滑动轴承—行星齿轮耦合系统非线性动力学特性研究

李同杰，靳广虎，鲍和云，朱如鹏

（1.南京航空航天大学 机电学院，南京 210016；2.安徽科技学院 机械工程学院，安徽 滁州 233100）

0 引 言

行星齿轮传动具有承载能力强、功重比大、体积小等优点，被广泛应用到船舶、汽车、航空、起重机械等领域。由于其动特性的优劣直接影响着机器运行品质的高低，所以行星齿轮传动系统动力学特性的研究吸引了大批专家学者的关注目光[1-6]。在有大功率传递需要的场合（比如船舶、航空）行星齿轮传动系统经常采用滑动轴承支撑，所以将滑动轴承与行星齿轮传动集于一个系统内，开展滑动轴承—行星齿轮耦合系统的动力学特性研究就具有重要的工程价值。

国内外学者早已证实了滑动轴承对其转子的支撑力呈现出强非线性特质，并获得了其非线性解析表达式[7-9]。另外，行星齿轮传动中齿侧间隙的存在也会产生分段非线性[2]。所以滑动轴承-行星齿轮耦合系统动力学模型的本质是一个非光滑强非线性系统。目前，关于行星齿轮系统动力学的研究通常是把各构件的支撑轴承假定为一个定常弹簧，把轴承对各构件的支撑力假设为一个随其位移线性变化的一次函数来处理[10-13]，虑及滑动轴承非线性力作用的行星轮系动特性的研究尚非常少见。周志刚[14]研究了非线性滚动轴承力作用下的风力发电机行星齿轮传动系统在变载荷作用下所表现出来的动特性。卜忠红[15]在考虑了滑动轴承的刚度不对称性的基础上，研究了行星轮在滑动轴承支撑下的人字齿轮行星传动的固有特性，但其轴承力依然采用的是线性模型。

本文将在充分考虑滑动轴承非线性油膜力以及齿侧间隙等固有非线性因素的基础上，建立滑动轴承—行星齿轮传动系统的动力学模型，并对其耦合非线性动力学特性进行初步研究。

1 滑动轴承—行星齿轮耦合动力学模型

图1是滑动轴承支撑下2K-H型行星齿轮传动的运动简图。其中太阳轮、行星架均被滑动轴承支撑，TD是功率输入端扭矩，TL是功率输出端扭矩，字母z表示齿数，其角标s、pi、r分别指代太阳轮、第i个行星轮以及内齿圈（下文角标指示规则亦同）。

图1 行星齿轮系统传动简图Fig.1 Kinematic sketch of planetary gear train

图2 滑动轴承非线性油膜力模型Fig.2 Nonlinear oil film force of slide bearing

1.1 滑动轴承非线性油膜力

图2是滑动轴承作用在转子上的非线性油膜力模型。半径为r的转子中心在O1点，半径为R的轴承中心在O点。由于润滑油的粘性，转子以角速度ω转动时必然会带动润滑油进入到转子与轴承间的楔形空间，从而形成一定的油膜压力F（其水平和竖直分力分别以Fx和Fy来表示）支撑起转子来达到一种动态平衡。国内外专家学者的研究发现，作用在转子上的油膜力除了与轴承长度L、轴承半径间隙C、润滑油粘度μ、轴承半径R等系统参数有关外，还与转子径向位移以及速度成复杂的非线性关系[7-9]，其量纲归一化后的非线性表达式 fx和 fy表述如（1）、（2）式所示。

上式中，x、y表示转子在水平以及竖直方向上的径向位移，x˙及y˙分别表示转子径向速度在x、y方向上投影，M为转子的轴端集中质量。

1.2 滑动轴承—行星齿轮耦合系统的非线性动力学模型

图3是滑动轴承-行星齿轮耦合系统的非线性动力学模型。模型中的行星齿轮传动部分采用经典的弯扭耦合振动模型[3]，在此简单介绍如下：分别建立一个固定于基础之上的定参考系x-O-y和一个固定于行星架上的动参考系H-O-V。内齿圈固定于基础之上，无任何转动与径向位移；太阳轮受滑动轴承支撑，考虑其中心横向位移（动参考系下表达为Hs，Vs）以及一个转动角位移θs；行星架也受滑动轴承支撑，考虑其中心横向位移（动参考系下表达为Hc，Vc）以及一个转动角位移θc；行星轮均假设为刚性支撑，只考虑每个行星轮的转动角位移θpi。这样系统在动参考系下的自由度就包括行星架（Hc,Vc,θc），太阳轮（Hs,Vs,θs），行星轮 θpi（i=1,2,…， N），系统共有（6+N）个自由度，其广义坐标X可表示为

