巧用函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像解题

■龚 兵

函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的周期性、单调性、最值点、对称性等都在对应的函数图像上有很直观的体现,借助其图像可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,同时也能帮助同学们找到解决问题的思路与方法。

解:画出满足题意的一个简图(如图1)。

图1

若利用代数法求解,则过程相当烦琐,且需要一定的技巧。而利用三角函数的图像求解,则可以快速高效地解决问题。

解:画出满足题意的一个简图(如图2)。

图2

函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的最值点是函数图像的关键点,它不仅在“五点法”画图时有重要作用,而且在研究函数的性质时也经常用到。

若函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像关于直线x=xi对称,则ωx+φ=kπ+,k∈Z。若函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的 图 像 关 于 点xj,0( )对称,则ωxj+φ=kπ,k∈Z。