2017年中考“综合与实践”专题解题分析

（湖北省黄石市第十六中学；湖北省武汉市武汉第三寄宿中学）

一、考点分析

“综合与实践”类试题是结合实际情境，设计出解决具体问题的方案，并加以实施.在此过程中，尝试发现和提出问题，通过对有关问题的探讨，沟通所学知识（包括其他学科知识）之间的关联，建立模型、解决问题，发展学生的应用意识和能力.“综合与实践”类试题突出的特点体现在如下三个方面：一是与学生的生活现实或数学学习现实紧密联系；二是有一定的综合性和挑战性；三是有更多的知识内涵或更为丰富的方法性、思考策略的价值.文章从这些基本认识出发，就2017年全国各地中考试卷中的考点进行分析.

1.考查学生获取新知的学习能力

（1）掌握新定义.

例1（山东·潍坊卷）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3.函数y=[x]的图象如图1所示，则方程的解为（ ）.

图1

解析：根据新定义和函数图象进行如下讨论.

当1≤x＜2时，解得

当0≤x＜1时，解得x1=x2=0；

当-1≤x＜0时，方程无解；

当-2≤x＜-1时，方程无解.

所以此题选择选项A.

图2

此题是对一种新函数的综合考查，要求学生依据在以往学习函数知识的过程中所积累的研究和经验，理解函数的图象，并结合函数图象来求方程的解.此题通过举例，加深学生对新定义函数的理解，降低审题难度，但题干利用函数图象限定了x的取值范围，从而限定了方程解的数量，如此设计显示命题者重在对学生观察、理解、分析函数图象能力的考查.

（2）形成新概念.

例2（上海卷）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____．

解析：如图3，作正六边形ABCDEF，选取一点E，作出最长对角线BE和最短对角线CE.通过正六边形的有关性质，可以得到∠EBC=60°和∠ECB=90°.进而在Rt△BCE中利用锐角三角函数的知识，得到对角线CE与BE的比值为

图3

此题解题的关键是了解正六边形的有关性质.同时，能够将最长对角线与最短对角线集中于同一个三角形中，再利用解三角形的有关方法来处理线段比值的问题.此题主要考查正多边形相关性质及利用锐角三角函数求比值.

2.考查学生阅读理解能力

例3（广西·百色卷）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3的方法.

（1）二次项系数2=1×2.

（2）常数项-3=(-1)×3=1×(-3)，验算：“交叉相乘之和”如图4所示.

图4

（3）发现图4（3）中“交叉相乘之和”的结果1×(-3)+2×1=-1，等于一次项系数-1，即(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3=2x2-x-3，则2x2-x-3=(x+1)(2x-3).

像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式3x2+5x-12=_____．

解析：通过对用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3的方法的阅读和理解，得出在二次项系数不为1的条件下，用十字相乘法分解因式的基本步骤上，首相乘为首，尾相乘为尾，交叉相乘和为中.从而得出3x2+5x-12=(3x-4)(x+3).

人教版《义务教育教科书·数学》八年级中介绍了公式法，也介绍了式子x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)的因式分解方法.此题是在学习上述知识的基础上，进一步学习利用十字相乘法对二次项系数不为1的式子进行因式分解.学生通过观察、分析、归纳等一系列活动，实现在现有能力体系上生长出新能力，对学生即时学习的能力要求较高，同时还要具备较强的数感.

例4（湖南·株洲卷）如图5，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A.L.Crelle，1780—1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard，1845—1922）重新发现，并用他的名字命名.问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ的值为（ ）.

图5

解析：如图6，根据题意，在等腰直角三角形DEF中，因为∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，

所以∠1+∠QEF=2+∠DFQ=45°.

图6

所以∠QEF=∠DFQ.

因为∠2=∠3，

所以△DQF∽△FQE.

又因为DQ=1，

所以此题选择选项D.

三角形的布洛卡点对于一般的学生来说是陌生的，通过阅读，我们认识了三角形的布洛卡点，其本质特征就是与三角形三边所形成的角相等.具体到学过的知识，主要就是考查三角形相似而得到对应边成比例的知识.

