弹性地基上转动功能梯度材料Timoshenko梁自由振动的微分变换法求解

滕兆春 昌 博 付小华

兰州理工大学理学院，兰州，730050

0 引言

功能梯度材料（functionally graded material，FGM）是将不同材料组分从一侧向另一侧连续变化的先进复合材料，和层压复合工艺相比，功能梯度材料特性在特定的尺寸内变化平缓，没有材料性能的突变。功能梯度材料通常由不同的两种材料组合而成，例如陶瓷和金属材料。传统复合材料中，在相邻层的连接处，材料特性会发生突变，从而产生很大的剪切应力，而功能梯度材料具有很多优点，例如能够确保应力分布的平稳过渡、最小化或者消除应力集中现象、增加两种不同材料在连接处的黏合强度［1-2］，因此，采用功能梯度材料制作的结构在工程中得到大量运用，包括航空结构、核反应堆、化工厂、光学器件、半导体和生物工程等。

关于功能梯度材料梁的力学行为研究，目前已有较多成果，例如SINA等［3］采用一种不同于一阶剪切梁理论的新理论，用解析法研究了材料性质由厚度方向按幂指数连续变化的功能梯度材料梁的自由振动，并和其他梁理论的结果做了对比。李世荣等［4］基于Euler-Bernoulli梁理论，研究了材料性质沿厚度连续变化的功能梯度材料梁的弯曲、屈曲和自由振动问题，并得到了与均匀材料梁的解之间的相似转换关系。LI［5］研究了功能梯度材料Timoshenko梁和Euler-Bernoulli梁的静态弯曲和应力分布，也研究了波在梁中的传播以及梁的自由振动。MOHANTY等［6］基于Timoshenko梁理论，采用有限单元法研究了转动功能梯度材料和夹层功能梯度材料悬臂梁的自由振动问题，给出了梁的转动惯量、轮毂半径和转速对前两阶模态频率的影响。在以上梁的力学分析中，经典梁理论（Euler-Bernoulli梁理论）忽略横向剪切变形的影响，故仅适用于细长梁；而一阶剪切梁理论（Timoshenko梁理论）克服了经典梁理论的局限性，考虑了横向剪切变形的影响，能适用于比较短和粗的梁，也使得计算结果更贴合工程实际［7］。

微分变换法（differential transform method，DTM）是一种有效的将线性或非线性微分方程（组）变换成代数方程（组）求解的半解析方法，最初被用于电路中问题的分析［8］，近年来DTM也逐渐用于结构的静动力学响应求解［9-11］，DTM具有较高的计算精度和计算效率，所得结果完全能满足工程要求。目前，关于弹性地基上转动功能梯度材料Timoshenko梁的自由振动问题研究，在国内外还未见文献报道。本文采用DTM对弹性地基上转动功能梯度材料Timoshenko梁的自由振动问题展开研究。

1 控制微分方程及参数的量纲一化

图1 弹性地基上转动功能梯度材料Timoshenko梁的几何尺寸和坐标系Fig.1 Geometry and co-ordinate system of a rotating FGM Timoshenko beam on elastic foundations

考虑图1所示放置在Winkler弹性地基上并随地基一起转动的功能梯度材料Timoshenko矩形截面梁。梁的长度为l，高度为h，宽度为b，Winkler弹性地基模量为K。以梁的轴向方向和厚度方向分别建立x轴和z轴，梁和地基一同绕z轴以转速Ω转动。梁的材料由陶瓷和金属复合而成，材料组分由下表面的纯金属连续变化到上表面的纯陶瓷，则材料性质沿厚度方向呈梯度分布。材料的主要物理参数有弹性模量E、剪切模量G和质量密度ρ。假设材料组分的体积分数沿厚度按幂指数变化［2］：

其中，下标m和c分别表示金属和陶瓷，Vm、Vc分别为金属和陶瓷的体积分数，n为材料梯度指数。于是功能梯度材料梁的材料性质参数P（E、G和 ρ）可由下列混合律模型统一给出［2］：