图3 滑动轴承—行星齿轮耦合系统的非线性动力学模型Fig.3 Nonlinear dynamical model of slide bearingplanetary gear train system

图3中，Fsx、Fsy分别表示太阳轮滑动轴承油膜力在定参考系下的水平与铅直方向投影；Fcx、Fcy分别表示行星架转子的滑动轴承油膜力在定参考系下的水平与铅直方向投影；kspi表示太阳轮和第i路行星轮之间的啮合刚度；krpi表示行星轮和和第i路行星轮之间的啮合刚度。上述啮合刚度大致随时间呈矩形波变化；bs为太阳轮和行星轮之间的半齿侧间隙；br为行星轮和内齿圈之间的半齿侧间隙。ωj（j=s,c,pi）表示相应活动构件的角速度；rbs、rbp分别为太阳轮、行星轮的基圆半径；rc为行星架半径。

注意到非线性油膜力表达式（1）、（2）是在定参考系x-O-y下建立的，所以应把太阳轮以及行星架在动坐标系H-O-V下的径向位移与速度转化定坐标系x-O-y下的对应量。以xs、ys、xc和yc分别表示太阳轮以及行星轮在定参考系的径向位移，x˙s、y˙s、x˙c和y˙c分别表示太阳轮以及行星轮在定参考系的径向位移，代入（1）、（2）式就能够获得各滑动轴承的非线性油膜力表达式，具体为

式中：σs、σc分别为太阳轮、行星架滑动轴承参数所决定的Sommerfeld系数。

系统各内、外齿轮副动态啮合力Pspi、Prpi表达式分别为相应内外啮合副啮合点相对位移Yspi、Yrpi的函数

式中：按矩形波时变的啮合刚度kspi（t ）、krpi（t）可以展开成为以啮合频率为基频的傅里叶级数，反映齿侧间隙所带来的分段非线性的间隙非线性函数f表达式为

式中：Y为系统某一路齿轮副的啮合点相对位移，可取Yspi或Yrpi；b为该路齿轮副的半齿侧间隙，根据齿轮副的内外而取br或bs。

1.3 系统的运动微分方程

由刚体平面运动微分方程以及刚体定轴转动微分方程，容易写出图3所示滑动轴承—行星齿轮非线性耦合系统的运动微分方程如下式所示：

式中：Ms和Mc分别为太阳轮以及行星架质量；ms、mc和mp分别为太阳轮、行星架和行星轮的当量质量；α为齿轮压力角；rbc为行星架当量基圆半径；φi为第i个行星轮相当于第一个行星轮的位置角。本节中所涉及参数的具体表达式在文献[2]、[3]中已有详细说明，在此不再赘述。

2 滑动轴承—行星齿轮耦合非线性系统动特性的数值仿真

采用直接数值积分的方法求解方程（8），可以仿真获得滑动轴承—行星齿轮耦合系统的动特性。仿真案例参数如下：模数 m=2.5，齿数 zs=20，zpi=40，zr=110，齿轮压力角 α=20°，质量 Ms=0.386 kg，Mc=1.824 kg，当量质量 ms=0.246 kg、mc=1.153 kg、mpi=0.690 kg，行星轮个数 N=3，太阳轮轴（轴承）直径 ds=35 mm，行星架轴（轴承）直径dr=52 mm，齿侧间隙bs=20 um，br=20 um，根据减速器滑动轴承参数的工程取值范围[16]，轴承相对间隙取ψ=[0.2‰～1.5‰]，轴承宽径比L/d=1。

2.1 非线性滑动轴承力对行星齿轮动系动特性的影响

取轴承相对间隙ψ=1‰，太阳轮转速ωs=200 rad/s，研究非线性滑动轴承力对行星齿轮系动特性的影响规律。为了便于对比参照，本文首先仿真了线性弹簧支撑假设下的行星齿轮传动系统的太阳轮轴心轨迹、太阳轮轴承支撑力、以及各外啮合副的动态啮合力，分别如图4～6所示。由于行星架的轴心轨迹图与太阳轮轴心轨迹图形态类似，内啮合副的动态啮合力与外啮合副变化规律类似，本文不再另外给出系统行星架的轴心轨迹图以及各内啮合副的动态啮合力曲线。

