“勾股定理”教学设计

白丽娜

（天津市耀华中学）

一、内容和内容解析

1.内容

勾股定理的探究、证明及简单应用.

2.内容解析

本节课的内容是人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下统称“教材”）第十七章“勾股定理”的第1课时.勾股定理是在学习了三角形和等腰三角形的性质后，进行的对直角三角形三边之间数量关系的研究.勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.勾股定理是中学数学中重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征（三角形中有一个角是直角）转化成数量关系：三边之间满足等式a2+b2=c2.它搭建了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理体现了数形结合的思想方法，具有科学创新的重大意义.勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了三角学、解析几何学、微积分学的建立，使数学中的几何学和代数学两大门类结合起来，拓宽了数学进一步发展的道路.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，而且被认为是数学中最重要的定理之一.勾股定理为后续三角函数的学习及一些图形中的计算打下了必要的基础.

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，由具体的关系归纳出抽象的猜想，学生亲手实践赵爽的面积证法，证明猜想、发现定理，并以此引导学生探索、发现、证明定理的思路.通过对勾股定理的发现和探究，培养了学生学习数学的热情和自信心.

我国对勾股定理的研究与其他国家相比是比较早的，这一点在国际上得到了肯定.通过对勾股定理历史和我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养了学生的民族自豪感，使其品味了数学文化.学生欣赏勾股树的神奇，感受数学美，激发了学生的学习兴趣和热情.

在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长.勾股定理常用来求解线段长度或距离问题，这是勾股定理最基本的应用.

基于以上分析，确定本节课的教学重点为探索并证明勾股定理.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）经历勾股定理的探究、证明过程.了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养学生的民族自豪感.

（2）能用勾股定理解决一些简单问题.

2.目标解析

目标1：要求学生通过观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论.理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过面积不变的关系和对图形面积的不同算法证明勾股定理.了解与勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就.

目标2：学生能运用勾股定理进行简单的计算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度.

三、教学问题诊断分析

勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论.在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系.

但是要从等腰直角三角形过渡到网格中的直角三角形，提出合理的猜想，对学生来说困难较大.因此，在教学中先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考正方形的面积和直角三角形边长的关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，归纳出结论.学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，小组合作在此发挥了很大的优势，学生之间的互助、交流，有利于学生自然、合理地发现和证明勾股定理.

由此确定本节课的教学难点是勾股定理的探究和证明.

四、教学支持条件分析

借助几何画板软件，动态地演示从网格中的等腰直角三角形，到网格中直角三角形的变化过程，启发学生用割补法求正方形的面积.在学生拼图后，再现赵爽弦图的剪拼过程，形象、直观.利用软件的迭代功能，制作出漂亮的勾股树，带领学生品味数学之美.

五、教学过程设计

1.温故导入，提出问题

我们已经学习过了三角形的相关知识，从角的关系看，三角形的内角和为180°；从边的关系看，三角形的两边之和大于第三边.

若三角形中两边相等，就得到了等腰三角形.等腰三角形有两底角相等和“三线合一”的性质.

若三角形中有一个直角，也就是一边垂直于另一边，那么就得到了直角三角形.直角三角形中有两个锐角和为90°的数量关系，三条边之间是否也存在特殊的等量关系呢？

【设计意图】将本节课研究的直角三角形置于三角形的背景中.等腰三角形是三角形边的大小关系特殊化，直角三角形是三角形边的位置关系特殊化.梳理三角形和等腰三角形、直角三角形之间的关系，明确共性和特殊性，提出直角三角形的边是要研究的对象.教材的知识结构是“三角形—等腰三角形—直角三角形”，体现了从整体到局部，从一般到特殊，从课程的整体结构上、知识的内在逻辑上提出问题，引导学生面对一个几何对象，从构成的主要元素和相关元素进行探索，体验研究几何图形的基本思路.

2.观察思考，探究定理

看似平淡无奇的现象却隐含着深刻的数学道理.相传2 500多年前，毕达哥拉斯（如图1）有一次在朋友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边间的某种数量关系（如图2、图3）.

