位于1或者1的右边（如图1），故不等式的解集为{x|x≥1}。

当然也可以通过零点分区讨论求解，还可以作出函数f（x）与y=1的图像，从图像上发现f（x）的解是{x|x逸1}。

例2（2009年辽宁卷）设函数f（x）=|x-1|+|x-a|。

（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；

（2）如果x∈，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围。

解析：（1）a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|表示x到-1的距离和到1的距离之和。如图2，當x位于-1和1中间时，f（x）=2<3，显然不成立，故x需位于-1左侧或者1的右侧。由线段长可知，x∈（-∞，-1.5]∪[1.5，+∞）。

（2）x∈，f（x）≥2恒成立表示f（x）的最小值大于等于2。而f（x）最小时x位于1和a的中间，故a应该在1的左边或者右边最少相距2的位置，故a∈（-∞，-1]∪[3，+∞）。

本题常规做法需要对a与1进行比较，分三种情况讨论，显得繁琐。数形结合让题目变得简单直观，方便快捷。

华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数形结合作为中学阶段一种非常重要的数学思想方法，需要平时多渗透、训练，才能切实提高学生的解题能力。

（作者单位：长沙麓山外国语实验中学）