假设功能梯度材料梁的物理中面在z=z0处，根据ZHANG等［12］提出的物理中面概念，其计算公式为

对于弹性地基上转动功能梯度材料Timosh⁃enko梁，文献［13］给出的几何方程为

式中，u0、w分别为物理中面上一点在x、z方向的位移；θ为梁横截面的转角；εxx为梁横截面上任一点的线应变；γxy、γxz为切应变。

则梁的弯曲应变能

将式（4）代入式（7）得

将式（8）展开并忽略某些高阶小量项后得到

定义如下系数 A1、A2、B1和 B2：

其中，A1和 A2分别称为梁的拉伸刚度和弯曲刚度。弹性地基上转动功能梯度Timoshenko梁沿轴向的离心力

由离心力产生的物理中面上一点的应变与轴向位移的关系为

联立式（9）～式（11），得到梁的弯曲应变能

其中，C1为常数。由剪切变形产生的应变能

将式（5）和式（6）代入式（13）得

式中，C为剪切刚度。

将式（12）与式（14）相加，得到梁的总应变能

梁的动能

其中，C2为常数。外力做功

式中，K为弹性地基模量。

弹性地基上转动功能梯度材料Timoshenko梁利用广义Hamilton原理［14］：

式中，T为系统的动能；U为系统的弹性势能；δ为变分符号；t1、t2分别为系统运动的初始时刻和终止时刻。

将式（15）～式（17）代入式（18），可得到弹性地基上转动时功能梯度Timoshenko梁横向运动的两个控制微分方程：

式中，k为剪切修正系数。

对于FGM梁的自由振动，可令

式中，为模态函数；ω为固有频率。

将式（21）和式（22）代入式（19）和式（20），得到弹性地基上转动功能梯度材料Timoshenko梁自由振动的控制微分方程：

引入如下的量纲一变量：

式中，r为量纲一转动惯量参数；η为量纲一转速；s为量纲一剪切模量；μ为量纲一固有频率；λ为量纲一弹性地基模量。

离心力用量纲一坐标ξ表示的表达式为

则弹性地基上转动功能梯度材料Timoshenko梁自由振动问题的量纲一控制微分方程为

弹性地基上转动功能梯度材料Timoshenko梁的边界条件只考虑工程实际中最常见的几种情况：

（1）ξ=0处：

（2）ξ=1处：

2 量纲一控制方程及边界条件的DTM变换

DTM是一种能有效地将线性或非线性微分方程（组）变换成代数方程（组）求解的半解析方法，它基于Taylor级数展开来求解微分方程，使用充分可微的多项式形式作为精确解的近似形式。经DTM变换，可将原微分方程（组）和系统边界条件转化为适于计算机编程的代数方程（组）。对于原函数 f(x)，根据函数的Taylor公式，经过DTM变换后的函数F(k)定义为［8］

F(k)的逆变换为

或

在实际应用中，函数 f(x)只考虑级数的有限项，式（29）可改写为

其中，正整数m表示Taylor级数的项数，通常情况下可通过增大m的值来提高解的精度。

分别用Φ和Θ表示变量W和的微分变换形式，则弹性地基上转动功能梯度材料Timoshen⁃ko梁自由振动问题的量纲一控制微分方程（式（26）和式（27））经DTM变换并化简后如下：

经DTM变换后的量纲一边界条件为

（1）当 ξ=0时：

夹紧（C）：Φ(0)=0，Θ(0)=0

（2）当 ξ=1时：

3 结果计算及分析

计算中功能梯度材料Timoshenko梁的材料物性参数分别取值如下［15］：ρc=3 960 kg/m3，ρm=2 702 kg/m3，Ec=380 GPa，Em=70 GPa。通过编写MATLAB程序可获得式（30）和式（31）在各边界条件下特征值问题的量纲一固有频率。为了验证计算模型的准确性及DTM求解方法的有效性，表1给出了量纲一转动惯量r分别为0.05，0.06，0.07，0.08，0.09，0.1时和量纲一转速 η分别为0，4时，将原问题控制微分方程退化到均匀材料且无弹性地基时Timoshenko悬臂梁的量纲一基频计算结果，并与文献［15］的动力刚度法求解结果做比较。由表1可看出，本文结果与文献［15］完全一致。计算中梯度指数n=0，剪切修正系数k=2/3，泊松比 υ=1/3，量纲一固有频率