3.考查学生开放与探究能力

例5（黑龙江·齐齐哈尔卷）如图7，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是______．

图7

解析：因为AB=AC=10，BC=12，

所以BD=DC=6.

所以AD=8.

如图8（1），可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为10.

如图8（2），连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，

则EC=AD=8.

由题意，得BE=2BD=12.则

如图8（3），由题意，得AE=BD=6，EC=2BE=16.所以

图8

等腰三角形的裁剪与拼接一直以来就是中考中对学生探究能力考查的比较好的内容，是提升学生合情推理能力的重要载体，与正方形、矩形的性质和勾股定理相结合，具有较好的考查效果.而此题一个重要的考点就是分类讨论的数学思想，根据题目所给条件，充分考虑各种不同情况求出结果.通过不同的拼接，体会轴对称、旋转所体现的几何变换.

4.考查学生综合运用知识的能力

（1）函数类综合题.

例6（湖南·张家界卷）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与的图象可能是（ ）.

解析：由反比例函数图象得当m＜0时，一次函数图象经过第二、三、四象限，所以选项A，C错误；由反比例函数图象得当m＞0时，一次函数图象经过第一、二、三象限，所以选项B错误，选项D正确．

此题是一类常见的反比例函数图象与一次函数图象相结合，考查函数性质的题目，而确定解析式中系数的几何意义是函数图象类问题的常见考查形式.此题需要先确定反比例函数图象的系数，再推导出一次函数的图象，从而考查学生对函数图象的有关性质的掌握情况.

（2）代数类综合题.

例7（湖南·张家界卷）先化简再从不等式2x-1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值．

解析：依据分式的混合运算法则对原式进行化简，化简结果为再求出不等式2x-1＜6的正整数解，最后将正整数解带入化简结果得到答案.但不等式2x-1＜6的正整数解有1，2，3，其中1和2均使原式无意义，故只能取3，最后带入求值得到结果为4.

此题旨在全面考查分式的各项运算法则和运算技巧，对学生的运算能力要求较高.同时，还综合了求不等式的正整数解和分式有意义的条件两个知识点，学生在得出不等式2x-1＜6的正整数解为1，2，3后，很容易发现2不能带入原式，但容易将1带入计算，从而出错.可见，命题者对于学生答题思维的严密性要求很高.

（3）几何类综合题.

例8（新疆·乌鲁木齐卷）如图9，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的点G处，若矩形面积为4，且 ∠AFG=60° ，GE=2BG，则折痕EF的长为（ ）.

图9

解析：由折叠的性质知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE.从而得到△EFG为等边三角形，△EGH为直角三角形，且∠EGH=30°.故EG=2BG=2EC.从而得BC=2GE.所以再根据解三角形的方法求得EF=2.故此题选择选项C.

此题以图形折叠为背景，从轴对称的性质出发探求几何条件，结合矩形的性质、等边三角形的性质和解三角形的知识，利用勾股定理进行线段长度的计算，将几何知识中几个板块的内容进行综合考查，对学生有极高的几何素养的要求.

（4）代数与几何综合题.

例9（辽宁·大连卷）如图10，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB.

（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为_______.

（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图11），连接BA′，与CD相交于点P.若求PC的长.

图10

图11

解析：（1）由三角形内角和，得∠BAD+∠ACB=180°.

（2）如图12，过点D作DE∥AB，交AC于点E，结合线段BD的中点O，得到△ABO≌△EDO.

进而易证△ADE∽△BCA，得

设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，

图12

图13

（3）如图13，过点D作DF∥AB，交AC于点F，

由（2）可知△FAD∽ △ACB.可得A′D∥BC.进而有△PA′D∽△PBC.得所以PC=1.

代数与几何综合题一直都是中考中的压轴题，注重全面考查学生知识与方法之间灵活运用的能力.此题利用第（1）小题为后面做铺垫，旨在降低第（2）小题的难度.同时，结合线段中点的常见图形构造全等和相似，将线段比值问题转化成相似三角形的相似比问题，最终转化成方程的根的问题，其间还涉及换元思想的运用.第（3）小题在第（2）小题的基础上再注入轴对称这个元素，使得题目难度达到新的高度.

