高中物理解题中融入数学知识的分析

魏子昂

(辛集市第一中学 河北 石家庄 052360)

数学与物理是密不可分的，物理解题随处可见数值计算、函数、几何、图像、极值法等数学知识.在解题环节巧妙利用数学知识剖析物理问题，能够获取意想不到的效果.

1 三角函数

三角函数配角法求极值是数学中最为常见的解题思想，简单的说是指将三角函数中原本的自变量，采取配角的方式整合绘制成两角和的正弦或余弦，从而有效求解问题的答案.同时，考虑到函数自身的特殊性可能会使极值点的求解变得更为复杂，我们需要事先认真审题[1].

【例1】如图1所示，一辆有四分之一圆弧的小车停在不光滑的水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车的顶端无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，地面对小车的静摩擦力最大值是( )

图1 例1题图

分析：因为小球只有重力做功，故小球机械能守恒，由机械能守恒可求得任一位置时的速度，由向心力公式可求得小球受到的支持力； 对小车受力分析可求得静摩擦力的最大值.

解答：设圆弧半径为R，当小球运动到重力与半径夹角为θ时，速度为v． 根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有

解得小球对小车的压力为N=3mgcosθ

其水平分量为

根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为

点评：本题中需要分别对小球和小车进行分析，找出两者间的关系； 本题的难点在于对极值的分析，需要根据题意建立摩擦力的表达式，再由数学知识求出极值.

2 相似三角形

主要是指利用力的三角形与边三角形相似，根据相似三角形对应边成比例求解未知量.需要注意的是，在解答力的合成问题时，我们需要事先明确合力与分力的关系，依据物理问题条件作出准确判断，不要局限一种解题思想[2].

【例2】两根等长的轻绳，下端O点悬挂质量为m的物体．上端分别固定在水平天花板上的A，B两点，如图2所示，A，B两点间的距离为s，已知两绳所能承受的拉力均为T，求每根绳的最短长度( )

图2 例2题图

以物体为研究对象，分析受力情况：重力和两根绳子的拉力，根据平衡条件可知，两根绳子拉力的合力一定，当绳子的夹角越大时，绳子的拉力越大，当绳子的拉力达到最大时，绳子的夹角最大，而AB两点间距离一定，则绳子的长度最短．根据平衡条件求出两绳间最大的夹角，再由几何知识求解绳的最短长度.

解析：当绳子的拉力达到最大时，两绳的长度最短．设两绳的夹角为2α．以物体为研究对象，分析受力情况，作出受力图.根据平衡条件得到

根据几何知识得绳的最短长度

3 微元法

微元法，简单的说是指将研究对象划分为若干个微小部分，选取具备代表性的核心部分进行处理，再从局部入手扩展到整体的解题思想.在利用微元法解决物理问题时，我们需要事先选取微元，确定研究对象，综合分析物理条件，科学选定数学工具，从而高效解答问题[3].

【例3】从地面上以初速度v0竖直上抛一质量为m的小球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，小球运动的速率随时间变化的规律如图3所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地速率为v1，且落地前小球已经做匀速运动，则下列说法正确的是( )

图3 例3题图

A.小球加速度在上升过程中逐渐减小，在下降过程也逐渐减小

C. 小球被抛出时的加速度值最大，到达最高点的加速度值最小

解析：由图像得到小球上升过程和下降过程的运动规律，然后进行受力分析，再根据牛顿第二定律进行分析.

解析选项A和C，上升过程，受重力和阻力，合力向下，根据牛顿第二定律

f+mg=ma

解得

由于是减速上升，阻力逐渐减小，故加速度不断减小； 下降过程，受重力和阻力，根据牛顿第二定律

mg-f=ma

解得

由于速度变大，阻力变大，故加速度变小； 即上升和下降过程，加速度一直在减小； 故A正确，C错误；

解析选项B，空气阻力与其速率成正比，最终以v1匀速下降，有

mg=kv1

小球抛出瞬间，有mg+kv0=ma0

联立解得

故B正确；

点评：关于速度-时间图像，重点要掌握速度-时间图像斜率表示加速度，面积表示位移，会用极限的思想求解位移．

4 图像法

【例4】如图4所示，一倾角为θ的固定斜面上，有一块可绕其下端转动的挡板P，在挡板与斜面间夹有一个重为G的光滑球.试求当挡板P由图示的竖直位置逆时针转到水平位置的过程中球对挡板压力的最小值.

图4 例4题图

解析: 这类问题用图解法比较直观、简单.球的重力产生了两个作用效果：

(1)使球垂直压紧挡板的力F1；

(2)使球垂直压紧斜面的力F2.

如图5所示,画出挡板在不同位置时重力分解的平行四边形.在这所有的平行四边形中重力G的大小、方向都不变，分力F2的方向不变(总与斜面垂直)，分力F1的大小和方向都发生变化，由于受到F1，F2与G构成平行四边形的这一条件的限制，表示不同情况下分力F1的线段末端总应该落在图中的AC上，这些线中最短的就表示分力F1对应的最小值.由图可见，这些线段最短的是OD(OD⊥AC)，且OD=OCsinθ，即分力F1的最小值FOD=Gsinθ，这个值也就等于球对挡板压力的最小值.

图5 挡板在不同位置时重力分解的平行四边形

5 结束语

综上所述，在解答物理问题时采取融合数学思想的方式，降低问题难度，使我们在掌握更多解题技巧的同时，不断提升解题能力.