美国数学教育改革的十大误区（上）

◇蔡金法 聂必凯

美国数学教育界从二十世纪五六十年代开始掀起“新数学运动”“回到基础”“问题解决”等改革运动，直到近二十年来推行占主导地位的所谓“标准运动”和州际核心数学课程标准。NCTM（美国数学教师理事会）出版的学校数学课程标准，几乎引领了美国数学教育改革的方向，主导了美国的数学教育理论研究。 美国州际核心数学课程标准与之前NCTM 的课程标准一样，指明了K-12年级学生期望学到的数学。但是这些原则、标准及其理念，也引发了数学教育工作者、教育政策制定者、家长及公众的许多困惑或误解。

有趣的是，美国数学教育每次改革运动都历时十年左右，对当时的数学教学产生了相当大的影响, 同时在社会中激起了各种讨论。每一个新的运动都始于一个新的思潮，而这个新的思潮往往酝酿于对前一个思潮的反思和检讨，同时是对一个新的教育和教学理论的探索和尝试，其中有的至今仍是教学、研究的重点和热点。

本文将分析美国国内一些由数学教育改革引发的困惑或误解，我们将它们总结概括成十大误区，针对每一误区，我们将介绍和分析一些大的背景因素，并对各误区提出一些评析和看法。同时，我们希望中国的数学教育能从美国数学教育改革的教训中得到启示并加以改进。

本文中的结论和研究涉及国内外大量研究文献，由于篇幅所限，文中将不列出文献的详细出处等信息，读者若想进一步了解有关文献，请与本文作者联系。也可参考人民教育出版社出版的两本书：《美国现代数学教育改革》《美国州际核心数学课程标准：历史、内容和实施》。

误区一：只有学生的自我发现才是真正的学习

（一）背景。

数学教育改革的理论主导之一是建构主义。近年来，美国学生在国际性和美国全国性数学教育研究测试（如NAEP 等）中的不佳表现，使得人们反思那些以教师讲解、学生倾听然后练习为主的课堂教学模式。一般认为，教师的“告诉式”讲解容易导致学生的被动学习；教材中具有详细解答过程的例题极易导致学生的简单模仿，并有可能限制学生的创造性。因此，有人指出，基于教师讲解和教材例题的教学，只能让学生接触一些标准的数学算法及根据，而不能“让学生产生真正的学习和理解”。他们认为，只有当学生自己发现数学运算的方法并使用时，才能发展学生对数学的深刻理解，才能使学生具备更多的使用数学和发展数学的体验。这样的观念是与极端建构主义的思潮相契合的，即所有知识均应是学生自主建构的，因而每个个体所建构的知识一定是独特的而且具有背景的依赖性，个体间对数学知识的认知不具有可比性。

（二）评析。

“只有学生的自我发现才是真正的学习”是一种典型的极端建构主义观念。现代数学观则认为，数学是一系列针对符号运算的约定，它是存在于个体之外的一个系统“结构”，而且这些法则和推演的程序在历史上已被发明了，学生的学习可以说是“重建构”或“再发明”这些法则或程序。这样的“重建构”或“再发明”不完全等同于极端建构主义的学习观，而是一种具有更多“社会性”的建构主义学习观。发现学习观应是这种“社会性”的建构主义学习观的一种反映，因为“发现”意味着被发现的对象（如结构或模式）已存在于个体之外，通过有引导的发现过程而建构的知识，是发现学习最重要的内涵（Goldin,1987；Paul,1994）。

学生自我发现的成分在问题解决过程中可能会多一些。选取适当的解题策略并成功解决问题，可视为学生发现了解决问题的方法，尽管这些策略可能是他人已经发现并总结过的。蔡金法（2003）的研究表明，有些时候，学生在解决问题的过程中会使用自己发明的解题策略正确解决问题，换言之，学生自己的确能发现一些解题策略。

实际上，NCTM 从来没有认为发现学习是数学教学唯一或主导的学习方法。NCTM 提倡“有效学习”，而在适当的时机，采用各种不同的教学策略，可以促进“有效学习”的实现，这包括课堂上教师的讲授和全班的讨论。 人们普遍认为，数学学习的目的不仅是知道一些数学事实和方法，还要会思考、推理和应用数学。理论上，数学教育应强调学生的个体性和学习过程的社会性的结合。即便学生拥有自己发明的解题策略，这些策略也不一定是非常有效或易于迁移的（Cai,Moyer&Grochowski, 1999; Carpenter etal., 1998;Resnick, 1989），但基于他们的理解水平，教师应引导学生掌握更有效的解题策略 （Cai, 2003）。当然，学生发明的解题策略可以作为他们理解数学概念和程序的基础，学生可以将其展示给同伴，这样的数学学习是通过一系列课堂中的互动、讨论各自的理解、挑战不完全的理解，最后达到共同的理解（Cai, 2003）。

