高中函数核心概念教学案例研究——以函数单调性为例

常 勇

(四川省成都市树德中学 610036)

传统教学中，由于教师对于数学概念的教学认识不足，重解题技巧轻概念训练，致使概念与计算脱节，一旦将概念的考查融合于实际应用时，则不能够融会贯通，也使计算被禁锢在某些熟知的框架之中.因此，对于数学概念的学习不应仅停留在记忆和背诵上，而应立足于核心概念教学的“过程性”，促使学生主动参与概念的处理和搜集，了解概念的由来，理解概念的本质，注重数学核心概念的教学.

一、函数单调性案例分析

1.概念引入

解析通过观察图象，图1是y随x的增大而增大，图2是y随x的增大而减小，图3是在对称轴x=1的左侧y随x的增大而减小，右侧是y随x的增大而增大，这种引入概念的方式更加侧重于对图象变化的分析，从而得出单调性的描述性性定义.

案例二图4是某一地区24小时的气温变化图，要求学生观察图象并回答以下问题：

(1)该地区0时、11时、22时的温度分别是多少？

(2)该地区的最高、最低温度分别是多少度？

(3)该地区0时到23时的变化如何描述，你还能列举出相应的例子吗？

解析应用生活中的实际案例，引发学生的好奇心，要求学生观察图象归纳出单调性的定义.显然这种引入概念方式更加侧重于特殊数据的分析.

综上所述，以上案例均引出了函数单调性的概念，但案例一是从学生已学知识引出概念，更接近学生的学习水平，并且又温习所学知识的，其缺点是缺少数据的参与，对函数单调性的感知是不完整的.而案例二是从学生生活中的例子出发，是在分析数据和数据变化的趋势上归纳总结出函数单调性的定义，其不足是缺少图象的直观感知，如果将数据变化与图象变化有机结合起来，则会有利于单调性的学习.

2.概念理解

案例三教师画出f(x)=x2函数的图象，要求学生思考以下问题：

(1)在y轴的右侧函数图象是上升，还是下降？

在学生回答问题后，教师给出如果在y轴的右侧任意取两点x1、x2(x1

(2)教师随机提问减函数的定义，并强调“任意”、“区间”等关键词.

解析通过分析y=x2函数图象，直接给出增函数的定义，并要求学生通过类比的方式得出减函数定义.

案例四教师设置以下问题，要求学生回答.

问题1：分别画出函数f(x)=x、f(x)=x2的图象，请说明自变量和函数值之间的关系.

问题2：如图5所示，请说出该函数是增函数吗？如果不是，请说明理由.

问题3：应用数学语言描绘增函数的定义.

解析通过对已知图象的观察，引导学生对函数的单调性进行描述，并对注意事项以案例的形式呈现，最后以探究的形式得出函数单调性的严格定义.

综上所述，以上案例均归纳总结了函数单调性的定义，但案例三忽视了学生的主观能动性，将函数单调性的概念直接呈现给学生，不利于学生创造性思维的发挥和对函数单调性本质的理解.案例四设置了三个问题不断给学生创造认知冲突，能让学生体会到函数单调性质，其不足是没有给学生独立思考的时间，仍然是将知识灌输给学生，未能激发学生学习的兴趣.

三、概念应用

案例五呈现教材中的案例，并组织学生学习.

解析进一步拓展函数单调性定义的应用，并总结出证明函数单调性的具体步骤.

案例六设置以下例题，并组织学生进行学习.

(1)已知函数f(x)=5x+2，请证明该函数是增函数.

(3)已知函数f(x)=x2+3x，请判断该函数在R上的单调性.

解析应用定义进一步拓展练习，归纳出判断和证明函数单调性的一般步骤.

综上所述，以上案例均归纳出证明函数单调性的一般步骤，但案例五是采用教材上的例题，学生易简单模仿，不利于函数单调性本质的理解.案例六是按照难度逐步加深的原则进行设计的，有利于拓宽学生的视野，易于学生接受.

四、归纳小结

案例七教师列举了以下知识，要求学生记忆并形成概念体系.

证明函数单调性的几个步骤：设元、作差、变形、断号、定论.

判断函数单调性的基本方法：图象法、定义法.

解析教师总结本节课程重点组织学生学习.

案例八

问题1：如何证明函数单调性？

问题2：判断函数单调性的基本方法主要有哪些？

问题:3：请以案例的形式说出本节课程所涉及到的基本思想方法.

解析学生总结，教师进行补充和完善.

综上所述，以上案例均总结了证明函数单调性的步骤，但案例七缺乏学生的参与，案例八没有意识到过程性方法的提炼.

二、高中函数核心概念教学建议

通过对以上函数单调性案例的分析，并针对当前函数概念教学中存在的重“结果”轻“过程”的问题，教师应立足于概念的“过程性”，在引入概念时，注重数形结合；在建构概念时，注重新旧知识之间的联系；在理解概念时，注重题目变式和正反；在巩固概念时，注重强化应用；在形成体系时，注重总结.并在具体教学实践中，应注重以下几个方面：

1.数形结合，优化思维过程.为了让学生全面初步获得概念，教师应采用数形结合思想，优化学生思维过程，并且提供的正面实例是从图象和表格两个方面组织学生进行观察和探究.

2.巧妙设置探究问题.要以学生为主体，设置的问题要从实际生活和学生的最近发展区出去，注重自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等方式引导学生参与.

3.多角度理解概念.教师不应该忙于讲解概念的判断方法、证明步骤，而是利用变式练习来突出概念的本质属性，用新获得的概念去分析概念引入时所提供的实例，通过图象、表格、形式化符号语言之间的转换来理解概念的本质.

4.完善认知结构，形成概念体系.理清概念与其它概念、数学实际问题之间的区别和联系，把所学的零散的知识串连起来，站在一个较高的高度上构建出概念体系.

总之，函数是高中数学课程中的一个核心概念，只要我们在具体核心概念教学中彻底改变轻描淡写的状态，坚持数形结合、数学思想方法渗透、多角度理解、构建出概念体系，不断理解概念的本质，才能很好地应用于具体题目，才能获得较为理想的效果.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 (实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2]常青,薛红霞.新课程中教材的处理和实施——以函数单调性教学内容为例 [J].教育理论与实践,2009(7).

[3]褚哲.函数的单调性——《函数的单调性》教学案例[J].新课程学习，2011(11).