全等三角形判定定理的应用——“探究‘边边角’在部分条件下证明三角形全等”教学设计

熊莹盈

（云南省昆明市第十中学）

一、内容和内容解析

内容：本节课主要探究“边边角”在哪些条件下能够证明两个三角形全等.

内容解析：本节课是对人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）第十二章第二节“三角形全等的判定”中“边边角”能否判定两个三角形全等所做的一个补充探究.希望通过教师适当的引导，让学生通过动手画图、推理论证的过程，学会用已有的关于三角形全等的知识，探究出在哪些特定条件下“边边角”能够证明两个三角形全等.本节课作为对课堂内容的一个补充探究，主要是为了拓宽学生思考问题的思路，让学生学以致用，能够用已有的知识、技能、方法去解决新的问题，提高学生的数学思维.

学情分析：由于本节课并不是教材上的规定内容，所以是在八年级的选修课上进行探究，面对的是数学学习能力相对较好，并且对数学学科有较强兴趣的八年级学生.因为他们已经学过了“全等三角形”这一节，所以为本节探究课提供了知识、态度和能力上的准备.

二、目标和目标解析

教学目标：（1）本节课以“HL”作为引导，启发学生从多个角度进行探究，应用所学的全等三角形的相关知识，得到在哪些条件下“边边角”能够证明两个三角形全等.

（2）学生通过小组合作探究，经历思考、讨论、动手操作、推理论证等过程，学会探究学习的方法，会用已有的数学知识、技能和方法去探究新的问题.

（3）学生通过本节课课题的选取来培养质疑意识；通过本节课的探究过程来提高探究精神；通过小组合作的学习模式来加强协作精神.

目标解析：本节课是一节探究课，首先就需要学生有质疑的意识，“边边角”不一定能够证明两个三角形全等，那么在什么条件下它能够证明两个三角形全等呢？带着这样的疑问，引导学生通过分类讨论思想，对每一种他们能想到的情况进行探究.而探究的方法则可以类比教材上已经学过的探究两个三角形全等的判定定理的过程，通过猜想、作图、推理论证等步骤来进行，从而使学生学到探究问题的基本思路和方法，为他们今后进行自主探究学习打下基础，提高学生的探究能力.采用小组合作的学习模式，主要有两个原因：（1）学生自己完成本节课的探究任务有一定的难度，会使学习积极性受到影响；（2）在合作的过程中，不仅能培养学生的团队意识和合作精神，也能使学生学习他人的长处，接受他人不同的观点，从而开阔自己的视野.

三、教学问题诊断分析

由于探究课是学生不熟悉的课型，所以学生看到课题时可能会感到无从下手，那么本节课的第一个难点就是启发学生从哪些方向去进行分类探究.借助几何画板软件的展示，让学生发现可以从相等的角是什么类型的角入手进行分类，从而突破难点.在后面的探究过程中，学生还会出现对分类讨论考虑不全的问题.因为当相等的角为锐角时，这个三角形可以是直角三角形、锐角三角形或者钝角三角形，此时教师要进一步进行引导，帮助学生将问题考虑周全.

有了探究的方向，学生可能还是不知道该怎么办，这也就是本节课的第二个难点，即启发学生找到探究的方法和步骤.如何找到探究的方法和步骤呢？其实我们已经学过三角形全等的五个判定定理，它们都是按照作图、猜想、论证来进行探究的，所以我们不妨类比来做.

由此得到本节课的重点和难点如下.

教学重点：通过分类讨论思想，探究出“边边角”在哪些特定条件下能够证明两个三角形全等.

教学难点：（1）启发学生如何进行分类探究；

（2）引导学生按照作图、猜想、论证的步骤进行探究.

四、教学支持条件分析

本节课主要运用几何画板软件、多媒体辅助，以及分组合作的学习模式.

五、教学过程设计

1.课题引入，激发兴趣

师：两个三角形全等的定义是什么？

生：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

师：通过前面的学习，要证明两个三角形全等，我们已经学习了哪些判定定理呢？

生：SSS，SAS，ASA，AAS，HL（直角三角形中）.

师：一个三角形有六个元素，三条边和三个角.我们至少要知道三组元素对应相等才能证明两个三角形全等.对于两边一角的情况，我们往往要强调这个角是两边的夹角，此时满足SAS，这两个三角形一定全等.那么如果这个角不是两边的夹角，而是某条边的对角时，我们就得到了“边边角”的情况，此时两个三角形不一定全等.在哪些条件下，“边边角”能够证明两个三角形全等呢？这就是本节课我们要探究的问题.

【设计意图】在这个环节里首先设置两个问题.第一个问题，是让学生感受全等的三角形是能够完全重合的，为后面作图、剪图之后判断做出的三角形是否和原图形全等做个铺垫.第二个问题则为后面的论证过程做铺垫.后面这一段引导是为了让学生进一步明确三角形的“边、角”元素所起的作用，从而为后面的探究过程中的画图部分打下基础，即要做两组边、一组角相等的三角形，我们可以先确定一组边和一组角，通过观察第二组边来得到结论.