表2给出了当梯度指数n=1时，控制微分方程退化到无转动速度和无弹性地基时功能梯度材料Timoshenko悬臂梁的前3阶量纲一固有频率的计算结果，并和文献［16］中的Chebyshev配点法求解结果做了比较。由表2也可看出，本文结果与文献［16］基本一致。计算中细长比l/h=10，量纲一固有频率

表1 均匀材料Timoshenko悬臂梁的量纲一基频比较Tab.1 Comparison of dimensionless fundamental frequencies of homogeneous material Timoshenko beams with cantilever end condition

表2 功能梯度材料Timoshenko悬臂梁的前3阶量纲一固有频率比较（l/h=10，n=1）Tab.2 Comparison of first three natural frequencies of functionally graded material Timoshenko beams with cantilever end condition（l/h=10，n=1）

图2分别给出了C-C、C-S和C-F边界条件下梁的前阶量纲一固有频率μ与梯度指数n之间的关系曲线。由图2可见，在功能梯度材料梁转速η和弹性地基模量λ一定的情况下，量纲一固有频率μ随着梁梯度指数n的增大而减小，且高阶量纲一固有频率变化比较明显，低阶量纲一固有频率特别是量纲一基频变化较小。功能梯度材料梯度指数n在0～1范围内变化时频率改变比较剧烈，此后逐渐趋于定值，这一点完全符合功能梯度材料梁的材料由陶瓷向金属过渡的特点。

图3分别给出了C-C、C-S和C-F边界条件下梁的前4阶量纲一固有频率μ与量纲一转速η之间的关系曲线。由图3可以看出，在功能梯度材料指数n和弹性地基模量λ一定的情况下，随着量纲一转速η的增大，由于转动而产生的离心刚化效应逐渐增强，梁的量纲一固有频率μ也逐渐增大，且对高阶量纲一固有频率的影响比较明显。这也说明在振动分析中，对高阶固有频率的变化关系也需要加以关注。

图2 前4阶量纲一固有频率μ与梯度指数n之间的关系曲线 (η=5,λ=100)Fig.2 The first four dimensionless natural frequenciesμ on graded index n(η=5,λ=100)

图4 分别给出了C-C、C-S和C-F边界条件下梁的前4阶量纲一固有频率μ与量纲一弹性地基模量λ之间的关系曲线。由图4可看出，在功能梯度材料指数n和转速η一定的情况下，量纲一固有频率μ随着量纲一弹性地基模量λ的增大而增大，并且量纲一弹性地基模量λ对低阶量纲一固有频率μ的影响比较明显。

4 结论

（1）在功能梯度材料梁转速η和弹性地基模量λ一定的情况下，量纲一固有频率μ随着功能梯度材料梯度指数n的增大而减小，且高阶量纲一变化比较明显，低阶量纲一固有频率特别是量纲一基频变化较小。

图3 前4阶量纲一固有频率μ与量纲一转速η之间的关系曲线(n=1,λ=100)Fig.3 The first four dimensionless natural frequenciesμ on dimensionless rotating speedη(n=1,λ=100)

（2）在功能梯度材料指数n和弹性地基模量λ一定的情况下，量纲一固有频率μ随着量纲一转速η的增大而增大，且对高阶量纲一固有频率的影响比较明显。

（3）在功能梯度材料指数n和转速η一定的情况下，量纲一固有频率μ随着量纲一弹性地基模量λ的增大而增大。量纲一弹性地基模量λ对低阶量纲一固有频率的影响比较明显。

图4 前4阶量纲一固有频率μ与量纲一弹性地基模量λ之间的关系曲线(n=1,η=5)Fig.4 The first four dimensionless natural frequenciesμ on dimensionless elastic foundation modulus(n=1,η=5)

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