误区二：对数学问题的解答只需一个合理的估算就够了，准确答案不是必需的

（一）背景。

美国学校数学的改革考虑了数学与现实世界的关联。相信大家都有这样的体验，在解决自己身边的许多日常问题时，估算和心算往往比精确计算更有效，得出一个估计值就够了。例如，现实生活中，我们一般用不着计较45%与的差异，更用不着列竖式求5.124×9.689 的精确值，只要知道其大约等于50 就够了。 对估算和心算的强调，拓宽了以往仅以纸笔为主的计算形式。NCTM 的课程标准强调估算是数学学习和理解的一部分：“估算应运用于那些使用数量、测量、计算和问题解决的情形中，特别是通过估算判断结果的合理性（NCTM, 1989：36）。”

尽管估算被认为是基本的数学技能，但它可能是数学课程中最容易被忽视的。同时，由于估算技能较难评估，因此关于估算的研究并不是很容易进行。必须指出的是，估算技能远不止“四舍五入”那么简单，它是随着学生数学概念和技能的发展而发展的，学生不易自动获得估算技能。因此，在数学课程中，需要专门设计估算的内容，并安排估算技能的训练。

（二）评析。

问题解决中使用估算还是使用精确计算应视问题情境而定。一些现实条件的局限决定了我们不可能获得准确答案。例如，除了人口普查等问题，还有，要知道一个池塘里鱼的条数，我们不可能把鱼都捞出来数一数，只能使用比例推理得到池塘里鱼的大概数量。

无论是估算还是精确计算，都必须与现实情境相匹配，这就可能用到估算来鉴别结果的合理性。在解决来自现实生活的问题时，纯粹从数学角度得到的精确结果有时候不一定具有现实意义。因此，有时反而需要通过分析现实情境的要求，用符合现实情境的估算值对通过精确计算所得的结果进行“矫正”。蔡金法（2007）曾经用以下现实情境问题进行中国和美国学生数学学习的比较研究：

光明小学的师生将乘公共汽车去春游。师生共计1128 人，每辆公共汽车只能乘坐36 人。共需多少辆公共汽车？

这一问题的解决过程可以划分为计算阶段和理解阶段。计算阶段，1128÷36=31，或1128÷36=31……12。理解阶段，对或余数12的处理。不能按“四舍五入”的法则舍去，因为它实际上对应着12 人；也不能安排辆车去载人。因此，在理解阶段，32 才是正确的答案。当然，答案也可以是31，余下的12 人乘坐1 辆小面包车。结果表明，中国学生在计算阶段的正确率比美国学生高得多，中国学生在计算阶段的正确率高于理解阶段。

估算是一种很重要的数学技能，但不能取代用以获得准确答案的基本的计算技能。中国的数学课程和数学教学更重视基本的计算技能。我们希望在中国的数学课程和教学中更多地涉及估算这一技能。

误区三：数学教学存在两种基本对立的方法：通过问题解决加深概念性理解，通过反复练习获得数学技能

（一）背景。

“教什么” 是数学教育中最关键的问题之一，“怎么教”也是非常重要的问题。传统数学教学认为，通过系统训练基本技能促进学生理解和掌握数学，而NCTM 的课程标准不再强调那些涉及算术和代数基本技能的数学内容，这让一部分人感到困惑，因为“学生将会长时间记得那些经过反复的、持续训练过的数学内容——这是不容忽视的现实”（Curcio,1999）。

很多人倾向于将上述理念划分为两种截然不同的教数学的方法。 一种是NCTM 提倡通过问题解决加深概念性理解，另一种是只通过反复练习训练一些数学技能。 这对应了数学教育界长期争论的一个问题：学生的学习，到底是程序性知识的练习在先，还是概念性的理解在先？

（二）评析。

事实上，现今的数学教学并没有走向两个极端。之所以有两种对立的教学观，是因为NCTM认为过去的数学教学过分重视程序性知识的练习，而忽略了概念性理解，而概念性理解的关键是建立联系。数学教育改革并没有鼓吹数学教学应向一极倾斜，数学教学中的概念理解与基本技能同样重要，许多理解来自于对基本技能的熟练掌握；反过来，学生又必须将他们的数学技能建立在扎实理解的基础上。当一系列基于标准的改革型教材在美国各地大量使用后，对这些课程的有效性进行研究得出的结果表明，无论是对于小学生、初中生还是高中生，概念性理解的提高并没有以牺牲其数学基本技能为代价(如Cai，2003；Cai 等，2011)。

