数学运算素养观下高考模拟试卷编制的体悟*

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(宁波市第二中学，浙江 宁波 315010)

1 试卷编制的背景

近日，浙江省宁波市教研室组织了数学高考原创模拟卷编写活动，该活动旨在进一步促进高中数学教师的专业成长，掌握科学命题的基本原理和要求，提高考试命题的技术和水平.活动要求以3人为一个集体团队命一份高考原创模拟试卷，笔者和组内的两位教师全程参与了此次活动.

事实上，出卷作为教师的一项常规工作早已成为“家常便饭”，但有时为了省时省力往往从一些现有的模拟试卷或高考真题卷中直接截取或稍作改动，并没有真正理解或体悟考题的价值以及对课堂教学的导向作用.通过本次模拟试卷的编制，笔者对命题有了新的体验和感悟，现将一些肤浅的理解及体会与广大同行交流，欢迎批评指正.

2 试卷编制的过程

从最初的参与编写到最后的完稿经历了整整一个月，笔者以2017年浙江省数学高考卷为参考样卷，尽力编制出一份具有浙江特色的数学高考模拟试题.整个试卷编制过程中八易其稿，从最初的选题、编题到筛选、调整进而到修改、推敲，力争做到问题的科学性、规范性和创新性.

自从自主命题以来，浙江省数学高考试题形成了简约但不简单的风格，既注重基础知识的考查又着重考查学生的数学素养和各项能力.随着高中数学核心素养的日益深入人心，必然反映到高考试题的考查上.数学问题的求解最终要通过数学运算加以实现，各种素养的展现最终要通过数学运算得以体现.由此数学考题的编制必将关注问题求解的多种运算方法，让不同层次的学生都能展现自身运算的独特性,符合让不同的学生实现不同发展的新课程理念.

笔者认为数学运算多样化的特点主要表现在：问题的定性分析与定量计算、代数运算与几何运算、精确计算与近似估算、特殊值验算与一般性求证等.对现有试题进行改编或自主原创试题的过程中既要体现问题的数学本质，又要展现数学运算的多样化特性，从数学运算视角全方位考查学生的数学素养.以下选取一些试题,谈谈笔者在编制过程中的具体做法.

2.1 定性分析与定量计算型问题

( )

(2017年浙江省丽水市质量检测数学试题第5题)

运算现状学生利用条件得

又

两式相加可得

f(-a)+f(a)=2，

试题编制若函数f(x)=sinx+ax+b在[-1,1]的最大值是M，最小值为m,则M+m

( )

A.与a有关，且与b有关

B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关

D.与a无关，但与b有关

本题将两个奇函数(即正弦函数和正比例函数)构成和函数，再加上一个常数b，4个选项采用相似性来干扰选择.由于参数a的变化使定量运算无从下手，必须构造奇函数F(x)=f(x)-b，由F(x)的性质知M-b+m-b=0即可.故选D.

2.2 代数运算与几何运算型问题

例2已知平面向量a，b，c，满足|a|=1，|b|=2，|c|=3，0<λ<1，若b·c=1，则|a-λb-(1-λ)c|所有取不到的值的集合为______．

(2017年浙江省高中数学竞赛试题第9题)

素养生成求解向量问题的基本策略首先考虑几何法，需熟悉加减法和数乘运算的几何作图，掌握向量中一些重要几何类型，如三点共线、数量积投影、垂直与平行位置、向量四心等，作图的过程中要注意条件的等价转化特别是动点的轨迹问题.另外，建立平面(空间)坐标系可尝试坐标运算，寻找“可运算”的基底进行向量运算.

试题编制已知平面向量a,b,c，满足|a|=1，|b|=2,|c|=3，b·c=0,当-1≤λ≤2时，|λb+(1-λ)c|的最小值是______，|a+λb+(1-λ)c|的最大值是______.

本题适当改变问题条件且增加一个基础问题(即|λb+(1-λ)c|的最小值)，引导学生利用三点共线解决，增加学生得分机会并为第2)小题热身.改变原题的目标向量，将向量减法运算转为加法运算，进一步考查学生向量加减法的转化能力.本题通过适当改变条件和目标形成问题链，但不改变问题的本质.

2.3 特殊验算与一般运算型问题

( )

A.α<β<γB.α<γ<β

C.β<α<γD.γ<α<β

(2017年浙江省数学学考试题第18题)

不难发现此时BC′>AC′>PC′，从而sinγ>sinα>sinβ.

素养生成对于一些难度较大的小题(特别是选择题)，有时采取特殊运算即取特殊值、特殊位置、特殊对象等,往往可以快速锁定正确答案，提高运算效率.

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|,|a-b|}≤max{|a|,|b|}

D.max{|a+b|,|a-b|}≥max{|a|,|b|}

本题基于向量加减法比较相关模之间的关系，设置相似选项干扰学生选择以提高问题求解的难度.利用向量a,b的特殊位置可以立即排除错误选项，如当a⊥b时可同时排除选项A,C,而当a=b≠0时即可排除选项B.故选D.

2.4 精确运算与近似估算型问题

( )

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

(2014年辽宁省数学高考理科试题第3题)

例5已知函数f(x)=x3+3|x-a|(其中a∈R).

