常参数下二选期权的定价*

李艺卓，刘丽霞

(河北师范大学数学信息科学学院，河北 石家庄 050024)

在全球金融市场中，存在着大量的金融衍生产品，随之产生的就是风险.要有效地管控风险，就需要对衍生产品进行合理地定价.期权[1]是一种最常见的金融衍生品，期权定价问题是金融数学研究的核心问题之一，许多学者给出了不同期权的定价公式[2-7].随着金融理论的发展，人们在标准期权的基础上设计出许多新型期权，二选期权就是其中的一种.二选期权分为二选较优看涨期权和二选较差看涨期权.利用二选较优看涨期权，可以在某2种市场中获得业绩表现较优者的风险收益，利用二选较差看涨期权，可以在同一市场上的某2种资产类型的对比中获得业绩较低者的风险收益.Zhang Peter G[8]研究了基于收益率对数二选期权定价.笔者拟研究常参数下基于收益率对数的二选较优看涨期权和二选较差看涨期权的定价问题，并将得到的解析定价公式与文献[8]中的二选期权解析定价公式作比较.

1 预备知识

定义1[9]设(Ω,F,{Ft},P)是一个带域流{Ft}的概率空间，布朗运动Z(t)是满足下列条件的高斯过程：(1)正态增量性.Z(t)-Z(s)～N(0,t-s)(t>s).(2)独立增量性.Z(t)-Z(s)与{Z(u)| 0 ≤u≤s}相互独立，t>s.(3)连续增量性.Z(t)(t≥0)是关于t的连续函数.

引理1[9](Ito引理) 令X(t)对于0 ≤t≤s满足dX(t)=μ(t)dt+σ(t)dZ(t)，若f(x)是关于x的二阶连续可微函数，则函数Y(t)(Y(t)=f(X(t)))的随机微分存在，且有

其积分形式为

基于Black-Scholes期权定价模型，在风险测度P下，假设2种股票的价格分别为S1和S2，并且服从随机微分方程

其中：Zi(t)(i=1,2)是风险测度P下具有相关系数ρ的标准Brownian运动；μi和σi分别是股票价格的期望收益率和波动率.由引理1，

那么在P*下，Si(t)满足随机微分方程

由引理1，

(1)

其中Wi(τ)=Wi(T)-Wi(t).

定理1在文献[8]中，使用无风险利率r折现，设x，y满足(1)式，则在到期日为T、执行收益率分别为K1，K2的常参数下，二选较优看涨期权在当前时刻t的价格为

(2)

其中：N(a,b,ρ)是二元标准正态分布的累积函数；

定理2在文献[8]中，使用无风险利率r折现，设x，y满足(1)式，则在到期日为T、执行收益率分别为K1，K2的常参数下，二选较差看涨期权在当前时刻t的价格为

(3)

其中：N(a,b,ρ)是二元标准正态分布的累积函数；

2 常参数下基于收益率对数的二选期权的定价

定理3若(X,Y)是服从N(0,0,1,1,ρ)分布的二维正态随机变量，a，b为任意实数，则

其中f(·)和N(·)分别是一元标准正态分布的密度函数和累积函数.

因此

即

(4)

证毕.

定理4设x,y满足(1)式，则在得到期日为T、执行收益率分别为K1，K2的常数参数下，二选较优看涨期权在当前时刻t的价格为

c(S1(t),S2(t),t)=exp(-rτ)((μx-k1)N(dk12,dk1,ρ1)+(μy-k2)·

(5)

其中：N(a,b,ρ)是二元标准正态分布的累积函数;

Q1=f(dk1)N(agm11)-ρ1f(dk12)N(agm12)；

Q2=f(dk2)N(agm21)-ρ2f(dk12)N(agm22)；

证明由风险中性定价原理，

c(S1(t),S2(t),t)=exp(-rτ)EP*(c(S1(T),S2(T),T))=exp(-rτ)EP*((x-k1)1{x-k1>y-k2,x-k1>0}+

(y-k2)1{y-k2>x-k1,y-k2>0})=exp(-rτ)(EP*(x1{x-k1>y-k2,x-k1>0})-

EP*(k11{x-k1>y-k2,x-k1>0})+EP*(y1{y-k2>x-k1,y-k2>0})-

EP*(k21{y-k2>x-k1,y-k2>0}))=I1-I2+I3-I4，

(6)

其中

I2=k1EP*(1{x-k1>y-k2,x-k1>0})=k1EP*(1{μx+σ1W1(τ)-k1>μy+σ2W2(τ)-k2,μx+σ1W1(τ)-k1>0})=

k1EP*(1{σ2W2(τ)-σ1W1(τ)<μx-μy+k2-k1,σ1W1(τ)>k1-μx})=

k1N(dk12,dk1,ρ1).

(7)

同理

I4=k2N(-dk12,dk2,ρ2)，

(8)

I1=EP*((μx+σ1W1(τ))1{x-k1>y-k2,x-k1>0})=EP*(μx1{x-k1>y-k2,x-k1>0})+

EP*(σ1W1(τ)1{x-k1>y-k2,x-k1>0})=μxN(dk12,dk1,ρ1)+

EP*(σ1W1(τ)1{x-k1>y-k2,x-k1>0}),

其中

EP*(σ1W1(τ)1{x-k1>y-k2,x-k1>0})=EP*(σ1W1(τ)1{μx+σ1W1(τ)-k1>μy+σ2W2(τ)-k2,μx+σ1W1(τ)-k1>0})=

(9)

(10)

由(6)—(10)式可知，定理4得证.

定理5与定理4的条件相同，常参数下二选较差看涨期权在当前时刻t的价格为

c(S1(t),S2(t),t)=exp(-rτ)((μx-k1)N(d-k12,-dk1,-ρ1)+(μy-k2)·

(11)

其中：N(a,b,ρ)是二元标准正态分布的累积函数；

证明过程与定理4类似.

注1比较定理1和定理4可知(2)，(5)式不同，比较定理2和定理5可知(3)，(11)式不同，而文献[8]中二选期权的定价公式没有推导过程，通过笔者的详细推导可知，定理4和定理5是正确的.

3 结语

基于收益率对数，标的资产服从几何布朗运动的情况下，利用测度变换和风险中性定价原理研究二选较优看涨期权和二选较差看涨期权的定价，得到的结果与文献[8]的结果不同.对于二选期权，还有许多值得进一步研究的问题.例如在对数跳扩散模型下，研究利率服从扩展的Vasicek模型时二选期权的定价；在混合分数布朗运动环境下，研究资产价格服从跳扩散模型时二选期权的定价等.

参考文献：

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