分布函数列的一致收敛性*

邢家省，杨义川

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京 100191；2.北京航空航天大学数学、信息与行为教育部重点实验室,北京 100191)

判断函数列的一致收敛性是经典数学分析中的重要课题.奥斯古德定理和狄尼定理是判断函数列一致收敛的一个充分条件，在数学分析中是常用定理.狄尼定理的另一种形式在数学分析中一般不作为定理，人们在使用它时不得不重复证明.笔者将对狄尼定理的另一种形式的结果给出证明，并将此结果应用于分布函数列的一致收敛性研究.对于随机变量序列的分布函数列的收敛性，以往仅着重于弱收敛性，而对于一致收敛性的重视不够.在实际应用中，分布函数列的一致收敛性是需要的，特别是要为近似计算提供理论依据.

1 狄尼定理的另一种形式

定理1[1-7]设函数序列{fn(x)}在[a,b]上逐点收敛于函数f(x),若f(x)在[a,b]上连续，且对于每个n,fn(x)都是[a,b]上的单调函数,则 {fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x).

|fn(x)-f(x)|≤ |fn(x)-fn(xi)|+|fn(xi)-f(xi)|+|f(xi)-f(x)|≤

|fn(xi+1)-fn(xi)|+2ε≤|fn(xi+1)-f(xi+1)|+

|f(xi+1)-f(xi)|+|f(xi)-fn(xi)|+2ε<5ε，

即{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x).

2 随机变量序列的分布函数列的一致收敛性

Fn(-M)≤|Fn(-M)-F(-M)|+F(-M)<2ε，

1-Fn(M)=1-F(M)+F(M)-Fn(M)<2ε.

因此，对于x<-M，若n≥N1，则

|Fn(x)-F(x)|≤|Fn(x)|+F(x)≤Fn(-M)+F(-M)<3ε.

同样地，对于x>M，若n>N1，则

|Fn(x)-F(x)|=|(1-Fn(x))-(1-F(x))|≤|1-Fn(x)|+|1-F(x)|≤

1-Fn(M)+1-F(M)<3ε.

已知F(x)在[-M,M]上连续，由于Fn(x)都是[-M,M]上的单调递增函数，因此由定理1可知{Fn(x)}在[-M,M]上一致收敛于F(x).对于上述ε，存在正整数N(N>N1)，当n>N时，对于∀x∈[-M,M]，|Fn(x)-F(x)|<ε.综上所述，{Fn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛于F(x).

3 中心极限定理结果的进一步表述

中心极限定理是概率论中的重要结果，但往往仅表述为“分布函数列的点点收敛”，这对于近似计算理论是不够用的，应表述为“分布函数列的一致收敛”这样的深刻结果，才能为近似计算提供严密的理论依据.

4 t-分布的随机变量序列的极限分布直接证明方法

t-分布的随机变量序列的极限分布是正态分布，这个结果是熟知的且有多种证明方法，但某些证明方法利用的知识较多，过于复杂.现给出2种直接证明方法.

关于x∈(-∞,+∞)是一致的.

5 随机变量序列收敛实例

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