浅谈微分中值定理在证明中的应用

李娜

摘 要 本文结合几道有关中值定理方面的典型例题，针对学生在学习中的难点进行详细的分析，从三个方面进行总结和归纳。

关键词 微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 构造法

中图分类号：O172.1 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.02.025

Application of Differential Mean Value Theorem in Proof

LI Na

（Zhengzhou Technology and Business University， Zhengzhou， Henan 451400）

Abstract In this paper， some typical examples of the mean value theorem are discussed， and the difficulties in learning are analyzed in detail and summarized from three aspects.

Keywords differential mean value theorem； rolle's theorem； lagrange's mean value theorem； cauchy mean value theorem； construction method

在“高等数学”这门课中，微分中值定理是微分学部分应用的基础，是用微分法研究函数性态的重要工具，是从研究函数的局部性质到研究函数的整体性质的桥梁，因此能恰当地应用微分中值定理就显得尤为重要。

微分中值定理是罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理等的统称，利用微分中值定理可以证明方程根的存在性，证明等式或不等式的成立。由于它的应用难度较大，很多学生在学习这部分的内容时一头雾水，下面从几个方面对微积分定理在证明中的应用进行详细的分析。

1 利用中值定理证明方程根的唯一性

例 证明方程有且只有一个小于1的正根。

析 “有”表示方程的根存在，需用到零点定理，“只有一个”表示方程的根是唯一的，需用到罗尔定理来做。

证 （1）存在性 令，则在[0，1]上连续，且，由零点定理可知， （0，1），使得。

即是方程的小于1的正根。

（2）唯一性（反证法） 设方程另有一根（0，1），且使得。不妨设，由于在上满足罗尔定理的条件，至少存在一个，使得。这与矛盾。

故方程有且只有一个小于1的正根。

2 利用中值定理证明等式的成立

例 证明恒等式，。

析 要想证明该等式成立， 需分两步来证：首先需证等式左边的函数是一个常值函数，然后证明这个常数就是等式右边的数值。

证 设，则

。由拉格朗日中值定理的推论可知， 。又因当时，，故，。

例 设在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且，证必有一点，使得。

析 要使成立，即需成立。变形得，即。因此需要构造辅助函数，利用罗尔定理来进行证明。

证 设，则在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且（0）=（1）=0，由罗尔定理可知（0，1）， 使得。又因，得，也即成立。

例 设在上连续，在内可导，求证存在一点，使得。

析 所证结论可看作

，也即。故需利用拉格朗日中值定理进行证明。

证 设，在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。由拉格朗日中值定理可知，使得。又因，得，得证。

例 设，在上连续，在内可导，求证存在一点，使得

析 要证，即证。因此需设，利用柯西中值定理进行证明。

证 设，则均在上连续，在内可导，且。。由柯西中值定理可知，，使得。

代入整理即得，即，证毕。

3 利用中值定理证明不等式的成立

例 证明不等式 成立。

析 对于此类的不等式，一般都是从中间项入手，结合拉格朗日中值定理进行证明。之所以可以用拉格朗日中值定理进行证明不等式的成立，主要是因为拉格朗日中值定理的结论中含有不确定的。

证 设则在[0， ]上连续，在（0， ）内可导。由拉格朗日中值定理可知， ，使得。又因 。即。

又，成立。

例 设在（a，b）内，试证：对于（a，b）内的任意2个不同点，有。

析 一般来说，题设条件中具有二阶或二阶以上的导数时，往往需要应用泰勒公式（介于和之间）来证。

证 将在處展开，得

，其中介于和之间。

上式中分别取及，得

上面两式相加，得

由于，故。

即成立。

注 若题中条件改为，而其余条件不变，则结论改为。

微分中值定理的应用是重点，也是难点，因此在学习的过程中，需要学生去多多观察。用心体会，化难为易，便会收获满满。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学.第七版[M].高等教育出版社，2015.

[2] 荆天.柯西中值定理及其应用[J].科技信息（学术研究），2008（27）.

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[5] 党艳霞.浅谈微分中值定理及其应用[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2010（1）.