图1

图2

图3

问题1：图3中正方形A，B，C的面积有什么关系？

师生活动：学生独立观察图形，分析、思考其中隐含的规律.通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积，每个正方形的面积都是中间围成的直角三角形一边的平方.

教师将地砖图案顺时针旋转，隐去倾斜线段，可发现这个图案就存在于正方形网格中（如图4），正方形A，B的面积都是1，正方形C的面积是2.

图4

追问1：如图5，如果正方形A，B的边长变为2，三个正方形A，B，C的面积是否也有类似的关系？

图5

师生活动：学生对网格中的图形进行观察、分析、思考，得到正方形A，B的面积都是4，正方形C的面积是8，正方形A，B的面积之和等于正方形C的面积.

追问2：由正方形A，B，C的边构成的等腰直角三角形的三条边长之间有怎样的特殊关系？

师生活动：教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.这是从图形面积的关系得到等腰直角三角形三边的数量关系，让学生体会从形到数的过程.

【设计意图】从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰三角形边长的一般化）.

问题2：如图6，以网格中直角三角形的三边为边长的三个正方形A，B，C之间是否也有类似的面积关系？

图6

师生活动：分别求出正方形A，B，C的面积，并寻求它们之间的关系.

追问1：正方形A，B，C所围成的直角三角形的三条边之间有怎样的关系？

师生活动：学生独立思考后小组讨论，投影学生的求解过程，由学生讲解.

难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积.教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

【设计意图】网格中的直角三角形也是直角三角形的一种特殊情况，为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割补法.

追问2：结合前面探究活动所得的结果，猜一猜，直角三角形三边之间应该存在什么关系？

师生活动：教师引导学生提出猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

【设计意图】在网格背景下通过观察和分析，得出直角三角形的三边关系，为形成猜想提供了典型特例，通过归纳，猜想变得水到渠成.

3.动手实践，证明定理

问题3：以上直角三角形的边长都是具体的数值，一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，刚刚提出的猜想仍然成立吗？

追问1：如图7、图8，赵爽曾用拼图的方式证明了勾股定理，把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2；经过裁剪，拼成了一个以c为边长的正方形.因此，a2+b2=c2.你能实现这个剪拼过程吗？

图7

图8

师生活动：学生观察、小组合作、商讨剪拼方法，教师引导学生理解由于图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形各部分的面积之和不变，因此可用切割剪拼的方式来验证勾股定理.

这个图案是三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.

赵爽利用弦图证明的思路是：如图9（1），把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2，把这个图形切割成四个全等的直角三角形和一个正方形后，把左右两个三角形移到如图9（2）所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（如图9（3））.因为这两个图形都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等.因此，a2+b2=c2.

图9

教师板书勾股定理内容.

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则a2+b2=c2.

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.

早在公元前1100年，《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话，证明当时的人们就已经知道了“勾三、股四、弦五”的关系，这个定理又叫商高定理.

追问2：赵爽弦图是用四个全等的直角三角形拼出一个大正方形，各小组能否再用四个全等的直角三角形拼出一个外轮廓为正方形的图案？这个图案能否证明勾股定理？

证明：如图10，

图10

师生活动：小组合作探究，拼出如图10所示的图形，教师引导学生利用面积推导勾股定理.这是弦图的另一种证法——面积恒等法.

图11

追问3：利用手中的若干图形，能否再拼出等大的正方形？结合图11，能证明勾股定理吗？

师生活动：小组合作拼图研究，证明勾股定理.这就是传说中毕达哥拉斯的证法.

【设计意图】通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合的思想.

课上学生亲手实践的三种证法都是面积证法.依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法得到等量关系.

通过对赵爽弦图的介绍，使学生了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自豪感.

4.初步应用，解决问题

练习1：在Rt△ABC中，∠C=90°.

①已知a=1，b=2，求c；

②已知b=2，c=4，求a.

练习2：在 Rt△ABC中，∠B=90°，已知a=2，b=5，求c.

练习3：在Rt△ABC中，两条边的长度分别是3和4，求另一边.

