高考数学不等式试题分类与解析

☉安徽省临泉第一中学 李晓燕

不等式是高考数学的重要考点，也是热门考点，它具有较强的“连通性”，通过不等式能够将高中数学中的很多知识联合起来，然后以一种综合性问题的方式出现在高考数学的压轴题当中，对学生分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求.研究高考数学不等式部分试题的种类和主要考点，对于提高学生的数学成绩，帮助学生学好不等式部分的知识具有重要的意义.

一、高考数学不等式试题类型

通过对近10年全国各地的高考数学试卷的统计发现，高考数学对于不等式的考查主要分为两个方面：一方面，是直接通过所学的知识来解不等式，另一方面，是借助不等式的工具性，结合其他部分的知识进行考查.对于不等式的考查很少是单纯地解不等式或者证明不等式，更多地是与函数、数列、圆锥曲线、导数等部分的知识相结合，通过不等式的工具性来求定义域、单调性或取值范围等.

（一）不等式的性质判断及应用

高中数学不等式共有9条性质，分别是对称性、传递性、加法单调性、同向不等式可加性、乘法单调性、同向正值不等式可乘方、正值不等式可乘方、正值不等式可开方和倒数法则.在高考试题中，我们很少发现会有题目单独考查不等式的性质，它常常与其他知识结合来考查.常见的题型主要有以下几种：

第一种，利用不等式的性质，就不等式变换中的条件和结论是否是充分、必要条件展开讨论.该类题目主要结合实数和三角函数等部分知识来出题.考生在解决这类问题的时候不仅要准确掌握不等式的相关性质，还要对充分必要条件的相关知识也要准确把握，在解题的时候，重点要放在对原有不等试的灵活转化上.

例1 在给定的下列四个条件中，能够使a＞b成立的充分不必要条件是（ ）.

（A）a＞b+1 （B）a＞b-1 （C）a2＞b2（D）a3＞b3

对于这道题，不仅考查了学生对充要条件的把握，还考查了同向不等式的可加性和正值不等式的可乘方的性质，结合不等式的性质，可以非常容易地得出正确答案.另外，2016年和2017年上海卷；2015年天津卷和安徽卷；2017年浙江卷、天津卷、重庆卷都出现过类似的问题.

第二种，判断数值的大小，这一类型的问题一般会与函数和代数式部分的知识相结合，考查学生根据已知条件，借助不等式的性质，将不等式进行转化，最终求出实数值的能力.

例2 如果实数x，y同时满足3≤xy2≤8，4的最大值是多少？

在解决这类问题的时候，首先通过设元的方式对原式进行变形，设，变形后得出的最大值就是要求出b2的最大值和a的最小值，这样就可以根据原式中给出的定义域，结合不等式的倒数性质，求出原函数的最大值.

第三种，判断不等式是否成立，这一类问题先给出一定的不等式条件，然后借助不等式的性质，结合函数和实数的相关知识，来判断给出的不等式是否成立.

例3 如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么下列不等式一定成立的是（ ）.

在解决这一类问题的时候，要先把握好要考查的内容，该题主要考查不等式同向同值不等式可乘性的性质，因此，可以根据题目中给定的在已知条件进行变形，由于c＜d＜0，a＞b＞0，那么就可以推出.2016年全国理科数学试卷第8题就是这一类型，它是结合实数取整的性质来进行求解.

（二）求解不等式

求解不等式除了直接求不等式以外，还会跟函数、导数等知识相结合来考查不等式的解法.因此，大体上可以分为两类：直接解简单不等式和其他知识背景下解不等式.直接解不等式类问题主要出现在试卷中的选择题或填空题部分，可以通过同解变形的方式来完成.

例4 求不等式x2+x-2的解集是多少？

对于这一类问题，可以利用公式法或者图像法来进行求解，是不等式求解中的基础问题.另外，还有解分式不等式、解无理不等式、解函数不等式、解分段不等式、解绝对值不等式等，在解分式不等式的时候可以将原不等式转化为同解变形式或不等式组来求解，在约分的过程中要注意变形的等价性；在解绝对值不等式的时候，去掉绝对值后要对原式进行分类讨论，有其中含有参数的绝对值，一定要对参数进行分类讨论.

其他背景下考不等式的解法主要有：函数、集合、导数、充要条件、方程、三角函数等知识背景下求解不等式.在解决这类问题时，需要借助不等式的相关知识，从这些背景中抽象出不等式模型，然后再进行求解.

例5函数f（x）=lg（x-2）的定义域是多少？

解决这类问题就要借助背景知识的相关性质，得出x-2＞0，最终求出函数f（x）=lg（x-2）的定义域.

（三）证明不等式

在高考数学中，证明不等式常常是以压轴题的形式出现，一般主要有以下几种形式：直接证明一般不等式；证明数列不等式；证明函数不等式.其中，出现频率最多的就是证明数列不等式，下面就列举证明数列不等式的例子.

例6 设数列{an}的前n项和为Sn，其中a1=1

（1）求a2的值是多少？

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：一切正整数条件下，都有

在解决数列不等式的时候，要根据不同的数列不等式选择不同的方法，其主要方法有：放缩法，就是根据不等式的性质，对不等式进行放缩，该题的第三问就需要使用放缩法进行求解；比较法、递推法、构造函数法、归纳法、分类讨论法、性质法、定积分法等.

（四）应用不等式

应用不等式主要包括线性规划、不等式恒成立、最值和取值范围类问题，其中线性规划类问题是近几年高考数学经常出现的考点.线性规划类问题除了直接考查学生求目标函数的最值以外，还会结合数列、几何问题来考察学生的综合解题能力.

例7平面中有一点集B=（{x，y）|(x-1)2+(y-1)2≤1}，那么A∩B所表示的图形的面积是（ ）.

通过对近几年的高考数学试题统计来看，对于线性规划问题解题的重点在于建立线性模型，尤其是当遇到那些不能够直接给定约束条件的题目，要将它们进行转化，建立起标准的线性规划模型.

二、高中数学不等式复习建议

首先，要重视数学思想的应用.通过对近些年高考数学不等式部分的考题分析不难看出，每年的题目类型都是在不断变化的，但是这些变化怎么变都离不开“数学思想”，只要理解了题目中蕴含的数学思想，就能够很容易的解决这一问题.在教学中要重视划归与转化思想、数形结合思想和分类讨论的应用，在同解变形的过程中就是利用了划归与转化这数学思想，将无理不等式、分式不等式转化为一元二次不等式或一元一次不等式.借助数形结合的思想，能够在解一元二次不等式时很快的求出解集，能够在解绝对值不等式时避免数轴分类错误的产生.借助分类讨论的思想，能够缩小题目讨论的范围，简化题目.

其次，要注重解题方法的掌握.在证明不等式时，可以采用归纳法、放缩法、分析法等，在解决恒成立问题时，可以采用分离参数法等，在平时的教学中就要注重这些方法的讲授.H