（5）函数与其他代数知识的综合题.

例10（青海·西宁卷）首条贯通丝绸之路经济带的高铁线——宝兰客专进入全线拉通试验阶段.宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义.试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x时，两车之间的距离为y千米，图14中的折线表示y与x之间的函数关系.根据图象进行以下探究.

图14

【信息读取】

（1）西宁到西安两地相距_____，两车出发后____小时相遇.

（2）普通列车到达终点共需____，普通列车的速度是____.

【解决问题】

（3）求动车的速度.

（4）普通列车行驶t小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安？

解析：第（1）（2）小题由图象可直接得出.

第（3）小题由点(3，0)可知，两车行驶3小时相遇，又已得普通列车的速度为千米/时，故可求得动车速度为250千米/时.

（4）由动车速度和两地距离可知，动车行驶4小时到达终点，此时普通列车也行驶了4小时，还需8小时才能到达终点，故可以计算出剩余路程为千米.

此题将行程问题中的相遇问题的行驶过程利用图象来描述，要求学生能正确理解图象中每一段线段及其端点的实际意义，再依据相关数据进行计算.在解答此类问题的过程中，学生遇到的第一个难点是读题，理解题目的意义.要将函数图象转化为具体的数学问题，也需要从函数图象中找到所给的条件，还需要能将具体的数学问题转化为函数图象的一些基本性质进行计算.

二、解法评析

“综合与实践”类试题侧重于考查学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，强调多种知识、方法、思想的综合运用，还需要学生有较强的即时学习能力.“综合与实践”类试题问题本身从知识角度有较为深刻的意义，或从思想方法角度有较为普遍的作用，或问题解决的思考过程有适度的挑战性.这些就决定了在解题过程中要能化繁为简，准确把握问题本质，着重于定义及性质，让数学的学习回归本位.在解题时突出基本数学思想与方法，学会理性思考.

1.实践操作类作图题的解法

例11（湖北·荆州卷）如图15，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．试在这个网格中作线段AB的垂直平分线．

要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹．

图15

图16

解析：如图16，以AB为边作正方形ABCD，正方形ABEF，连接AC，BD交于点O，连接AE，BF交于点O′，连接点O，O′，得到直线OO′，直线OO′即为所求．

在人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第63页，介绍了利用尺规作图的方式作已知线段的垂直平分线的方法.而此题强调仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角，实质上就只能通过连线的方式来寻找线段AB的垂直平分线，所以寻找到A，B两点等距的点成为此题的难点了，能否利用格点图形构造正方形并结合正方形的几何性质寻找点O，O′就是关键了.

例12（天津卷）如图17，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上.

（1）AB长等于_____.

（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=1∶2∶3，试在如图17所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）.

图17

解析：（1）用勾股定理直接计算，得AB长为

（2）作法：如图18，AC与网格线相交，得点D，E，取格点F，连接FB并延长，交网格线于点M，N，连接DN，EM，DN与EM的交点P即为所求.

结合平行线分线段成比例定理，将线段AC分成AE∶ED∶CD=1∶3∶2，过点B作平行线，构造▱ABME，▱CDNB和▱ABFC，由此可得S▱ABME∶S▱CDNB∶S▱ABFC=1∶2∶6.再利用同底等高的知识，得到S△PAB∶S△PBC∶S△ABC=1∶2∶6.最终得到答案.

图18

此题旨在利用平行线分线段成比例定理和等积变换的方法，将三角形面积比的问题转化成共高的平行四边形之间的底边长度之比的问题，进而通过相交线找到所求点.此题对学生而言无疑是一次大挑战，通过巧妙作图解决问题是对学生综合运用数学知识能力的检验.

例13（浙江·湖州卷）七巧板是我国祖先的一项卓越创造.下列四幅图中有三幅是小明用如图19所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那幅图是（ ）.

图19

解析：由七巧板的剪裁原则，可以知道各部分几何图形之间的面积关系.设S3=S6=a，则S1=S2=4a，S4=S5=S7=2a.由此可以发现选项C中最大的两个三角形面积不相等，与图19不符，故此题选择选项C.