需要注意的是，练习3的解有两种情况，若两条直角边的长度分别是3和4，则斜边为;若斜边是4，一条直角边是3，则另一条直角边为 42-32= 7.

【设计意图】学生应该掌握在直角三角形中，已知任意两边长，求出第三边长的方法.要注意确定所求线段是直角三角形中的直角边还是斜边，如果没有明确，要进行分类讨论.

练习4：如图12，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的面积分别是3，4，1，3，求最大正方形E的面积.

图12

最大正方形的面积等于四个小正方形A，B，C，D的面积之和，这个图案如果继续下去会有怎样神奇的变化呢？

学生观察如图13、图14所示的勾股树运动变化的过程，感受数学美.由于排列方式不同形成了两种形状的勾股树，课后每个学习小组可试着去做一棵.

图13

图14

【设计意图】此题让学生进一步体会以直角三角形三边为边长的正方形的面积关系.通过几何画板软件演示多层分层结构，体验形状虽变但面积不变，感受数学美.为学生设计了观赏勾股树，让学生在数学的美妙与神奇中充分享受，进一步激发了学生的学习兴趣和热情.

5.感受文化，归纳小结

回顾过去，远在公元前约3000年，古巴比伦人就知道并开始应用勾股数组，如3，4，5.

公元前约2500年，古埃及人在建筑金字塔和测量土地时，也应用过勾股定理.

公元前约2000年，大禹在治水的实践中总结出了勾股数，用来确定水位差.他是世界上有史料记载的第一位与勾股定理有关的人.

公元前约1100年，周朝数学家商高提出了“勾三、股四、弦五”，记载在《周髀算经》中.

公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯公开发表了这一规律的证明.

公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出了一个勾股定理的证明.

公元前约250年，赵爽对《周髀算经》内的勾股定理做出了详细的注释和证明.

公元2世纪的东汉时期，我国古代数学家刘徽利用出入相补的方法验证了勾股定理.

之后丰富的证法组合成勾股定理的历史长河.

2002年在北京召开的国际数学家大会，就以赵爽弦图作为大会会徽的图案.

【设计意图】在探索和证明勾股定理后，教师展开勾股定理的历史画卷，让学生了解人类对勾股定理认识和发展的历史，使学生在体会数学发现与再创造的乐趣的同时，感受数学文化，体现了数学文化的育人价值.

着眼现在，教师和学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并让学生回答：在探索勾股定理的过程中，你有什么感悟和收获.

师生活动：学生谈感悟和收获，教师总结：勾股定理体现了我国古人的聪明才智，勾股定理中蕴涵着数形结合思想，勾股定理中有丰富的数学美.

【设计意图】让学生从自己的体会、感悟、收获等不同的角度谈本节课学习的主要内容，在学习的过程中感受到中国数学文化和数学美，感悟到数形结合思想，引发学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的提高.

放眼未来，华罗庚曾设想向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果外星人是“文明人”，也必定认识这种图形.

将图15中的正方形换成以直角三角形各边为直径的半圆（如图16），则半圆A，B，C的面积关系为 .

图15

图16

根据勾股定理a2+b2=c2，圆的面积公式S=πR2，得到半圆A，B，C的面积关系为SA+SB=SC.

进而，从直角三角形的各边向外作正方形能否推广到从各边向外作等边三角形、正五边形、正六边形等正n边形（如图17、图18、图19）？课后大家可以继续探索.

图17

图18

图19

【设计意图】由勾股定理a2+b2=c2的式子结构，联想到正方形面积的几何图形，将正方形换为圆形、半圆形、等腰直角三角形，以及等边三角形，其面积的关系仍成立.学生经历数和形的互换，感受勾股定理的价值.

6.布置作业

（1）整理课堂上所提到的勾股定理的证明方法.

（2）教材第28页第1，2，3题.

（3）通过上网等方式查找勾股定理的有关史料、趣事及其他证明方法.

六、目标检测设计

1.求出图20、图21中两个直角三角形未知边的长度.

图20

图21

【设计意图】在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想.

图22

2.如图22，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，若 AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为多少？

【设计意图】考查勾股定理的面积表达和数形结合思想.