师：我们学过的判定定理里面有没有满足“边边角”的两个三角形全等的特例呢？

生：有，HL的情况（如图1）.

图1

结论：HL就是当相等的角为直角时SSA成立的特例.

【设计意图】这个问题既能激发学生的兴趣，为学生树立探究的信心，又能引出本节课的一个基本模型.

接着，教师用几何画板软件展示两个直角三角形满足HL（即斜边和一条直角边对应相等）的情况（如图1），然后拖动点C，让学生观察图形发生的变化（如图2和图3）.

图2

图3

师：为什么会出现两个三角形？

生：因为当以点A为圆心，AC长为半径画弧时，会与BC边所在的直线有两个交点.

师：试观察出现的这两个三角形，它们有什么特点呢？

生：这两个三角形满足“边边角”，但它们并不全等.

师：这两个三角形为什么不全等？

生：形状不一样，一个是钝角三角形，一个是锐角三角形.

师：这两个三角形中相等的角是什么角？而刚才HL全等的情况中相等的角又是什么角呢？

生：这两个三角形相等的角是锐角，而HL全等的情况中相等的角为直角.

师：这有没有给我们一点探究的思路和方向呢？也就是说，接下来我们可以从哪些方向去探究，“边边角”在什么条件下能够证明两个三角形全等呢？

生：可以按相等的角是直角、钝角、锐角来分类讨论.

【设计意图】运用几何画板软件可以很直观地让学生观察出当拖动点C时，会出现两种情况，也就是“边边角”不能证明两个三角形全等的反例.同时让学生去感受，相等的角所在的三角形的形状不唯一，就是导致“边边角”不能证明两个三角形全等的原因.从而得到本节课探究的方向，应该按相等的角为直角、钝角、锐角去分类讨论.

2.合作探究，发现新知

师：现在我们已经有了探究的方向，那么我们应该利用什么样的方法或者步骤进行探究呢？我们在教材上已经学习了五个判定定理，都是按照什么样的方法和步骤进行探究的呢？首先要做什么？

生：作图.

【设计意图】这两个问题的设计是帮助学生找到探究的方法和步骤.其实已经学习过的内容都可以作为我们研究新内容的工具，要让学生学以致用，融会贯通.

于是提出探究任务：已知△ABC，试作出△A′B′C′，使得A′B′=AB，A′C′=AC，∠C′=∠C.

学生通过小组合作探究，将所作的图形在卡纸上剪下来，之后每组派一名代表进行展示，在黑板上将本组所剪的三角形展示出来.

第一次探究：由于相等的角可以是钝角或者锐角，所以学生很容易作出以下几种情况的图.

（1）相等的角为钝角的情况.

如图4，已知钝角△ABC，先作∠C′=∠C，然后以点C′为圆心，AC长为半径画弧，与∠C′的一边交于点A′，再以点A′为圆心，AB长为半径画弧，与∠C′的另一边交于点B′，得到如图5所示的△A′B′C′.

图4

图5

此时作出的图形是唯一的，剪出的两个三角形可以完全重合，由此猜想这两个三角形可能是全等的.

（2）相等的角为锐角的锐角三角形情况.

如图6，已知锐角△ABC，先作∠C′=∠C，然后以点C′为圆心，AC长为半径画弧，与∠C′的一边交于点A′，再以点A′为圆心，AB长为半径画弧，会与∠C′的另一边所在的直线有两个交点，此时有两种情况（如图7）.

图6

图7

此时作出的图形一种情况可能是与原图形全等的，另一种情况是一定不全等的.

【设计意图】这个探究任务的设计，是让学生从作图的角度出发，开始本节课的探究，符合学生的知识生成.因为前面已经有了探究方向，所以这里相等的∠C′和∠C可以是钝角或者锐角.作图步骤先要画一个角等于已知角，然后用圆规来截取相等的边画弧，方法与教材上也一样，是学生可以完成的任务.

第二次探究：由于学生的探究结果并不完整，所以要继续引导.

师：还有没有其他情况存在呢？当三角形里面有一个角为直角或者钝角时，这个三角形的形状有没有确定？

生：当三角形中有一个角是直角时，这个三角形只能是直角三角形；当三角形中有一个角是钝角时，这个三角形只能是钝角三角形.

师：当三角形中有一个角是锐角时，这个三角形的形状确定了吗？

生：没有确定.当三角形中有一个角为锐角时，这个三角形可能是直角三角形、锐角三角形，还可能是钝角三角形.

让学生在此基础上继续进行探究.

（3）相等的角为锐角的直角三角形情况（如图8和图9）.

