统计与概率解答题典例分析

万广磊

统计与概率是初中必学的重要知识，在中考数学试卷上占总分值的12%～15%，一般包括1～2道的选择题或填空题和1～2道解答题.对于解答题，得分率并不是想象中那么好.究其原因，同学们解答时不规范的表达失分比较严重.

下面以几道中考解答题为例，分析如何规范解答，确保不意外失分.

一、求平均数、众数和中位数

例1（2017·天津）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次接受调查的跳水运动员人数为_____，m的值为_______；

（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数.

【分值安排】本题满分8分.第（1）问每空1分，共2分；第（2）问求平均数、众数和中位数三个量，每个量（有解答过程）2分，共6分.

【思路分析】本题主要考查扇形统计图、条形统计图和加权平均数、众数和中位数，解题的关键是能把两种图结合并寻找数量关系.（1）根据条形统计图中的每个小组中的人数确定数据的总数；根据扇形统计图中各个扇形的百分比之和等于1，求出m的值.（2）直接根据加权平均数公式求出平均数；根据出现次数最多的数据确定众数；由于条形统计图中各个数据已按照从小到大的顺序排列，所以可直接根据数据总数的个数确定中位数的值.

【规范解答】解：（1）4+10+11+12+3=40（人），1-27.5%-25%-10%-7.5%=30%，所以本次接受调查的跳水运动员人数为40人，m的值为30；

（2）

∴数据的平均数为15.

∵在这组数据中，16出现了12次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为16.

∵本组数据为40个数据，

∴中位数为第20个和第21个数据的平均数，从条形图可以看出，第20个数据为15，第21个数据为15，

∴中位数为

【易错点津】本题的易错点有两个：①在求中位数时，忘记对数据进行排序计数；②在求平均数时，利用算术平均数求解，而未用加权平均数求解.

【规律归纳】找中位数时要把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数.当数据个数为奇数时，中位数即为中间的一个；当数据个数为偶数时，中位数就是中间两个数的平均数.

众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.例如：在数据1，1，2，2，3，4，5中，众数有两个，它们是1和2.一组数据也可能没有众数.例如：在数据1，2，3，4，5，6中就不存在众数.

求平均数的问题大致分为两类：①算术平均数：x1，x2，…，xn的平均数+xn）；②加权平均数：n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次，f1+f2+…+fk=n，平均数

二、完整图表信息，估算总体

例2（2017·杭州）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）.

某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表

某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数直方图

（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；

（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29（含1.29）以上的人数.

【分值安排】本题满分6分.第（1）问4分，求对a的值，补图正确各得2分；第（2）问用样本估计总体，正确得2分.

【思路分析】本题考查了条形统计图、频数统计表和用样本估计总体，解题的关键是从统计图中获取信息解决问题.（1）用50分别减去频数统计表中给出的另外三个组别的数据即可求出a的值，并且根据求得的a的值把条形统计图补充好.（2）先求出统计的50名学生中跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上所占的比例，然后再乘总人数500即可求解.

【规范解答】解：（1）a=50-（8+12+10）=20.补全频数直方图，如图：

某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数直方图

（2）因为所以该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数是300人.

【易错点津】本题的易错点是不能区分两个图表的意义或是看错表格和条形图的对应关系.

三、根据方差判断结果，计算概率

例3（2017·滨州）为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势状况，现从中各随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如下表所示：

61 63甲 乙63 63 66 65 63 60 61 63 64 64

（1）请分别计算表内各组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐.

（2）现将进行两种小麦优良品种杂交试验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对状况.请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率.

【分值安排】本题满分9分.第（1）问5分，求对甲、乙的方差各得2分，正确判断得1分；第（2）问4分，列表或者画树状图得3分，计算概率正确得1分.

【思路分析】本题考查了数据的方差的实际应用，以及用列表法或画树形图法求概率.（1）先求平均数，再求方差；（2）因为每种情况有多个，所以选取列表法求概率（这样简单些）.

【规范解答】解：

∴乙种小麦的株高长势比较整齐.

（2）列表如下：

63 65 60 63 64 63（63，63）（63，63）（63，65）（63，60）（63，63）（66，65）（66，63）63 66 63 61 64 61（66，60）（66，63）（66，63）（63，63）（63，65）（63，64）（63，60）（63，63）（63，63）（63，64）（61，60）（61，63）（61，65）（61，63）（66，64）（61，63）（61，64）（64，63）（64，65）（64，60）（64，63）（64，64）（64，63）（61，63）（61，65）（61，60）（61，63）（61，64）（61，63）

因为共有36种等可能的结果，其中小麦株高恰好都等于各自平均株高的结果有6种，所以所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率

【易错点津】本题的易错点是列表时将甲、乙两种小麦里高度相同的作为一种情况对待.

四、计算事件发生概率

例4（2017·徐州）一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分別标有数字1，-3，-5，7，这些卡片除数字外都相同.小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张.请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的数字符号相同的概率.

【分值安排】本题满分7分，列表或者画树状图得4分，计算概率得2分，正确作答得1分.

【思路分析】本题考查了概率的意义及计算方法，解题的关键是能分析或列举出所有等可能的结果.先利用画树状图或列表的方法分析出所有等可能的结果数，再利用等可能条件下概率的计算公式即可求出甲胜出的概率.

【规范解答】解：列树状图如下：

因为所有等可能的结果数为12，数字符号相同的结果数为4，所以两人抽到的数字符号相同的概率为

【易错点津】本题的易错点是没有按照条件画树状图或列表，造成所有可能结果及符合条件的结果数有遗漏或重复.

【规律归纳】求一件事发生的概率通常用列表法或树状图法.列表法与树状图法都可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果.列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.

五、完善图表信息，计算概率

例5（2017·苏州）初一（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图.

男、女生所选项目人数统计表

学生所选项目人数扇形统计图

根据以上信息，解决下列问题：

（1）m=_______，n=_______；

（2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为_______°；

（3）从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.

【分值安排】本题满分8分.第（1）问2分，求对m、n的值各得1分；第（2）问2分；第（3）问列表或者画树状图得2分，计算概率正确得2分.

【思路分析】本题将概率和统计结合起来考查同学们的识图能力，以及对图中数据的处理能力，解题的关键是读懂统计图的信息.（1）根据航模项目的人数和所占的百分数就可以求总人数，再确定3D打印项目的人数，然后依次可以得出要求的人数和所占的百分比.（2）用机器人项目的人数所占的百分数乘360°即可得到圆心角.（3）把所有可能性用树状图或表格列出来，可以求得概率.

【规范解答】解：（1）m=8，n=3.（2）144.

（3）将选航模项目的2名男生编上号码1、2，将2名女生编上号码3、4.用表格列出所有可能出现的结果：______________________

第二个第一个1 2______1______2______3______4（1，2）3 4（2，1）_______（3，1）（4，1）（1，3）（2，3）（3，2）_______（4，2）（4，3）_______（1，4）（2，4）（3，4）

由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能.所以P（恰好有1名男生、1名女生）如用树状图，酌情相应给分）

【方法归纳】在列表法与树状图法不重复不遗漏地列出所有可能的结果后，观察图表，在m个等可能的情况中，某件事发生的可能性有n个，则该事件发生的概率是