探究数形结合思想在解决问题过程中的渗透

沈英

摘 要：在数学教学过程中，数形结合是最常见的一种解决问题的方法，就是通过数与形之间的对应和转化来有效地解决数学问题。它兼有数的严谨与形的直观之长，是一种非常有效的解题思想。

关键词：数形结合思想；解决问题；渗透

在小学数学教学中，学生正处在一个数学思想启蒙的阶段。因此，教师应该把握当前比较关键的时期，通过灵活多样的教学方式，让学生学会运用一些常用的数学思想解决数学问题。

一、以形助教，增强问题的直观性

形在于其直观。在小学阶段，儿童的思维都是以直观形象为主的，对于抽象的思维以及解题方式，他们运用得相对较少，所以在很多稍微有一点难度需要结合抽象思维的题目中，很多学生都出现了无从下手的困难。因此，培养小学生对于抽象思维的运用是当下亟待解决的课题。由于小学中低端的学生一般在学习上都是以兴趣为主，所以在抽象思维及数形结合上面，教师也应该把握该特点，在教材中穿插一些关于实际生活和直观的图形文字的讲解，这样学生就能够运用自己在生活中的直接经验来解决数学中的间接知识，发展他们对数学题目的思考和研究。例如，六年级的替换、鸡兔同笼问题，就是根据数形结合的方法来帮助学生进行学习和解决问题的。问：鸡和兔一共有8只，腿有22条。求鸡和兔各有多少只？

如果是单纯地靠算数的方式来解决这个问题，学生需要列出二元一次方程，但是对于还不能准确运用数字符号的他们来说，这无疑是一种考验，所以对于这些问题，教师就可以传授一种数形结合的解题思想。用画圆来代表动物，在每个圆下面画线代表动物的腿数，这样用图像的表达方式可以很快让学生弄懂题目，一目了然地解决问题。

借助图形的帮助，学生容易理解，同时学生的思维也会更加灵活。那么，如何根据每个阶段的学生因为不同理解能力而带来的差异去结合数形结合思想进行教学呢？经过一定的实地调查研究，首都师范大学数学科学学院的老师发现，普遍情况下，小学六年级学生的识图和画图能力都不如其他较低年级的学生，其中当然会有一些关于学习态度的问题，例如他们对学习的厌倦情绪有所增长或者自身的学习兴趣大大降低，但是从具体的面对面的访谈中我们还是可以看出，六年级的学生由于经历了较多的数字化的教学思想，导致了他们的想象空间能力确实不如其他的低年级的学生。所以，这个调查充分地说明了在低年级学生的数学学习中对他们进行空间和视图上的教学，对他们在高年级的学习会有极大的帮助，对他们的空间观念的发展和数形结合思想的发展也是有帮助的。

二、借数辅形，增强问题的精确性

在数学的教学和学习中，数量和图形往往都是相互关联的，不仅仅是数字可以转换为图形，在很多情况下将图形转换为数字也可以简化题目的解答。我们在几何问题的解决过程中，将图形表示成简单的数量关系，可以得到多方面的思维，而代数往往被用来阐述图形的属性，所以教师也应该重视借数辅形，增强问题的精确性，加强学生多方位的思维。

例如，在教学《长方体的认识》一课时，教师先给出三个数字：6、8和12，然后让学生仔细观察长方体，在图形中找出与这三个数字相对应的元素，通过小组合作让学生发现长方体的顶点、面以及棱长与这三个数字的关联，他们就很容易发现长方体的特征：有6个面，8个顶点和12条棱长。最关键的是，学生可以从这些数字中发现有很多面以及棱长是完全一样的，这对他们以后进行长方体的表面积和体积的计算起到了非常重要的作用。

又如，在让学生对一个铅笔盒进行表面积的计算时，最开始就是要让他们对物体进行观察，看其有几个面，然后弄清有哪几个面的面积是完全一样的，铅笔盒的左右、前后和上下的面是完全重合的，所以在进行表面积的计算时，只需要分别求出前、上和左边面的面积之和，然后乘以2就可以获得整个图形的表面积。这种借助数字来简化图形的方式大大地提高了解决问题的精确性，同时也简化了解决问题的步骤。