图4 线性弹簧支撑下的太阳轮轴心轨迹Fig.4 Axis trace of sun gear supported by linear spring

图5 线性弹簧支撑下的太阳轮轴承力Fig.5 Bearing force of the sun gear

图6 线性弹簧支撑下的外啮合副动态啮合力Fig.6 External gear pair dynamic load of the system supported by linear spring

图4（横纵坐标中的量纲—位移为位移与轴承间隙的比值，下同）所显示的太阳轮轴心轨迹是一条转折点众多的扭曲封闭曲线，轨迹中大量的弯折点反映了各齿轮副矩形波时变啮合刚度所导致的啮频激振力对轨迹的影响，整体封闭的曲线则说明系统的运动处于周期状态；图5（横坐标当量时间为时间与行星轮系固有频率的乘积，下同）显示系统轴承力波动出现了线性振动系统所特有的 “拍振现象”，反映出了线性弹簧支撑假设的影响；图6显示系统各路外啮合副的动态啮合力随时间的变化规律均呈现出某种长周期运动状态，变化非常规则。

图7～9分别是滑动轴承非线性油膜力作用下行星齿轮传动系统的太阳轮轴心轨迹、太阳轮轴承支撑力、以及各外啮合副的动态啮合力。可以看到，图7中的太阳轮轴心轨迹变得杂乱无章，但是明显比图4中的轨迹要光滑许多，仅在局部出现了轻微的折线波动，显示了滑动轴承油膜对系统啮频激振响应的镇静作用。图8所示的轴承力时域曲线中“拍振现象”已经消失，取而代之的是毫无运动规律可言的混沌运动。图9所示动态啮合力的变化规律进一步复杂化，已经没有了图6所示的长周期运动的特征，显示了轴承非线性油膜力对齿轮副动态啮合力的影响。

图7 非线性油膜力作用下的轴心轨迹Fig.7 Axis trace of sun gear supported by nonlinear oil film force

图8 太阳轮轴承非线性油膜力振荡曲线Fig.8 The oscillation curve of slide bearing nonlinear oil film force

图9 非线性油膜力作用下的系统外啮合副动态啮合力Fig.9 External gear pair dynamic load of the system supported by nonlincear oil film force

总结上述仿真结果，可以获得如下结论：滑动轴承的非线性油膜力对行星齿轮传动系统的动特性影响非常显著并且复杂。一方面滑动轴承的油膜会使行星轮系对各活动构件的啮频振荡起到镇定作用，另一方面却可能导致系统轴承力波动呈现混沌状态，使各齿轮副动态啮合力的波动失去周期规律。所以，把滑动轴承以及行星齿轮传动集于一个系统内，研究二者之间的耦合动力学特性就显得非常必要了。

2.2 转速对耦合系统动特性的影响

为了探究转速对滑动轴承—行星齿轮耦合系统动特性的影响规律，在保持其他系统参数不变的条件下，将太阳轮轴转速增大为ωs=500 rad/s，计算太阳轮轴承非线性油膜力振荡曲线以及太阳轮轴心轨迹分别如图10、图11所示。

图10 ωs=500 rad/s时轴承油膜力振荡曲线Fig.10 Nonlinear oil film force when ωs=500 rad/s

图11 ωs=500 rad/s时太阳轮轴心轨迹Fig.11 Axis trace of sun gear when ωs=500 rad/s

将太阳轮轴转速进一步增大为ωs=1 000 rad/s，再次计算太阳轮轴承非线性油膜力时域曲线以及太阳轮轴心轨迹分别如图12、图13所示。

图12 ωs=1 000 rad/s时轴承油膜力振荡曲线Fig.12 Nonlinear oil film force when ωs=1 000 rad/s

图13 ωs=1 000 rad/s时太阳轮轴心轨迹Fig.13 Axis trace of sun gear when ωs=1 000 rad/s

图10显示，当转速增大到ωs=500 rad/s时系统太阳轮轴承力由低速时（ωs=200 rad/s）的混沌运动（图8）进入到了某种周期运动，进一步增大转速到ωs=1 000 rad/s，系统轴承力的振动再次进入到非周期运动状态（图12）。说明太阳轮转速会对系统轴承力的振动规律产生本质影响，转速的变化能够导致轴承力运动形态在周期运动和混沌之间分岔。

