基于数学核心素养的高中线性规划题型分析

罗丹丹 袁仕芳 蔡玮

摘 要：线性规划题型的教学涉及函数与几何等相关知识，还涉及不等式的应用，整个高中数学教学都可以结合数学核心素养进行。本论文通过分析全国高考数学试卷，从基础题型、应用题型、含有参数题型、综合题型四个角度，结合数学核心素养，对线性规划的解题与教学进行了具体尝试。

关键词：数学建模；核心素养；线性规划；高考数学

自2016年9月《中国学生发展核心素养》提出学生发展的核心素养以来，数学核心素养已经成为当前初等数学的研究热点。2016年9月《普通高中数学课程标准》（征求意见稿）中提出了高中数学教育中的数学抽象、逻辑思维、数学建模、数学运算、直观想象、数学分析六大数学核心素养。并且提出数学核心素养是数学课程目标的集中体现，必须在高中数学课程中得到体现。

线性规划的教学涉及到函数、不等式和几何等相关知识，整个教学环节都可以结合数学核心素养进行。我们下面利用全国2011年到2017年全国I卷高考数学试卷题目以及平常的练习题，从基础题型、应用题型、含有参数题型、综合题型四个方面结合数学核心素养进行分析。

一、 基础题型

基础题型是指利用题中给出的二元约束条件和目标函数，求目标函数的最值或者取值范圍。根据解题方法又可分为直线截距型、斜率型、距离型三类。基础题型主要运用数学运算等核心素养，可以分为作图、平移和求最值三个步骤完成。

作图是指根据约束条件作出可行域；平移是指将目标函数直线进行平移寻找最优解对应点；求最值是根据对应点进行联合求解，确定对应点坐标并代入目标函数求出结果。

下面以高考全国一卷2015年文科数学第15题为例进行求解分析：

若x，y满足约束条件x+y-2≤0

x-2y+1≤0

2x-y+2≥0，则z=3x+y的最大值为 .

解：由题目的约束条件作出可行域对应的平面区域如图。由目标函数z=3x+y，可得y=-3x+z。先画出直线y=-3x，然后平移直线y=-3x，由图象可知当直线y=-3x+z经过点A时，直线y=-3x+z的截距最大，此时z最大。由题意可得x+y-2=0

x-2y+1=0，解得x=1y=1，即A（1，1）。此时z的最大值为z=3×1+1=4，故答案为：4。

二、 应用题型

线性规划的应用题型主要是指以现实生活为背景提炼出来的线性规划题，主要培养学生的数学建模等核心素养。解决这类题往往需要通过审题，找出变量之间的关系，并且能抽象出实际问题的数学模型，确定好它们的线性约束条件，写出本问题的目标函数和约束条件。

应用题型最关键的一步就是对题目进行一定的分析剥离，将生活问题用数学语言表述成数学模型。这是学生解决这类题型的最大困难，也是培养他们的数学素养的关键点，需要教师在课堂教学中耐心指导和有意识地导入。

下面我们以2016年的第16题为例进行求解分析：

某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A和产品B的利润之和的最大值为 元。

解：设A、B两种产品分别需要甲、乙两种新型材料x件和y件，获利为z元。由题意确立的目标函数为z=2100x+900y，约束条件为

1.5x+0.5y≤150

x+0.3y≤90

5x+3y≤600

x∈N

y∈N，约束条件表示的可行域如图。由题意可得

x+0.3y=90

5x+3y=600，

解得x=60

y=100，即A（60，100），则当目标函数z=2100x+900y经过A时直线的截距最大，目标函数取得最大值为2100×60+900×100=21600元。故答案为：216000。

三、 含有参数题型

含有参数题型主要是指模型中的目标函数或者约束条件中含有参数。简单线性规划中的含有参数题型主要分为约束条件含参数、目标函数含参数、线性条件且目标函数含参数三种类型。这类题型主要考查学生的逻辑推理等核心素养以及思维的缜密性。

下面主要以2014年文科数学高考题目第11题为例进行求解分析：

设x，y满足约束条件x+y≥a

x-y≤-1，且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）

A. -5

B. 3

C. -5或3

D. 5或-3

解：由题约束条件可作出可行域如右图。解方程组

x-y=-1

x+y=a，解得x=a-12

y=a+12，所以A（a-12，a+12），当a=0时，A为（-12，12），z=x+ay的最小值为-12，不满足题意；当a<0时，由z=x+ay得y=-1ax+za，要使z最小，则直线y=-1ax+za在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；当a>0时，由z=x+ay得y=-1ax+za，由图可知，当直线过点A时直线y=-1ax+za在y轴上的截距最小，z最小。此时z=a-12+a+a22=7，解得：a=3或a=-5（舍去）。故选：B。

四、 综合题型

除了前面三种题型，还有一些其他综合性强、隐藏性高的题型，需要学生进行抽丝剥茧才能转化成线性规划题型，再进行解决。这类题是高中线性规划里的难度较大的题，主要考查学生的观察能力、发现问题的能力，以及考查学生的数学抽象和逻辑推理等核心素养。

下面以2012年文科数学第5题为例进行求解分析：

已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=-x+y的取值范围是（ ）

A. （1-3，2）

B. （0，2）

C. （3-1，2）

D. （0，1+3）

解：设C（a，b），a>0，b>0，则由题约束可画出可行域如图。由A（1，1）、B（1，3）及△ABC为正三角形可得AB=AC=BC=2，即

（a-1）2+（b-1）2=（a-1）2+（b-3）2=4，所以，b=2，a=1+3，即，C（1+3，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y-1=33（x-1），直线BC的方程y-3=（3-2）

（x-1）当直线x-y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3），z=2，经过点C（1+3，2）时z=1-3，所以，zmax=2，zmin=1-3，故选A。

在线性规划题型的教学中融入数学核心素养，主要还是以教师为主导，以学生为主体。提高教师这一方面的意识，在课前、课中、课后三个阶段同时注重对学生的数学核心素养培养。课堂的导入将现实问题与教材相结合、多开展一些活动课题等等都是培养学生数学核心素养的途径。

参考文献：

[1]章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考[J].课程·教材·教法，2016（07）：44-49.

[2]王秀云.浅谈高考中的线性规划题型变化[J].南昌教育学院学报，2012，27（6）：131-132.

[3]王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师，2016（9）.

[4]陈柳娟，林晴岚.基于数学核心素养的教师教育教学思考[J].教学与管理，2017（3）：109-111.

作者简介：罗丹丹，袁仕芳，蔡玮，广东省江门市，五邑大学数学与计算科学学院。