这样的借数辅形的方式，不仅锻炼了学生在图形上的理解能力，同时也培养了他们在学习中的好的习惯。例如当学生在看到6、8和12 这三个数字的时候马上能联想到长方體的各个特征，然后立马就可以在脑海中构建出长方体的空间立体模型，通过这样有目的地在教学中渗透数形结合思想的方式，既可以培养学生在数学中的学习感觉，也可以帮助学生更好地理解数形结合的思想。

三、数形结合，增强思维的灵活性

在数学问题的解决过程当中，如果单单靠代数方法或者单单靠图形的思维来解决，往往都达不到预期的效果，但是运用数形结合就能让数量之间的复杂问题变得更加直观，也能更加精准地解决问题。学生可以通过问题的具体情境，把图形的问题转化为数字的问题，化繁为简，提高学生的思维能力。

如二年级数学第一册的一次练习中有一个题目：一个数减少几，另一个数减少到几才能使剩下的量是第一个量的几倍？如果只是通过单纯的代数方法来解答这个问题，对于二年级的学生来说，这是完全无法解答出来的，因为这是四年级的“方程”中的知识。但是，如果将其与数形结合的思维相结合进行解答，就大大降低了整个题目的难度，同时还发展了学生多方位的思维能力。通过不完全调查统计，通过数形结合方法解决该问题的学生的正确率达到了95%，而且在这类问题中，学生不仅仅是接触到了数形结合的思维，同时对倍数的概念也有了一定的了解，提升了学生在数学知识面上的广度。例如++++，从图1就可以看出，它们的和就是：1-=。图中把正方形的面积看成“1”，一半就是，的一半就是，的一半就是。

四、运用数形结合解决问题

学习数学不是为了考试，而是为了培养一种生活技能，学会一种能力，传承一种文化。对一般人来说，数学最大的用处就是应用于生活，算账、理财是数学常用之处，因此在小学数学中，应用题是比较贴近生活的一方面，同时它也是数形结合思想比较常用的一个方面。

数学家华罗庚曾经说过：“人们对数学早就产生了枯燥无味、神秘难懂的印象，成因之一便是脱离实际。”数形结合的思维方法，则是理论和实际相互结合和融合的过程，它不仅仅是一种方法和手段，更是一种习惯，它是儿童构建数学模型的一种基本的方式。数形结合思想通过将过于直观的图形和过于抽象的数字综合在一起，将两者结合，使问题变得具体、形象，从而提升学生解决问题的精准性，也提升他们多方位的思维能力。

下面这个例子就很好地反映出数形结合在解题过程中的重要性。例如：小明和小红两家相距12km，两人同时出发同向而行去少年宫，小红步行每小时4km，小明在后面骑自行车，每小时的速度是小红的3倍，问多久后小明追上小红？

分析：给全班小朋友分析这个问题，许多学生会觉得乱，这时我们可以用画图（图2）的方法使题目一目了然，并迅速解答问题。

追击问题是小学数学应用题中一个重要的知识板块，它形式多变，而且难易各异。解决这类问题，好的逻辑思维能力非常关键，由于题目中的信息量十分复杂，很容易让人混淆，那么线段图的出现既简单描述了情境，又可以将重要信息标注在上面。就本题而言，线段图能帮助学生找出等量关系，如“小明比小红多行12km”，从而更容易列出等式。数形结合思想从“数无形，少直观；形无数，少入微”，明确为我们展示了数和形的各自特点及其联系，是一种有效解决问题的途径。

《数学课程标准》中也明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”总之，在小学数学教学中，教师要有意识地在数学的教学中结合数形结合的思想来帮助学生进行学习，恰当地将形象的学习材料呈现给学生。数形结合这种经典的数学思想不仅有利于学习效率的提升，更加有利于学生学习兴趣的提升，这在一定程度上也提升了他们的自我效能感，使枯燥的数学知识变得更加生动有趣。

总而言之，数形结合思想无论是从实际问题角度还是从学生学习兴趣的角度，都显示出十分有利的局面。当下的小学数学教师应该重视这一点，努力将数形结合思想与平时的教学工作相结合来增强学生对其的理解，当然这也是一个漫长而艰难的过程，需要每一个教育工作者的不懈坚持才能够得以实现。