前面我们关注了数学学习的两种结果，即概念性理解和基本技能的获得，与之对应的是获得这两种结果的手段：问题解决和反复训练。一些研究表明，问题解决是数学理解的重要途径，学生可以通过问题解决获得新知识，发展或加深其对新知识的理解（Davis,1992;Hiebert&Wearne,2003;NCTM,2000）。例如，对于解方程这一看起来比较程序化、符号化的数学技能，如果使用情境问题说明符号操作各步的意义，学生就有可能更好地理解解方程的方法（Cai, Nie&Moyer 2010）。基于此，希尔伯特和沃恩（Hiebert&Wearne，2003）认为，数学教学促进理解的举措之一是让数学对学生来说是“有疑问的”，让学生在思考和解决这些疑问的过程中获得数学理解，教师的角色并不是时时刻刻、无处不在地“解惑”，而是在适当的时机和场合有限度地“解惑”。数学问题并不总是一味地追求很特殊、很“新鲜”，常规性的练习题或学生已解决的问题都有可能在改编或拓展之后成为新的数学问题。 这一点很像基于变式的练习，即通过改变数学概念的非本质方面，保持概念的本质属性，在反复训练的过程中，学生不断经历概念的非本质属性的各种变异，从而更好地辨识和理解概念的本质。同时，问题解决能帮助学生提高数学基本技能的熟练程度（NCTM，2000）。总之，我们不赞同数学教育改革的极端化模式，即将概念性理解与基本技能的获得割裂开来，甚至对立起来，我们更愿意看到在数学教学中，二者成为相互作用的统一体。

对基本技能的训练，特别是基于变式的训练，是中国数学教育的特点之一，通过问题解决促进概念理解也在中国的数学课堂得到广泛实践。在中国的数学课堂上，我们看到了通过问题解决加深概念性理解和通过反复练习获得数学技能是可以“和平共处”的，这也说明了这两方面不是对立的存在。

误区四：有充分的证据表明，基于NCTM 标准的数学课程对学生的数学学习非常有效

（一）背景。

从1990年开始，美国致力于开发与NCTM课程标准高度一致的教材。那么，这些基于标准的课程、教材对学生的数学学习究竟产生了怎样的影响？

相关的研究（Riordan&Noyce,2001）结果表明，使用基于标准的课程的学生成绩显著高于使用传统课程的学生。然而，还有研究（Huntley等，2000）表明，不同的课程可能有各自不同的长处。那些重视情境的应用和计算器应用的课程，有利于培养学生解决涉及现实情境的代数问题的能力；那些重视符号操作但没有对应的现实情境和计算器辅助的课程，有利于培养学生解决纯符号操作问题的能力。例如，在蔡金法等实施的LieCal（课程对代数学习影响的纵向研究）项目中，其中一个重要发现是：改革型数学课程更有利于学生数学思维的发展，特别是涉及代数思维的情境表征和概括推广能力，使用改革型课程的学生明显优于使用传统课程的学生，但在数学基本技能方面（如解方程），使用改革型和传统数学教材的学生的表现是一样的。

上述研究让我们看到，课程的有效性是相对的。进一步地，有研究（Tarr 等，2008）表明，课程的类型对学生的成绩并没有显著影响，而基于标准的高水平学习环境才是影响学生成绩的重要因素。这一研究引发了人们对以往课程有效性研究的反思：对学生成绩的实质性影响到底来自于课程本身还是学习环境？

（二）评析。

过去几年中，美国国内有关数学课程改革的争论很激烈。随着争论的继续，人们需要知道“基于课程标准的数学课程究竟在多大程度上促进了学生数学成绩的提高”方面的一些数据。

近年来，美国政府开始加大力度资助那些分析不同课程的有效性的实证研究，LieCal 项目（Cai&Moyer，2006）就是其中之一。该项目包括三个方面：考察所选课程是如何设计和发展的；研究教师在课堂内是如何具体执行这些课程要求的；检验学生在课堂里实际学到了怎样的数学及其程度。该研究的基础是具体考察不同课程的异同。例如，在LieCal 项目中，我们曾经对改革型教材与传统教材中所有与代数有关的数学任务进行深入、精细的比较和分析，发现改革型教材包括更多高认知需求水平的数学任务（Cai 等，2011）。同时，在分析了不同的教材如何处理一些重要的数学概念（如变量）后我们发现，改革型教材对变量概念更多地从“变化的量”这一函数的视角处理，而传统教材更多地从“未知数”这一静态的视角处理（Nie 等，2009）。

中国的数学课程改革正如火如荼地开展，课程的有效性必须通过科学的证据说明，而不能凭感觉或经验。一些改革失败的原因就是其理念脱离现实。因此，对改革型数学课程的有效性做进一步的实证研究是必不可少的，特别是改革型数学课程究竟在哪些方面异于传统课程，也有待分析和研究。