3.若一个直角三角形的三边长为6，8，x，则x的值为______.

【设计意图】考查学生运用勾股定理的能力，以及分类讨论思想.

4.如图23、图24，学校被三条路围成一个三角形，实际测量出三边分别为AB=320 m，AC=340 m，BC=440 m，能否计算学校的占地面积？

图23

图24

【设计意图】考查学生利用勾股定理和方程思想解决实际问题的能力.

七、教学反思

本节课是在学习了三角形和等腰三角形的性质后，对直角三角形三边之间数量关系的研究.因此，笔者采用温故导入的方式，将本节课研究的直角三角形置于三角形的背景中.等腰三角形是三角形边的大小关系的特殊化，直角三角形是三角形边的位置关系特殊化.梳理三角形和等腰三角形、直角三角形之间的关系，明确共性和特殊性，提出直角三角形的边是要研究的对象.体现了从整体到局部，从一般到特殊，从课程的整体结构上、知识的内在逻辑上提出问题，引导学生面对一个几何对象，从构成的主要元素和相关元素进行探索，体验研究几何图形的基本思路.

这节课的重点和难点都是勾股定理的探究和证明.问题引导下的主动探究、合作交流在此发挥了很大的优势，学生之间的互助、交流有利于学生自然、合理地发现和证明勾股定理.首先学生独立观察地砖图案，分析并思考其中隐含的规律.通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积，每个正方形的面积都是中间围成的直角三角形一边的平方.

教学中巧妙的将地砖图案旋转，建立地砖图案与正方形网格之间的联系，再次发现如果正方形A，B的边长变为2，三个正方形A，B，C之间也有类似的面积关系.进而追问：由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形的三条边长之间有怎样的特殊关系？

而后探究在网格中以直角三角形的三边为边长的三个正方形A，B，C之间是否也有类似的面积关系.学生独立思考后小组讨论，由学生讲解割、补两种求面积的方法.在网格背景下通过观察和分析，得出了直角三角形的三边关系，为形成猜想提供了典型特例，通过归纳，猜想变得水到渠成.

在得到猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方之后，提出问题：一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，刚刚提出的猜想仍然成立吗？笔者给出赵爽拼图的前后图案，鼓励学生小组合作实现剪拼过程，充分发挥学生的主动性和积极性，发展了学生的形象思维，使学生获得了成功的体验.

学生自己动手验证了猜想，得到了定理，增强了数学学习的自信心.而后学生继续小组合作，通过拼图再次证明定理.学生全情投入，积极拼图，很好地突破了难点，并且对定理的理解更加深刻，体会了数形结合的思想.

课堂中安排了4道练习题，以了解并检验学生对勾股定理的应用情况.学生独立作答后口述解题过程，既锻炼了思维，又锻炼了数学表达能力.笔者结合练习题第4题设计了勾股树，让学生感受形状虽变但面积不变，充分享受数学的美妙与神奇，更进一步激发了学生的学习兴趣和热情.

在探索和证明勾股定理后，师生共同品味勾股定理的发展史，体会数学文化的育人价值.笔者在小结过程中让学生从自己的体会、感悟、收获等不同的角度谈本节课学习的主要内容，在学习的过程中感受到中国数学文化和数学美，感悟到数形结合的数学思想，引发了学生更深层次的思考，促进了学生数学思维品质的提高.

在下一课时的教学设计中，还可以利用几何画板软件增加对一般直角三角形三边关系的研究，并让学生交流与勾股定理有关的史料、趣事及其他证明方法.

参考文献：

［1］李文林.数学史概论［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［2］章建跃.理解数学内容本质 提升思维教学水平［J］.中学数学教学参考（中旬），2015（6）：45-48.

［3］吴增生.勾股定理教学实验研究［J］.数学教育学报，2017（1）：50-54.

［4］李爽，王光明.认知负荷理论视角下的勾股定理教学课件设计［J］. 数学通报，2017（1）：9-13.

［5］李渺，钟志华.利用现代信息技术实现数学教学的3个转化：以“勾股定理”课为例［J］.数学通报，2016（2）：57-60.