此题结合七巧板的背景知识，引导学生通过观察、计算，发现七巧板各部分之间的边长、面积之间的关系，以此为依据，进而判断构图的合理性.在解决此问题时，学生可能从摆放方式中进行分析，很容易发现选项A和选项B应该同时是正确的，故答案会从选项C和选项D中产生.但是由于忽视了针对图形进行定量分析，所以产生容易错答现象.

2.建立数学模型

例14（山东·威海卷）图20（1）是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能.玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好.假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），试完成以下计算.

如图20（2），AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD=10 cm，DE=120 cm，FG⊥DE，垂足为点G.

（1）若∠θ=37°50′，则AB的长约为____；

参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78.

（2）若FG=30 cm，∠θ=60°，求CF的长.

图20

解析：（1） 如图21，作EP⊥BC，DQ⊥EP，得CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，∠1+∠θ=90°，且∠1=∠2.从而得∠3=∠θ=37°50′.根据EQ=DE·sin∠3，AB=EP=EQ+PQ，则可以得出AB的长约为83.2.

图21

图22

（2） 如图22，延长ED，BC交于点K，结合（1）知∠θ=∠3=∠K=60°.从而由得到CF的长为

此题是实际生活情境的应用题，通过构造直角三角形考查锐角三角函数的知识.解决这类问题的核心是能从实际问题背景中构建相应的数学模型.而此题在解决问题中的关键是构建直角，得到相应的直角三角形.

例15（山东·东营卷）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图23，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是.

图23

图24

解析：这种求立体图形中的最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化为如图24所示的图形.此题是求直角三角形斜边的问题，每绕一圈在水平方向就多了一个圆柱的周长，而高是不变的，所以绕五圈以后，水平的长度就是15，而高为20，根据勾股定理，可求出葛藤长为

此题主要考查圆柱的平面展开图，及勾股定理的应用.如何准确计算立体图形中的距离是初中学习的一个难点，具有一定的抽象特征.所以记清几种特殊立体图形的展开图形式是非常有必要的.此类题目一般都与勾股定理相关联，构建直角三角形，弄清楚三边的实际意义是解题的关键.

3.从“类比”中去发现和创造

例16（江苏·连云港卷）问题呈现：

如图25（1），点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，AE=DG.求证2S四边形EFGH=S矩形ABCD（S表示面积）．

实验探究：

某数学实验小组发现：若图25（1）中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化.分别过点E，G作BC边的平行线，再分别过点F，H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1．

如图25（2），当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现

如图25（3），当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），试探索S四边形EFGH，S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由.

图25

迁移应用：

试直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题.

（1）如图26（1），点E，F，G，H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=11，求EG的长．

（2）如图26（2），在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E，H分别在边AB，AD上，BE=1，DH=2，点F，G分别是边BC，CD上的动点，且连接EF，

HG，试直接写出四边形EFGH面积的最大值．

图26

证明：问题呈现：如图25（1），因为四边形ABCD是矩形，

所以AB∥CD，∠A=90°.

因为AE=DG，所以四边形AEGD是矩形.

实验探究：结论为2S四边形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1.

理由略.

迁移应用：（1）如图27，由“实验探究”的结论可知，2S四边形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1，

因为正方形ABCD的面积为25，

所以边长为5.

图27

因为A1D12=HF2-52=29-25=4，

（2）因为2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S矩形A1B1C1D1，

所以当四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．

①如图28，当点G与点C重合时，四边形A1B1C1D1的面积最大时，矩形EFGH的面积最大．

图28

②如图29，当点G与点D重合时，四边形A1B1C1D1的面积最大时，矩形EFGH的面积最大．

图29

这是一道具有“类比”特征的试题，这类试题的构制本身就体现着一种创造意识和能力.此题先从矩形中一条与一边平行的直线开始，类比到如果直线不平行，这时运用前面的思路，比较容易考虑到作平行线，这也是实践探索的起点.在解决新问题时准确把握并运用其间的类比关系，构建平行线而得到新的矩形.问题结构之间的类比演变，导致了随之而来的解题方法上的演变.迁移应用是在类比而形成的知识的基础上的运用，只要弄清楚了问题的结构，以及解决问题的基本方法，迁移也就水到渠成了.