1)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a)，求M(a)-m(a)；

2)设b∈R,若[f(x)+b]2≤4对x∈[-1,1]恒成立，求3a+b的取值范围.

(2014年浙江省数学高考理科试题第22题)

运算现状对于例4学生常采用估值运算寻找中间数0和1，易得b<0

由于求最值需要关注单调性，因此想到求导,即

部分学生对于分类标准常产生混淆，由于当x≥a时，f′(x)=3x2+3≥0,因此只需讨论f′(x)=3x2-3的零点±1与a的关系.当a≤-1或a≥1时，f(x)在[-1,1]上的单调性相对简单，而当-1

M(a)=max{f(-1),f(1)}，m(a)=f(a).

由此又需对f(-1)和f(1)的大小加以讨论，而学生在计算f(-1)和f(1)的值时常代入计算出错.

第1)小题的分类结果最终服务于第2)小题，在此不再赘述.

素养生成强化分类讨论能力是提升运算能力的重要抓手.分类讨论的核心需要学生弄清“为什么要分类，分类的标准是什么”.教学中需要教师利用典型问题开展分类讨论的专题研究，不断反复螺旋上升，达到分类中计算能力的跨越,同时要将估值计算与精确运算相结合.

试题编制若实数a≤0，设f(x)=lnx+2x2+ax+1.

1)当a=-5时，求f(x)的单调区间；

估值运算通常出现在对数或指数运算中，将对数函数与二次函数通过加法运算构造新函数，将参数放置在一次项位置变成含参函数问题.本题第1)小题考查定函数的单调性，特别注意定义域问题和单调区间写法的规范性，考查基本知识和基本方法；第2)小题通过对含参导数零点的讨论，着重考查学生分类讨论的能力，同时涉及精确计算和近似估算相结合的运算，对考生提出了较高的要求.

得

-5

又

在比较两值大小中会出现临界值

此时需要比较a0与-4和-5的大小.如

即估算e7与162的大小，在确认a0∈(-5,-4)时进一步分为两种情况，即a∈(-5,a0)和a∈(a0,-4).当a∈(-5,a0)时，由

得

a=-2ln 2-3.

显然

a=-2ln 2-3>-5,

但a与a0的大小就需要估算.由

知此时需要估算42与e3的大小.同样的情况出现在当a∈(a0,-4)时的运算中，在此不再赘述.

3 试卷编制的体悟

由于本次试题编制杜绝抄袭，试题尽量原创的要求极大考验着教师的出题水平.为此编制团队经过将近一个月的努力，不断交流、修改，再交流、再修改，从而编制出了一些质量较高的原创试题和改编试题.由此深深感悟到:对数学试题特别是高考试题的编制进行研究和探索，是教师自我提高、实现教师专业化发展的有效手段，也是教师力图沟通联系命题、考试和教学这3个方面的绝佳途径.

3.1 把握编题原则，抓住题型特点

众所周知，数学试题编制强调科学性原则，即试题内容的科学性和测量工具的科学性；准确性原则即运用准确的数学语言，语意清楚并表达准确；公平性原则即考查的知识内容、试题选取的素材、评分标准和参考答案要考虑到全体考生答题的可能性；整体性原则即试卷的布局应科学、合理、结构良好等.

编制不同题型需要注意各自的特点，如编制选择题关键在于考查能力的目标明确、具体、集中，取材恰当、合理、有针对性，精心编制好题干与备选项，不宜采用派生性的知识作为考查能力的依托.编制填空题取材合理，涉及的内容不宜多，求解的过程宜短，陈述力求简洁、精炼、规范，尤其是指导语的使用，务必防止歧义，且保证答案简明，考查中心突出、鲜明、集中.而对于解答题，虽然编制方法与前两种题型相比无本质差别，但其活动的自由度却要大得多，而且要顾及的问题也比较多.要编制出一道好的解答题，一般要经历如下的几个步骤,即选材与立意、搭架与构题、加工与调整、审查与复核.

3.2 落脚数学运算，彰显核心素养

通过考题的编制，全方位考查学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养，同时考题又充分展现了丰富多彩的运算方式，即定性分析与定量计算型问题、代数运算与几何运算型问题、特殊验算与一般运算型问题及精确计算与近似估算型问题等.数学运算不仅仅是简单的计算问题，而是包括对题目信息的挖掘能力、定义公式定理法则等的运用能力、运算方法的选择能力、数学思想方法的运用能力和估算能力等，由此可见数学运算能力是一种综合性的数学能力.

学生在问题的求解过程中需要掌握灵活多变的运算方式，及时选取高效简单的运算方法，不断提高运算求解水平.

3.3 展开运算教学，提升教学品质

我们常常听到学生考试后的感叹：“考试时问题求解有思路就是要算错，常常时间不够用.”如果排除学生考试紧张的心理因素，那么学生运算能力的薄弱是一个绕不开的话题.由此教师必须利用不同形式的课型，不遗余力地强化运算教学的重要性,即以概念教学为突破、习题教学为抓手、试卷讲评为示范，从学生明晰运算对象、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序和求得运算结果等诸多环节展开运算教学.努力展现问题求解中所涉及的直接运算的繁杂、转化运算中的求简和创新运算中的至简等3个主要运算层次，不断提升运算教学的品质.