例谈构造函数妙解不等式问题

李永永

[摘 要] 不等式和函数是高考中重点考查的内容，导数又是解决函数问题的一个重要工具，在一些不等式问题中，若可以依据解决问题的需要恰当地构造函数，并借助导数来处理，定能节约时间，事半功倍.

[关键词] 不等式；构造函数；导数

导数是解决函数问题的一个重要工具，如：求函数的切线、单调区间、最值等，学生只要掌握基本方法和思路，这些问题便可顺利解决. 而一些与函数有关的不等式问题，则需要根据所给不等式的特点灵活地运用化归思想将之转化为常规问题，较为常见的手段是恰当地构造函数，将不等式问题转化为函数的最值问题来处理，从而使得原本棘手的问题迎刃而解，给人一种技高一筹的美感.让我们先从简单的入手：

证明不等式

例1 求证：当x>-1时，恒有：1-≤ln（x+1）≤x成立.

分析：由于在目标式中出现两次x+1，因此通过换元令t=x+1，则t>0.

要证1-≤ln（x+1）≤x，即证1-≤lnt≤t-1.

构造函数f（t）=1--lnt（t>0），则f ′（t）=-=.

令f ′（t）=0，则t=1.

当00；当t>1时，f ′（t）<0.

从而f（t）在t∈（0，1）上为增函数，在t∈（1，+∞）上为减函数.

故f（t）有最大值f（1）=0. 所以f（t）≤f（1）=0，即1-≤lnt.

令g（t）=lnt-t+1，则g′（t）=-1=.

令g′（t）=0，则t=1. 同理，可知g（t）在t∈（0，1）上为增函数，在t∈（1，+∞）上为减函数.

故g（t）≤g（1）=0，即lnt≤t-1. 因此原不等式成立.

点评：在此类题的分析过程中，需要牢牢抓住目标结构的特点：一般地，要证明f（x）≤g（x），x∈（a，b），可以构造函数h（x）=f（x）-g（x），x∈（a，b），利用导数给出单调性，求出最大值h（x）max，只要得出h（x）max≤0，便可证得f（x）≤g（x）. 其他的，要证f（x）≥g（x），f（x）g（x），方法类似.

例2 求證：当a≥1且x>0时，aex-x2>1+x.

证：令f（x）=aex-x2-x-1（x>0），则f ′（x）=aex-x-1.

令g（x）=f ′（x），则g′（x）=aex-1. 因为a≥1，且x>0，所以aex>1，所以g′（x）>0.

故g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，所以g（x）>g（0）=a-1≥0，即f ′（x）>0.

故f（x）在x∈（0，+∞）上为增函数.？摇所以f（x）>f（0）=a-1≥0，即f（x）>0.

因此aex-x2-x-1>0，即aex-x2>1+x.

点评：例2与例1的区别在于：构造函数后，需要利用导数的导数研究导函数的单调性. 当然了，这两个例子都是根据不等式的特点直接构造，命题人不会总出思路这么明显的问题.那么，在哪些问题中，命题者可以把构造函数的思路变得不那么明显呢？大家可以跟着笔者一起来看下一个例子.

求不等式恒成立时参数的取值范围

例3 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx（b为常数）. 若b>1，对于区间[1，2]内任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立，求b的取值范围.

分析：因为f（x）=lnx在x∈（0，+∞）上为增函数，不妨设1≤x1

则f（x1）g（x1）-g（x2），

所以f（x2）-f（x1）>g（x1）-g（x2），所以f（x1）-f（x2）

即f（x1）-g（x1）

观察不等式组，可以发现其中每个不等式左右的形式一致，所以可以将问题化归为两个函数f（x）-g（x）与f（x）+g（x）单调性问题处理.

于是构造函数F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x2+bx，则F（x1）

所以F（x）在x∈[1，2]上为增函数，即F′（x）≥0对x∈[1，2]恒成立.

整理并分离参数，可得b≥x-，则b≥x-max

因为y=x-在x∈[1，2]上为增函数，所以x-max=，所以b≥.

同理令G（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2-bx，可得b≤x+min.

利用导数可知y=x+在x∈[1，2]上为增函数，所以x+min=2，所以b≤2.

综上：≤b≤2.

点评：例3的解决思路是先对原不等式进行等价转换，在此基础上灵活构造函数，利用函数的单调性，化归为与导函数相关的问题，然后进行参变分离，将不等式恒成立问题，化归为函数最值问题，从而得出参数b的取值范围，可谓是峰回路转，柳暗花明.

解决与不等式相关的数列综合问题

例4 （2015南京、盐城、徐州二模）？摇给定一个数列{an}，在这个数列中，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到数列{an}的一个m阶子数列. 已知数列{an}的通项公式为an=（n∈N*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列.

（1）求a的值；

（2）若等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=（k为常数，k∈N*，k≥2），求证：m≤k+1；

（3）若等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c2+…+cm≤2-.

分析：（1）（2）略.

（3）看起来有难度，似乎无从下手.

首先设c1=（t∈N*），等比数列c1，c2，…，cm的公比为q. 然后牢牢抓住目标结构特点，左边是等比数列前m项和的形式，要达到化简的目标，就需要得到公比q的值或取值范围. 因此，在已设c1的前提下，利用特殊化思想，考察c2. 根据所给m阶子数列的题设，可知c2≤，所以q=≤.

从而cn=c1qn-1≤n-1，1≤n≤m，n∈N*.

所以c1+c2+…+cm≤0+·1+…+m-1==1-？摇=-与右边2-形式类似.

因此令x=，因为t∈N*，所以1

只要设f（x）=x-，m≥3，m∈N*，其中10，故函数f（x）在（1，2]上为增函数. 所以f（x）≤2-. 由不等式的传递性，即有c1+c2+…+cm≤2-成立.

点评：此题以数列知识为背景，以等比数列前m项求和公式为突破口. 笔者认为，在处理此类不等式问题时，首先需要从结构特点出发，将目标形式进行整理化简；然后再设法构造函数，利用导数证明单调性，从而得到结论.在平时教学过程中，可以多关注归纳一些常见函数的构造模型，以提高解决此类问题的手段和能力.

上面几个具体的例子告诉我们，巧妙构造函数解题是一种创造性的思维过程，技巧性很强，很受命题人青睐. 很多时候，有些数学问题直接处理难以入手，可以考虑通过化归等价转换，然后巧妙地构造函数，并运用好导数这个工具，使问题迎刃而解，达到事半功倍的效果！