数学教材中统计与概率螺旋式内容探析

摘 要：通过对比人教版和北师版数学教材中统计与概率螺旋内容，发现两版教材的相同点是部分知识点都采用了螺旋式编排。而人教版螺旋内容基本上遵循差异性原则，北师版螺旋知识点及螺旋内容重复现象比较多。

关键词：数学教材；统计与概率；螺旋式内容

对教材内容的编排采取螺旋式上升，即是根据学生表征系统发展的特征和认知水平发展的阶段性，按照由简到繁、由易到难、由浅入深的顺序编排教材，使某些重要的概念、思想方法反复出现，逐渐递进，螺旋上升。

螺旋指的是学习主题相同而内容的深度、广度不同，上升指的是层次的提升，以及内容的深度、广度的加深，广度指的是内容所涉及的范围和领域的广泛程度，通常可以用知识点的多少进行量化。螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，并不是简单地再现与重复，即体现出明显的阶段性要求。

本文尝试对人教版和北师版数学教材中统计与概率的螺旋式内容进行探析。其中教材分析的对象是小学、初中及高中必修正文部分。

一、 螺旋式内容的量化分析

螺旋式内容指在教材中出现次数至少2次的知识点。通过对人教版和北师版中小学数学教材中统计与概率螺旋内容的统计，得出人教版共有13个知识点螺旋，北师版共有17个知识点螺旋，在螺旋内容上，北师版比人教版多4个知识点。人教版和北师版共有10个相同的螺旋知识点是整理，平均数，条形统计图，折线统计图，扇形统计图，分布直方图，中位数，众数，方差，概率。除此之外，人教版还有3个知识点是简单随机抽样，频数，随机事件，北师版还有7个知识点是调查，普查，总体，抽样调查，极差，标准差，频率。

二、 螺旋式内容的质性描述

数学教材中螺旋式内容随着年级也即是册别数的升高，在深度或广度上明显增加。

（1）整理，人教版：整理的表格项目数增多，统计方法也增加，除了用数字统计外，加入了“正”字记录和百分比。北师版：整理的方法从逐个记录，到采用“正”字记录，再到简单的象形统计图，整理记录方法上有了进步。

（2）平均数，人教版：四下是算术平均数，八下是加权平均数，从小学到初中平均数的计算梯度上升比較明显。初中强调运用加权平均数来代表数据，高中则强调运用样本的平均数来估计总体的这些数字特征，且用样本估计总体是借助频率分布直方图来实现的，螺旋上升比较明显。北师版：小学就初步接触了简单的算术平均数，从四下到五下针对打分计算平均分的方法有所改变，到初中后强调了加权平均数。从小学到初中平均数的计算梯度上升比较明显。

（3）条形统计图，（4）折线统计图，人教版：从四上到四下条形统计图从单式条形统计图上升到复式条形统计图，到七下的时候条形统计图重复出现，但没有明显的上升。折线统计图和复式折线统计图都出现在了五上这一册书中，到了必修三就加深到了频率分布折线图。北师版：从四下到五下条形统计图从单式条形统计图上升到复式条形统计图，折线统计图从单式折线统计图上升到复式折线统计图，到必修三的时候条形统计图、折线统计图重复出现，但没有明显的上升。

（5）扇形统计图，人教版：小学扇形统计图表示各部分数量与总数之间的关系，初中是通过扇形的大小来反映各个部分占总体的百分比，且初中加入了计算各圆心角度数画出各个扇形，比较之前是有所上升。北师版：小学和初中都表示每部分占总体的百分比，从小学到初中扇形统计图加入了圆心角的计算，到高中的时候扇形统计图重复出现，但没有明显的上升。

（6）分布直方图，人教版与北师版一样：分布直方图在初中是频数分布直方图，到了高中是频率分布直方图，图形的纵坐标变了。

（7）中位数，（8）众数，（9）方差，人教版：初中强调运用中位数、众数来代表数据，高中则强调运用样本的中位数、众数来估计总体的这些数字特征，且用样本估计总体是借助频率分布直方图来实现的，可见初中到高中对此的设计有明显的深度加深。初中强调用方差来刻画一组数据波动的大小，高中则强调运用方差作为测量样本数据分散程度的工具。北师版：初中对中位数、众数、方差的概念定义做了说明，到高中就没有再重复，高中是结合一些案例进一步对数字特征的特点加以具体分析，从例题中去求中位数、众数、方差。

（10）概率，人教版与北师版一样：初中强调是发生可能性大小的数值，高中则强调发生频率稳定在某个常数上。

（11）简单随机抽样，（12）频数，（13）随机事件，人教版：在初中简单随机抽样、频数、随机事件都用文字描述，而到了高中加入了代数符号，从文字语言抽象到包含数学符号，体现了概念的递进。

（14）调查，北师版：调查的方法不一样，但没有明显的螺旋上升。（15）普查，北师版：从初中到高中普查的对象范围上要更广泛些，但都指的是全面的调查。（16）总体，北师版：初中和高中对总体的定义几乎是一样的，没有明显的差别。（17）抽样调查，北师版：初中对抽样调查的描述比较简单，高中对抽样调查的描述要详细些，描述了抽样调查的各个环节步骤。（18）极差，北师版：初中对极差的概念定义做了说明，到高中就没有再重复，高中是结合一些案例进一步对数字特征的特点加以具体分析，从例题中去求极差。（19）标准差，北师版：初中只是用了一句话对标准差进行描述，说明标准差是方差的算术平方根，高中把标准差的计算公式表示了出来。（20）频率，北师版：初中定义了频率的概念，到高中简单提及，频率是随机的，可作为概率的估计值。

三、 主要结论与启示

数学教材螺旋式内容编排需注意差异性原则，对于数学教材中统计与概率螺旋内容，人教版和北师版部分知识点都采用了螺旋式编排，人教版基本上遵循差异性原则，北师版大多数内容也体现了差异性原则。相对人教版，北师版螺旋知识点及螺旋内容重复现象比较多。对于教材的编写要注意螺旋间的衔接，对于教师教学及学生学习要注意螺旋内容的递进程度。

参考文献：

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作者简介：

孟繁云，贵州省贵阳市，贵州师范大学。