图8

图9

这两种情况画出的三角形和原三角形都是全等的，但此时其实已经有四组相等的条件了.

同时要引导学生观察图形发现这两种情况是不一样的：第一种情况相等的边是一组斜边和一组直角边；第二种情况相等的边是两组直角边.

（4）相等的角为锐角的钝角三角形情况.

第一种情况：如图10，已知△ABC，先作∠C′=∠C，然后以点C′为圆心，AC长为半径画弧，与∠C′的一边交于点A′，再以点A′为圆心，AB长为半径画弧，会与∠C′的另一边所在的直线有两个交点，得如图11所示的两种情况.

图10

图11

此时作出的图形，一种情况可能是与原图形全等的，一种情况是一定不全等的.

第二种情况：已知如图12（1）所示的△ABC，画法同上，得如图13所示的△A′B′C′.

图12

图13

此时作出的图形是唯一的，剪出的两个三角形可以完全重合，所以猜想它们可能是全等的.

【设计意图】此环节的设计是让学生能够更全面地考虑问题，尽可能地探究出所有的情况.同时，在作图的过程中，进一步加强学生的几何直观，理解每一种情况都是在作图的前提下得到的，从而使学生学会几何探究的一个有力的方法——作图.

3.应用所学，进行论证

师：刚才我们都是通过作图，也就是实验几何的角度进行的探究.大家想一想，作图之后还要做什么呢？

生：推理论证.

提出任务：每个小组的学生讨论一下，如何对以上通过作图发现的可能全等的情况进行严密的论证呢？可以先选择本小组作出来的情况进行论证.

学生很快能证出以下两种情况.

（1）相等的角为钝角的情况.

已知：在如图4（1）和图5所示的△ABC和△A′B′C′中，∠C′与∠C均为钝角，A′B′=AB，A′C′=AC，∠C′=∠C，求证：△ABC ≌△A′B′C′.

证明：如图14，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点A′作A′D′⊥B′C′，交B′C′的延长线于点D′，

先证明△ADC≌△A′D′C′（AAS），得AD=A′D′.

再证明Rt△ADB ≌ Rt△A′D′B′（HL），得∠B= ∠B′.

最后证明△ABC≌△A′B′C′（AAS）.

图14

（2）相等的角为锐角的锐角三角形的情况.

已知：在如图6（1）和图7（2）所示的锐角△ABC和锐角△A′B′C′中，A′B′=AB，A′C′=AC，∠C′= ∠C，求证：△ABC ≌△A′B′C′.

证明：如图15，过点A作AD⊥BC，交BC于点D，过点A′作A′D′⊥B′C′，交B′C′于点D′，

先证明△ADC≌△A′D′C′（AAS），得AD=A′D′.

再证明Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（HL），得∠B=∠B′.

最后证明△ABC≌△A′B′C′（AAS）.

图15

其他几种情况也是如此，辅助线作法和证明过程也是一样的（如图16和图17）.

图16

图17

师：通过这几种情况的证明，你有什么发现呢？

生：辅助线都是作高线，证明方法是一样的.

【设计意图】此环节是在上一环节作图的基础上进行的一个理论上的逻辑推理，是从实践到理论的一个完善.同时，也是学生对于三角形全等的判定定理的一个直接应用.要让学生体会在论证的过程中我们都要对着相等的角在第三条边上作高，而这么做的目的其实就是为了构造我们本节课最开始就给出的核心图形“HL”全等的情况，因为在作图时只有直角三角形才是唯一的.并且引导学生发现，在本节课的开始，我们引入了“HL”的特殊情况，从这个特殊情况出发探究一般的情况，而对一般情况进行论证的时候，辅助线作法又回到了之前最特殊的“HL”的情况，并且所有的论证过程都是一样的.这其实就是数学中从特殊到一般，再由一般化归到特殊的数学思想.

4.总结所学，归纳结论

师：从以上的探究中，我们能得到哪些结论呢？

由于是按相等的角为直角、钝角、锐角进行分类，所以也按相等的角为直角、钝角、锐角来总结.

结论1：两个三角形满足“边边角”，当相等的角为直角或者钝角时，这两个三角形全等．

结论2：两个三角形满足“边边角”，当相等的角为锐角，且另一对应相等的边所对的角为同一类型的角时，这两个三角形全等．

【设计意图】设计这个环节是对本节课探究所得的结果进行的一个归纳.学生应该比较容易得出结论1，归纳起结论2来会有困难，可能学生会去考虑三角形的形状.所以需要引导学生去看相等的两组边，一组边对着相等的角，而另一组边所对的角是否是同一类型的角就决定了这两个三角形是否全等.

5.思维导图，感悟提升

用思维导图的形式对本节课进行总结，学生先分小组自己完成，然后和教师一起归纳（如图18）.