图11显示，当转速增大到ωs=500 rad/s时太阳轮轴心浮动轨迹中的折线波动现象得到弱化（对比转速为ωs=200 rad/s时的轨迹图7），进一步增大转速到ωs=1 000 rad/s，太阳轮轴心轨迹中的折线波动现象完全消失，轨迹变得完全光滑（图13所示）。说明随着转速的上升，非线性轴承油膜力在影响系统运动的激振力中逐渐占据了主导地位，而啮频激振力对系统的影响逐渐弱化直至消失。

2.3 轴承间隙对行星轮系各齿轮副啮合特性的影响

作为减速器用的滑动轴承相对间隙ψ=C/R的取值范围通常在0.2‰～1.5‰之间[16]，而本文仿真案例中的太阳轮轴半径为17.5 mm，那么其滑动轴承间隙工程可取范围为0.35×10-5m～2.6×10-5m之间。为了研究滑动轴承间隙对行星齿轮传动系统齿轮副啮合特性的影响规律，以下固定其他系统参数不变，在太阳轮轴承间隙的可取范围0.35×10-5m～2.6×10-5m内取三个不同间隙值C=0.5×10-5m、C=1×10-5m、C=2×10-5m，仿真系统的各外啮合副动载荷时变曲线分别如图14～16所示。

图14显示在C=0.5×10-5的轴承间隙下，系统各外啮合副均处于正常啮合状态，且各路动载荷呈现出明显的周期规律性；图15显示当间隙增大到C=1×10-5m时，系统外啮合已经出现了单边冲击现象，即有些齿轮副出现了正常啮合到空啮合（某些齿轮副啮合力出现短暂零值）的循环冲击状态；图16显示当间隙增大到C=2×10-5时，系统外啮合副再次进入到正常啮合状态，但与图14所示的正常啮合状态相比，动载荷的振动幅值有了明显降低，且波动形态也有了显著变化。

图14 C=0.5×10-5时耦合系统的外啮合副动载荷Fig.14 External gear pair dynamic load of the system when C=0.5×10-5

图15 C=1×10-5m时耦合系统外啮合副动载荷Fig.15 External gear pair dynamic load of the system when C=1×10-5m

图16 C=2×10-5时耦合系统外啮合副动载荷Fig.16 External gear pair dynamic load of the system when C=2×10-5m

总结上述仿真结果可以确定，滑动轴承间隙值非常显著地影响着行星齿轮传动系统各齿轮副的啮合特性，间隙的的取值不当可能导致单边冲击状态的出现，严重影响着行星齿轮传动系统的运行品质。从仿真结果来看，系统齿轮副的啮合状态（正常与否）随轴承间隙的变化并非是一种单调的线性规律。在工程可取的间隙区间内经过大量的采样取值，重复进行数值仿真试验可以获得滑动轴承-行星齿轮耦合非线性系统的齿轮副啮合状态随轴承间隙值的具体变化规律，如图17所示。

图17中，横坐标表示太阳轮滑动轴承间隙值，纵坐标表示相应轴承间隙下系统所有各路外齿轮副中动载荷波动的最小值。这样，纵坐标取正值则说明齿轮副正常啮合，取零值则反映某些齿轮副的啮合状态出现了单边冲击现象。图17的变化趋势说明，在工程可取的轴承间隙范围内，存在两个导致行星齿轮传动系齿轮副发生单边冲击现象的轴承间隙小区间，分别介于7.05×10-6m～8.24×10-6m 以及 1.29×10-5m～1.42×10-5m 之间。所以，轴承间隙值对系统齿轮副啮合状态的影响是一个非常复杂的非线性规律，机械工程师需要谨慎选择其取值，以避免单边冲击现象的出现。

图17 系统啮合状态随滑动轴承间隙值的变化曲线Fig.17 The oscillation curve of meshing state with slide bearing clearance

3 结 论

（1）本文建立了滑动轴承-行星齿轮耦合系统的非线性动力学模型，模型中充分考虑了滑动轴承的非线性油膜力以及行星齿轮齿侧间隙等非线性因素。

（2）滑动轴承的非线性油膜力对行星齿轮传动系统的动特性影响非常显著并且复杂。一方面滑动轴承的油膜会对行星齿轮系中各活动构件的啮频振动起到镇定作用，另一方面也可能导致系统轴承力波动呈现混沌状态，使各齿轮副动态啮合力的振动失去周期规律。

