“加减消元法”教学设计

（广东省肇庆市第一中学）

一、学习内容地位分析

本节课内容选自人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册（以下统称“教材”）第八章第二节，是在学习了代入消元法的基础上，进一步来学习解二元一次方程组的另一种方法.加减消元法是灵活解答二元一次方程组、三元一次方程组和应用二元一次方程组解答实际问题的基础，有助于学生理解和掌握消元方法，以及化归思想等数学思想方法.

二、教学内容分析

本节课的主要内容是用加减消元法解二元一次方程组.使学生通过对思考1和思考2进行探究，得到直接加减消元的解法，形成加减消元法的概念；进而通过对思考2的变式，以及例题的探究，得到间接加减消元的解法，形成运用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.

三、学情分析

本节课的教学对象是七年级的学生，其具备以下知识基础和能力.

（1）能够熟练解一元一次方程.

（2）会用代入消元法解二元一次方程组.

（3）通过代入消元，已初步体会化归思想.

四、教学目标设置

基于上述分析，确定本节课的教学目标如下.

（1）理解加减消元法的概念.

（2）经历加减消元法的形成过程，应用加减消元的方法，实现将二元方程转化为一元方程，体会化归思想.

（3）掌握加减消元法解二元一次方程组的基本步骤，会用加减消元法解二元一次方程组.

五、教学重、难点

基于上述的教学目标，确定本节课的教学重、难点如下.

教学重点：加减消元法的概念；会用加减消元法解二元一次方程组.

教学难点：如何将同一个未知数的绝对值不同的系数转化为绝对值相同的系数.

六、教学策略

本节课采用启发式的教学策略，通过对思考1和思考2的探究，得到直接加减消元的解法，形成加减消元法的概念；通过对思考2的变式，以及例题的探究，得到间接加减消元的解法，形成加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.

七、教学准备

实物投影仪.

八、教学过程

1.复习引入

解：由①，得

y=10-x.③

将③代入②，得

2x+(10-x)=16.

解得x=6.

将x=6代入③，得

y=4.

问题1：利用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是什么（答案见图1）？代入消元法的核心数学思想是什么？

图1

问题2：这个方程组只能用代入消元法来解吗？

问题3：方程组中未知数y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？

师生活动：教师提出问题，学生思考回答.

【设计意图】复习回顾代入消元法及其核心数学思想——消元，为本节课做好知识储备.提出问题，引入本节课的内容，激发学生的学习兴趣.

2.概念形成

解：②-①，得

(2x+y)-(x+y)=16-10，

2x+y-x-y=16-10，

x=6.

把x=6代入①，得

y=4.

师生活动：教师提出问题，学生观察、讨论之后回答.

【设计意图】让学生在已有经验的基础上，努力尝试新的方法.

问题1：两个方程可以这样相减吗？依据是什么？

答：可以，依据是等式的性质1.

问题2：①-②也能消去未知数y，求得x吗？

问题3：一起来小结.

方程组中，未知数y的系数是________，把两个方程两边分别________，就可以消去未知数y，得到一元一次方程.

师生活动：教师提出问题，学生思考回答.

【设计意图】观察方程组中两个方程中y的系数，发现它们相等，由此得出两方程中同一未知数系数相等，将两方程相减这一解法.

解：①+②，得

(3x+10y)+(15x－10y)=2.8+8.

18x=10.8.

x=0.6.

把x=0.6代入①，得

y=0.1.

问题：方程组中，未知数y的系数是________，把两个方程两边分别________，就可以消去未知数y，得到一元一次方程.

师生活动：教师提出问题，学生观察、讨论之后回答.

【设计意图】观察方程组两个方程中y的系数，发现它们互为相反数，由此得出两方程中同一未知数系数互为相反数，将两方程相加这一解法.

归纳加减消元法：当二元一次方程组两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.

问题1：加减消元法的基本思想是什么？

问题2：两个方程相加或相减后能够实现消元的前提条件是什么？

问题3：加减消元法的关键步骤是什么？依据是什么？

师生活动：学生思考，归纳加减消元法，教师提示补充.

【设计意图】在对两个思考进行解答之后，归纳加减消元法，并利用问题，对加减消元法的重点部分进行强调.

3.练习巩固

用加减消元法解下列方程组.

师生活动：教师提出问题，学生独立完成，然后进行交流，对错例进行展示，找出错误根源，归纳正确方法.

【设计意图】通过对加减消元法解二元一次方程组的实践应用，加深学生对加减消元法的理解和掌握.

师生活动：根据练习题的解答步骤，教师用如图2所示的框图展示运用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.

图2

【设计意图】学生再次认识加减消元法解二元一次方程组，归纳加减消元法解二元一次方程组的一般步骤，进一步体会化归的数学思想.

4.典例展示

问题1：在对思考2的方程②中未知数系数进行改变后，直接加减两方程还能够消去未知数y吗？

答：不能.

问题2：那应该怎么办？

答：由方程②×2，得15x-10y=8.

问题3：两个方程都可以这样变形吗？依据是什么？

答：可以，依据是等式的性质2.

师生活动：教师提出问题，学生思考回答.

【设计意图】引导学生得出构造同一未知数系数相等或互为相反数的方法，为下述例题的求解做好铺垫.

例用加减消元法解二元一次方程组

解：由①×3，得9x+12y=48.③

由②×2，得10x-12y=66.④

由③+④，得19x=114.

解得x=6.

将x=6代入①，得

问题1：其中12与y的系数的绝对值4，6有什么关系？

答：12是4，6的最小公倍数.

问题2：如果用加减消元法消去x，应该如何解？

师生活动：教师提出问题，学生思考完成，并展示同一方程组先消元不同未知数的解法.

【设计意图】让学生理解和巩固构造同一未知数系数相等或互为相反数的解法.

师生活动：进一步完善用加减消元法解二元一次方程组一般步骤的框图如图3所示.

图3

【设计意图】归纳用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤，让学生进一步体会化归的数学思想.

5.技能训练

用加减消元法解下列二元一次方程组.

师生活动：学生独立完成，教师巡视，教师注意搜集错例进行展示，由学生分析错误原因.同时，教师还要关注不同的做法，引导学生找出简单的方法.

【设计意图】及时巩固所学知识.

6.课堂小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并让学生回答以下问题.

问题1：加减消元法的概念是什么？

问题2：加减消元法解二元一次方程组的步骤有哪些？

用框图展示代入消元法和加减消元法的解答步骤如图4所示.

图4

【设计意图】复习巩固、提升总结本节课的知识，使学生学会总结和反思.

布置作业：教材第97页习题8.2第3题.

九、教学反思

本节课很好地处理了教师讲授引导和学生实践探究之间的关系，精心设计了探究活动，很好地完成了本节课的教学目标，使学生理解了加减消元法，掌握了运用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤，锻炼了学生的数学思维能力.

1.课程主线清晰，各环节衔接自然

从有同一个未知数系数相等或互为相反数到没有同一个未知数系数相等或互为相反数；从直接加减消元到间接加减消元.

2.关注学生主体意识，发挥教师引导作用

注重学生活动的设计，采取了问题引导的方式，让学生带着问题开展探究活动.教师适时点拨，利用问题串，引导学生进行深入思考.

3.关注学生的认知规律，注重及时的归纳概括

注重根据学生的认知规律安排教学活动，从思考1到思考2，利用减式、加式直观的展示两方程相加与相减的情况.利用短语小结“同一个未知数系数相等，两方程相减”“同一个未知数系数互为相反数，两方程相加”进行归纳概括；利用框图，对运用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤进行概括.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］章建跃.章建跃数学教育随想录［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.