4.从“归纳和猜想”中去认识新知识

例17（福建卷）小明在某次作业中得到如下结果：

所以矩形EFGH面积的最大值为

据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2(90°-α)=1．

（1）当α=30°时，验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立.

（2）小明的猜想是否成立？若成立，试给予证明；若不成立，试举出一个反例．

解析：（1）成立.当α=30°时，将30°与60°的正弦值代入计算即可得证.

（2）成立.如图30，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，正确地表示这两个角的正弦，并利用勾股定理即可得证.

图30

此题从观察所列举的一组算式开始，引导学生进行合理猜想，然后尝试验证，最终使学生认识到一个基本事实，形成一个新知识，即互余两锐角正弦的平方和为1.从试题上看有起点低、坡度缓、立意高的特点，注重考查学生观察、比较、归纳等能力，同时还涉及运用数形结合的思想解决问题.

5.学会“从特殊到一般”

例18（江西卷）我们定义：如图31（1），在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的旋补三角形，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的旋补中线，点A叫做旋补中心．

特例感知：

（1）在图31（2）、图31（3）中，△AB′C′是△ABC的旋补三角形，AD是△ABC的旋补中线．

①如图31（2），当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=___BC；

② 如图31（3），当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为____．

猜想论证：

（2）在图31（1）中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用：

（3） 如图31（4），在四边形ABCD中，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的旋补三角形？若存在，给予证明，并求△PAB的旋补中线长；若不存在，说明理由．

图31

解析：（1）①首先证明△ADB′是含有30°角的直角三角形，得即可解决问题.

②首先证明△BAC≌△B′AC′.根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题，得AD的长为4.

图32

图33

（3）存在.如图33，延长AD交BC的延长线于点M，作BE⊥AD于点E，作线段BC的垂直平分线交BE于点P，交BC于点F，连接PA，PD，PC，作△PCD的中线PN，连接DF交PC于点O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°即可解决问题.

此类试题的主体特征是从已有的特殊到一般，解答这类问题通常的方法是，首先寻找出一个恰当的特殊，使之能从中比较简明地确定出需要探索的结论；然后，以此结论为目标，就原题的一般情况再给出证明；最后是这个一般情况的具体应用.这个解题过程可以归纳为特殊引路得结论，回归一般得证明，运用结论解新题.

三、亮点赏析

在2017年全国各地中考试题中对于“综合与实践”类问题都很重视，试题的设计符合《标准》的要求，同时又兼顾地域特色，倡导学生依据已有学习经验独立解决问题.而“综合与实践”类问题重要特点就是探究方式多样性，解法丰富多彩，各具特色，由此彰显数学的和谐与统一.

1.运用图形变换巧解几何综合题

例19（湖北·宜昌卷）正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与点B，C不重合)，以点O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°.

（1）当OM经过点A时.

①试直接填空：ON_____（可能，不可能）过点D（图34（1）仅供分析）.

②如图34（2），在ON上截取OE=OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为点F，EH⊥CD于点H.求证：四边形EFCH为正方形.

（2）当OM不过点A时，设OM交边AB于点G，且OG=1.在ON上存在点P，过点P作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=4S△OBG，连接GP，求四边形PKBG的最大面积.

图34

解析：（1）①不可能.若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过点D；

②由条件可先判定四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论.

（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2.求得△POG的面积为定值，以及△PKO与△OBG的关系.只要△OGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积最大.设OB=a，BG=b，由勾股定理，可用b表示出a，则可用a表示出△OBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值.

此题是探究图形的变换过程中的一种“变中的不变性”的一类题型.在整个变化过程中，始终不变的是“以点O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°”这一个条件，在此基础上，全等或相似就有一组对应角的支撑，这也是此类题型的灵魂所在.此题的亮点在于相似与用函数法求最值的结合，从中发现动态过程中的特定关系的对应特定性质是解题的关系.

2.注重高中知识的渗透

例20（山东·日照卷）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为

例如：求点P0()0，0到直线4x+3y-3=0的距离.