（3）行星轮系输入轴转速对系统轴承力的振动规律会产生本质影响，转速的变化能够导致轴承力振动形态在周期运动和混沌之间分岔。

（4）滑动轴承间隙值非常显著地影响着行星齿轮传动系统齿轮副的啮合特性，并且影响规律是一个非常复杂的非线性映射关系，间隙取值不当可能导致单边冲击现象的出现。

参 考 文 献：

[1]李瑰贤,赵永强,常 山,等.船用两级双排斜齿行星齿轮系统动力学方程的建立[J].船舶力学,2011,15(5)：530-537.Li G X,Zhao Y Q,Chang S,et al.Study on dynamic governing equations of two stage double helical tooth planetary gear train used in ship[J].Journal of Ship Mechanics,2011,15(5)：530-537.(in Chinese)

[2]李同杰,朱如鹏,鲍和云,等.行星齿轮系扭转非线性振动建模与运动分岔特性研究[J].机械工程学报,2011,47(21)：76-83.Li T J,Zhu R P,Bao H Y.Nonlinear torsional vibration modeling and bifurcation characteristic study of a planetary gear train[J].Journal of Mechanical Engineering,2011,47(21)：76-83.(in Chinese)

[3]Sun T,Hu H Y.Nonlinear dynamics of a planetary gear system with multiple clearances[J].Mechanism and Machine Theory,2003,38：1371-1390.

[4]Ambarisha V K,Parker R G.Nonlinear dynamics of planetary gears using analytical and finite element models[J].Journal of Sound and Vibration,2007,302：577-595.

[5]Chen Z G,Shao Y M.Dynamic simulation of planetary gear with tooth root crack in ring gear[J].Engineering Failure Analysis,2013,31：8-18.

[6]Guo Y,Parker R G.Dynamic analysis of planetary gears with bearing clearance[J].Journal of Computational and Nonlinear Dynamics,2012,7：041002-1-15.

[7]Adiletta G,Guido A R,Rossi C．Nonlinear dynamics of a rigid unbalanced rotor in journal bearings.part I：Theoretical analysis[J].Nonlinear Dynamics,1997,14(2)：57-87．

[8]Adiletta G,Guido A R,Rossi C.Nonlinear dynamics of a rigid unbalanced rotor in journal bearings.part II：Experimental analysis[J].Nonlinear Dynamics,1997,14(2)：157-189．

[9]Zhang W.Modeling of nonlinear oil-film force acting on a journal with unsteady motion and nonlinear instability analysis under the model[J].International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation,2000,1(3)：179.

[10]王世宇,宋轶民,沈兆光,等.行星传动系统的固有特性及模态跃迁研究[J].振动工程学报,2005,18(4)：412-417.Wang S Y,Song Y M,Shen Z G.Research on natural characteristics and loci veering of planetary gear transmissions[J].Journal of Vibration Engineering,2005,18(4)：412-417.(in Chinese)

[11]刘振皓,巫世晶,王晓笋,等.基于增量谐波平衡法的复合行星齿轮传动系统非线性动力学[J].振动与冲击,2012,31(3)：117-122.Liu Z H,Wu S J,Wang X S.Nonlinear dynamics of compound planetary gear sets based on incremental harmonic balance method[J].Journal of Vibration and Shock,2012,31(3)：117-122.(in Chinese)

[12]Singh A.Application of a system level model to study the planetary load sharing behavior[J].ASME,Journal of Mechanical Design,2005,127(12)：469-476.

[13]Ambarisha V K,Parker R G.Nonlinear dynamics of planetary gears using analytical and finite element models[J].Journal of Sound and Vibration,2007,302：577-595.

[14]周志刚,秦大同,杨 军,等.变载荷下风力发电机行星齿轮传动系统齿轮—轴承耦合动力学特性[J].重庆大学学报,2012,35(12)： 7-14.Zhou Z G,Qin D T,Yang J,et al.Gear-bearing coupling dynamics characteristics of wind turbine planetary gear transmission system under variable load[J].Journal of Chongqing University,2012,35(12)：7-14.(in Chinese)

[15]卜忠红,刘 更,吴立言.滑动轴承支承人字齿轮行星传动固有特性分析[J].机械工程学报,2011,47(1)：80-88.Bu Z H,Liu G,Wu L Y.Natural characteristics analysis on herringbone planetary gear trains with slide bearing support[J].Journal of Mechanical Engineering,2011,47(1)：80-88.(in Chinese)

[16]成大先.机械设计手册（第5版）[M].北京：化学工业出版社,2008.Cheng D X.Handbook of mechanical design(the fifth edition)[M].Beijing：Chemical Industry Publishing House,2008.(in Chinese)