图18

【设计意图】思维导图的引入不仅能使本节课的内容清晰明了，还能训练学生的逻辑思维，对学生今后的数学学习也会有很大的帮助.

6.布置作业，巩固提高

以小组为单位将这节课的内容写成一篇探究小报告，下周同一时间交探究报告.

六、教学反思

作为一节探究课，本节课的内容并不是教材上的常规内容，所以在设计之初就进行了多次修改.之后笔者又经历了备课、磨课、上课，以及说课展示的全过程，可谓收获颇多.接下来就来谈谈笔者对本节课的反思.

1.总结经验，感悟提升

（1）探究思路要适合于学生的知识生成.

本节课主要是探究“边边角”在哪些特定条件下能够证明两个三角形全等.在备课的过程中，笔者查阅了很多相关资料和论文，发现大概有以下两种情况：第一种是先按三角形的形状进行分类，再按相等的角进行分类；第二种是先按相等的角进行分类，再按三角形的形状进行分类.而沪教版《义务教育教科书·数学》七年级下册在“全等三角形”这一章之后，以小阅读的方式，从作图的角度对这个问题进行了探究.在考量了多种情况之后，笔者决定从作图入手，采取第二种分类方法.这样的设计会更贴合学生的知识生成，作图的方法都是一样的，只是由于角的不同会出现不同的情况，从而为学生设定一条清晰明确而又切实可行的探究主线.

（2）解决问题的同时要注重方法的总结.

在本节课的推理论证过程中，笔者发现论证本身对学生来说并不困难，困难的是从论证的背后发现规律性的结论和隐含的数学思想.所以在推理论证之后，对辅助线的作法进行了总结.旨在引导学生发现辅助线都是作高，而作这条高就是为了构造直角三角形，就回到了本节课的核心图形——“HL”的情况.这就是从特殊到一般，又从一般化归到特殊的数学思想.

（3）思维导图小结碰撞出思维的火花.

本节课采用思维导图来进行小结，不仅能为学生理清本节课的思路，更能帮助学生发现本节课还存在的问题.思维导图能够很清楚地发现学生的思维障碍在哪里，以便之后完善.而学生往往也能带来意想不到的惊喜，在他们所画的思维导图里，处处有碰撞出的思维小火花.

2.发现问题，完善提高

本节课展示之后，笔者又进行了反思，发现还存在以下几个问题.

（1）是否能给学生一个更开放的探究.

虽然本节课的探究主线是清晰的，但在课后笔者仍然在思考，这条主线是否在某种程度上也限定了学生的思维呢？能否给学生一个更开放的探究呢？那么在最初的引导上就要让学生明确，“边边角”其实已经是三个关于“边、角”的元素对应相等了，所以所添加的特定条件，不能是另一组“边”或者“角”相等.因此，应该从三角形是否唯一的方向去考虑添加的条件，这样既可以从三角形的形状入手，又可以从相等的角入手，让学生自己选择，还能让学生比较不同分类的特点以及优缺点，更有利于学生的思维发展.

（2）能否更加充分地调动学生的主体性.

虽然本节课是以学生探究为主，所有的探究结果以及推理论证的过程都是学生自己完成的，但是课后笔者观看课堂实录时，还是发现教师的引导过多了，有些地方过于担心学生无法完成，或者学生的表述不够准确，当然这与上课的时间限制有一定的关系.本节课既然作为探究课，就应该让学生的主体作用充分发挥出来.教师用更精炼的语言进行适当的引导，让学生畅所欲言，将课堂还给学生.

3.引发思考，开拓创新

在数学核心素养被提出来之后，很多教师都有过这样的困惑，如何在平时的教学中培养学生的数学核心素养呢？观望我们目前的教学模式，大多数还是以教师的教为主，学生被动地接受知识.为了应试，有些教师也不注重知识的生成，只注重大量做题，所以学生对很多知识都是知其然，而不知其所以然，更不要谈数学思维了.

所以本节课的设计，就是试图改变这种情况，希望学生通过本节课的学习，能够学会探究学习的方法，在今后的学习过程中，会用已有的数学知识和技能方法去探究新的知识.当然，这种情况也不是一、两节课能够改变的，本节课也还存在着很多问题.但笔者认为，只要教师愿意去学习、去思考、去改变、去进步，我们的教学就一定能发生相应的变化，学生才能最终获得数学核心素养的培养，发挥数学教学的作用.

参考文献：

［1］陈德前.满足“SSA”的两个三角形全等吗？［J］.中学生数理化，2014（7/8）：40-42.

［2］陶家友.“错误”岂能“错过”，“跌宕起伏”成就精彩［J］.中学数学（初中版），2012（6）：73-74.

［3］徐成祥.追根溯源找错因 实验探究出真知：以“满足‘边边角’的两个三角形何时全等”数学活动为例［J］.中学数学参考（中旬），2015（5）：14-16.