浅谈唯物辩证思想在高等数学教学中的渗透

高大成

摘 要：数学蕴含着丰富的唯物辩证思想。现实世界中的数量关系和空间形式是数学主要研究对象，事物都在运动和变化之中，运动和变化是一个量变到质变的过程。教师可以通过对无穷小、拐点、曲线的切线和变速直线运动的路程等概念和方法的分析，阐述高等数学教学中唯物辩证思维方法的渗透。

关键词：高等数学教学；唯物辩证思想；渗透

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2018）16-0006-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.16.002

高等数学具有的高度抽象性、严谨的逻辑性和应用的广泛性等特点，数学思想内容深刻，处理问题方法巧妙，悠久的历史和辨证的思维特点决定了具有对学生进行唯物辩证思想教育的很好基础。作为教师要依据教材，以学生为本设计教学方案，匠心独运地创设出对学生进行唯物辩证思想教育的渗透点，把握时机、创设氛围，把唯物辩证思想在数学教学中的渗透工作做到实处。

一、唯物辩证思想与高等数学

恩格斯说过：“要辨证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。”现实世界中的数量关系和空间形式是数学主要研究对象，事物都在运动和变化之中，运动和变化是一个量变到质变的过程。事物量的变化以及量与量之间关系的变化都可以由数学来刻画和研究，对事物空间存在形式的研究同样离不开数学。

法国著名数学家家笛卡儿将变量引入了数学，创造了坐标的概念，创建了解析几何学，用代数的方法可以证明几何定理及解决相关问题，并且利用直观的几何概念有力推动解析几何的研究和发展，这得到了恩格斯的高度评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就成为必要的了。”笛卡尔的解析几何学在数学史上做出了划时代的改变，推动了唯物辩证思想的发展。

关于微积分学的创立，做出重大贡献的是英国科学家牛顿和德国科学家莱布尼茨，他们在深入研究的基础上各自独立地创立了微积分，恩格斯指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”“只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明过程、运动”。马克思、恩格斯从数学中挖掘出固有的辩证思想并进行了哲学意义上的阐发。

二、极限方法在微积分中的应用

对于微积分，极限概念及其应用起了基础性的作用。例如，作为数量变化过程或趋势的无穷小（n趋于∞），在其变化过程中，其特征是可以任意小。但在任何固定时刻，对于一个非负自然数n无论有多大，是一个确定的正数，当n趋于∞时，对于任意小的正数ε，我们可以确定相应的正整数N，使得当n>N时，常数<ε成立，这时我们说当n趋于∞时，=0。“ε-N”和“ε- δ”语言是微积分的理论基础，这些“有限和无限”及其变化充分体现了唯物辩证思想。

在求曲线y=f（x）的切线教学中，首先是求曲线在点M处的切线的斜率，方法是在曲线上取M外的一点P，确定割线MP的斜率，在点P沿曲线无限地趋近点M的过程中割线MP的极限位置就是曲线在点M处的切线，就是说在此变化过程中割线MP斜率的极限就是曲线y=f（x）在M处切线的斜率.体现了事物的变化是从量变开始，量变是质变的必要准备，质变是量变的必然结果这一唯物辩证思想。

在微积分中作为连续曲线上凹凸分界点的拐点概念，在一定范围内，凹凸不会改变，但是一旦突破这个范围，凹凸就会改变。一切事物都是数量和质量的统一体，量变是质变的必要准备，质变是量变的必然结果，两者相互渗透，相互依存，事物的发展遵循质量互变、有限与无限的对立统一

三、在用极限方法求变速直线运动的路程中渗透唯物辩证思维方法

已知运动物体进行变速线性运动，其速度ν是时间t的函数ν（t），求物体从时间t=0到t=t0经过的路程S。我们可以通过有限而无限的相互转化来解决“变”与“不变”的矛盾，就是极限方法。

1.“化整为零”进行分割：

把时间区间[0，t0]被分成n个小区间，表示为t0，t0（i=1，2，......，n），每个小区间长度为？驻t=，每个区间内物体运动距离分别表示为？驻Si（i=1，2，......，n）。

2.近似替换的“匀代非匀”

在每个小区域内，以匀速直线运动的距离近似代替变速度运动距离，在t0，t0上任取时刻？孜i（i=1，2，......，n），用在时间？孜i处的速度V（？孜i）近似代替物体在第i个小区间的速度，每个小区间中物体的行进距离可表示为？驻Si≈ν（？孜i）？驻t（i=1，2，......，n）。

3.进行化整为零的反过程

物体在时间区间[0，t0]移动的距离S用分割为n个小区间上做n个匀速直线运动的路程和近似代替，即S=？驻Si≈ν（？孜i）？驻t；

4.取极限，“量变到质变”：求和式ν（？孜i）？驻t的极限：当所分时间越短，和式的值就越接近S，因此，当n→∞时，即

？驻t=→0时S=ν（？孜i）？驻t，就是物体在时间间隔[0，t0]内行进的距离，解决此类问题的共同特点是用极限方法处理如“曲”与“直”“变”与“不变”等问题，反映了事物发展变化的否定过程。从有限中认识无限，把握无限。在此思想方法中，需把握有限向无限的转化，以及无限转化为有限。在高等数学教学中，教师应重视唯物辩证思维方法的运用和渗透，充分认识过程与结果、有限与无限、常量与变量、量变与质变等的對立统一。

类似的例子我们可以举出好多，从导数、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等相关内容中随处可以渗透唯物辩证思想的教育。例如，定积分和不定积分，不定积分指的是所有原函数，定积分是一个数，是一个和式的极限，两者既有区别又有联系，可用马克思主义哲学中的普遍联系的观点进行剖析。