误区五：数学教师乐于参与和使用基于标准的数学课程（项目），并知道如何使用它们

（一）背景。

从1989年至2000年，NCTM 出版了一系列课程标准，这些课程标准在数学教育研究界的影响是巨大的，但这些标准对学校数学教学到底产生了多深刻、多广泛的影响呢？这些标准所倡导的理念、原则和标准的确很具有改革性、创新性和鼓动性，但在一定程度上又具有理想化或抽象性，如关于“数感”“重要的数学”“符号感”的理解等。因此，理解这些标准、掌握标准的精髓对所有的教育研究者和数学教师来说，都是一个不小的挑战。这样，教师真的乐于参与和使用基于标准的数学课程吗？

在出版课程标准之后，NCTM 委托一个专业研究机构“地平线研究公司”，就数学课程标准、数学教学与评估的有关问题，于1993年和2000年各做了一次全国性的中小学数学教师问卷或电话访谈调查。 问卷中的问题不仅考察了数学教师对课程标准的熟悉、重视或执行情况，如“你对NCTM 的课程标准熟悉到什么程度”“你会将NCTM 的课程标准讲解给你的同事听吗”等，而且涉及了学校和学区的管理人员，如“你认为你们学校的校长对课程标准有足够的了解吗”等。

结果显示，仅41%的初中教师明确表示“准备向我的同事讲解NCTM 的标准”，由此可以想象他们对课程标准的兴趣。只有近30%的初中教师认为课程标准已经在他们学校的老师中间完全讨论过了，36%的教师认为学校的教师在教学中执行了课程标准，39%的教师认为学区组织了教师基于课程标准的专业发展活动。 这些百分比可以让我们推测出教师不一定乐于使用课程标准。

还有一个结果耐人寻味：小学和初中教师中，不到一半的人认为自己对课程标准“比较熟悉”或“很熟悉”，但又有70%以上的人认为自己“同意”或“非常同意”NCTM 标准中的数学教育理念，这似乎表现出一种对课程标准的“盲从”。另外，认为自己“中等程度”或“很大程度”地执行了NCTM 标准中的建议的人超过80%，这一百分比又远大于他们对学校里的其他教师的估测。

总之，在这项研究中，没有发现课程标准导致数学教育大范围改变的证据，或者说课程标准在全国范围产生的影响并不强。 该研究认为，导致这一结果的主要原因是针对课程标准的教师培训活动太少。如果教师没有领会课程标准的思想又不乐于使用课程标准，何谈在教学实践中执行课程标准的理念呢？

（二）评析。

课程改革不考虑教师的能力水平和专业需求是不可能成功的。研究课程有效性的常见方法就是考察学生在一段时间内使用某一课程后的成绩变化，而教师的因素很容易被忽视。但是，如果不考虑教师是否乐于使用基于标准的课程，也不考虑教师是否知道如何执行这些课程，那么我们将很难知道数学课堂中是否真正执行了这些课程。实际上，教师可以大量补充传统数学课程材料，甚至可以“喧宾夺主”，这样，还能说他们使用的是基于标准的数学课程吗？另一方面，教师的学科内容知识和教学知识都应有相应的改进，才能适应改革型数学课程的需要。试想，如果改革型数学课程是用传统的教学法执行的，将会有怎样的后果？

教师是课程理念的执行者，我们甚至认为教师本身就是课程的再设计者，因此教师在数学课程中有举足轻重的地位。 人们在设计改革型数学课程时，往往容易犯这样的错误：要么忽视教师的能力及需求，要么认为教师理所当然地能够“跟得上”课程的新理念。这很可能导致“穿新鞋走老路”的现象，也容易使教师对课程标准产生曲解。事实上，正确领会课程标准的思想、正确执行基于标准的课程并非易事，这需要教师对课程标准的精心钻研、有针对性的教师培训、教师自身在教学实践中的领悟，这些环节缺一不可。当然，还要考虑教师是否乐于参与或使用基于标准的数学课程。如果教师没有兴趣，那么课程标准的理念在数学课堂里被忠实执行是不可能实现的。最后，即便教师知道如何正确使用基于标准的课程，但他们在课堂中是否忠实地执行了，仍是一个很难把握的问题。忠实性和适切性往往是矛盾的，当教师发现基于标准的课程在有些方面不适于教学现状时，他们很可能牺牲课程执行的忠实性而追求适切性。

同时，我们希望看到有关“中国数学教师是否乐于参与和使用基于国家数学标准的课程”“是如何使用的”等方面的实证研究，并在这些实证研究基础上改进课程标准和数学教学。