解：由直线4x+3y-3=0知，A=4，B=3，C=-3，

所以点P0(0，0)到直线4x+3y-3=0的距离为d=

根据以上材料，解决下列问题.

问题1：点P1()3，4到直线的距离为_____.

问题2：已知⊙C是以点C(2，1)为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线相切，求实数b的值.

问题3：如图35，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，试求出S△ABP的最大值和最小值．

图35

解析：（1）根据点到直线的距离公式，可得距离

（3）求出圆心C()2，1到直线3x+4y+5=0的距离求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2.所以S△ABP的最大值为，S△ABP的最小值为

此题以高中阶段的点到直线距离公式为背景，要求学生经历阅读理解、模仿尝试、灵活运用等活动，最终将知识在问题3上得到升华.试题层层铺垫、梯度适中，并在最后将知识引向解决一个数学面积问题的方向，体现了所学知识的应用价值.从考查内容上看，此题涉及了方程、直线与圆的位置关系、定圆上的点到定直线的距离等知识，体现了对以上知识的灵活运用能力的考查.

3.感受国家发展，贴近实际生活

例21（北京卷）如图36所示的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况.

图36

以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》.

根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（ ）.

（A）与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长

（B）2011—2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长

（C）2011—2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4 200亿美元

（D）2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多

答案：B.

此题以《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》为外在情境，以我国与东南亚地区的贸易额及我国与东欧地区的贸易额为观察对象，以折线统计图的问题情境为条件，在考查学生的统计知识的同时，感知祖国的进步.此题在解法上重在读懂统计图，注意折线各个节点表达的实际意义.

例22（浙江·金华卷）如图37，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A，B两处各安装了一个监控探头（走廊内所用探头的观测区为圆心角最大可取到180°的扇形），图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域，要使整个艺术走廊都能被监控到，还需要安装一个监控探头，则安装的位置是（ ）.

图37

（A）E处 （B）F处 （C）G处 （D）H处

解析：结合条件：走廊内所用探头的观测区为圆心角最大可取到180°的扇形，依据图形的显示能够看到A处监控探头监测的范围，进而根据作图原则作出B处监控探头监测的范围，最后通过未覆盖的范围逆向得出在点H处安装监控探头.所以此题选择选项D.

此题以实际生活中的问题为背景，结合直线公理，利用作图得出答案.试题起点低，但应用性极强，创意新颖.

4.跨学科的综合题

例23（内蒙古·通辽卷）如图38，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°.若OC⊥EF，点A比点B高7 cm.

图38

（2）求从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）.

答案:（1）单摆的长度约为18.9 cm；

（2）从点A摆动到点B经过的路径长为29.295 cm.

此题结合物理学科中的单摆运动试验（实质为线段绕其中一个端点的旋转），考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题和弧长计算问题.在解决问题的过程中要构造直角三角形，并解直角三角形.此题不是单纯枯燥的数学问题，而是将其他学科的问题整合到数学学科中，体现了数学学科的基础性、工具性和应用性.

“综合与实践”类问题实现了数学学科对于知识之间的迁移运用，还关注了对于学生相应数学能力的培养，更体现了数学学科作为基础学科的工具性、基础性和应用性，所以“综合与实践”类试题作为各地中考中的热点问题的地位必将延续.展望2018年中考，此类问题将不可避免地持续出现.因此，在日常教学过程中，引导学生关注此类问题，结合课内、外的各项数学活动，帮助学生积累解决此类问题的学习经验，形成必要地解决问题的能力，最终实现提升学生数学核心素养的目的.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］叶茂恒，许芬英.中考数学试题分类解析（四）：实践与综合应用［J］.中国数学教育（初中版），2011（1/2）：72-85.

［4］欧阳红峰，李蓉.2016年中考“综合与实践”专题解题评析［J］.中国数学教育（初中版），2017（4）：44-52.

［5］孙延洲.创新思维视角下的数学教育研究［M］.武汉：湖北教育出版社，2014.

［6］黄金声，陈莉红.2015年中考数学试题“综合与实践”专题解题评析［J］.中国数学教育（初中版），2016（3）：56-64.