学为中心·方法探究·思维引领——观“三角形的中位线”展示课的几点思考

（云南省教育科学研究院）

一、教学目标明确，定位准确

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，要探索并证明三角形的中位线定理.此次活动中的“三角形的中位线定理”展示课共4节，采取同课异构的方法进行，组委会对三角形的中位线这一展示课题的要求为要注重设置适当的问题情境，引导学生发现值得研究的问题，借助适当的图形变化获得猜想，再通过演绎推理给出证明.要让学生经历完整的“发现问题—提出猜想—演绎推理”的过程，体现研究几何问题的基本套路，培养学生的直观想象、逻辑推理等素养.

本节课的三个目标分解体现了《标准》的要求，并融合了组委会对本课题的展示要求，课时目标分析如下.

（1）经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力（这一目标分解体现了能力素养）.

（2）证明三角形中位线定理，体会转化思想，发展演绎推理能力（这一目标分解体现了能力素养）.

（3）运用三角形中位线定理解决相关数学问题和实际问题（这一目标分解体现了能力培养）.

综上可以看出，整节课的课时目标定位于以能力素养为导向，培养学生解决问题的能力.

二、教学内容解析科学合理

对教学内容的理解与把握是有效教学的前提，理解教学内容要求教师对本节课的知识、数学思想方法、能力培养加以综合、全面的考量，确定教学的重、难点和关键环节，从而以系统整合的思想理解并把握教学内容及要求.本节课内容解析突出了以下几点.

（1）前知基础：平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称.

（2）欲知：三角形中位线定理.

（3）思想：转化思想.

（4）教学内容特点：体现几何学习特点，落实要让学生经历完整的“发现问题—提出猜想—演绎推理”的过程，体现研究几何问题的基本套路，培养学生的直观想象、逻辑推理等素养.

（5）未来联系与发展：相似三角形.

从内容解析方面看，体现了知识间的联系、方法思想的体现、内容体系的构建，特别是本节课的内容是今后学生学习相似三角形后的特例，即相似比为1∶2的特例.而从图形的性质方面看，全等形是相似形的特例.因此，本节课的着眼点应放在学生对转化方法的掌握上.从知识学习的发展方面看，不能过多的强化本节内容知识本身，以防止功能固化.《标准》增加了“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”作为基本事实让学生掌握，这就将为三角形、四边形、多边形等有关问题纳入相似形体系奠定了基础.

三、教学过程体现了学为中心，探为方法，思维引领的思想

1.情境引入，问题呈现自然

由学生熟悉的生日蛋糕四分问题的引入，由直观面积问题，再深入到三角形中位线问题.情境贴近学生生活，体现了数学问题来源于现实世界的思想.

2.重视概念的提出与辨析

通过图1、图2，对中位线概念与已学中线概念进行对比，突出了中位线的位置关系.这里利用图形直观类比三角形中线，让学生直观掌握一个三角形中有三条中位线，强调了三角形中位线位置的相对性.达到了通过辨析概念内化定义的目的.

图1

图2

3.有效借助技术手段，以探究的方式积极引导学生观察、发现、猜想

学生能够熟练使用电子板，教师善于使用电子智慧教室设施，为本节课的探究活动提供了技术支撑.在课堂上开展的探究活动应该是有目的、有引导的，引导要有方向性，从而提高探究的针对性.本节课的执教教师在借用技术引导学生开展探究活动方面重视了以下几方面.

（1）技术手段：平板电脑（学生人手一台），网络智慧教室及设施.

（2）探究聚焦点：平行与数量关系.教师注重对探究方向的引导，避免了学生探究的盲目性（课堂时间有限，不能盲探）.

（3）开放讨论式：学生各自画三角形及中位线进行观察、度量、猜想、讨论.

（4）能力素养培养：学生能够提出与三角形中位线有关的问题.

以信息技术为探究手段是本节课的一大特色，体现了网络教学的巨大威力，这启示我们，网络教学在当今我国数学教育教学发展中将大有可为.

4.构建多样转化模型，着力提高学生的逻辑推理能力

用逻辑证明验证图形转化的合理性是本节课的重点与难点，而对不同证题模型的探究与证明将丰富并促进学生对转化过程的理解，同时也为用平行四边形性质证明三角形中位线定理奠定了基础.

平行构造转化：CF∥AB（如图3）.

图3

图4

特殊构造：引辅助垂线（如图4）.

推广一般模型：分别过点A，B，C的三条平行线构形，为今后将所学知识纳入相似形体系奠定了基础.

推理能力：由三角形全等得到平行四边形，再得到数量关系.

转化推理：让学生体会通过转化，可以将中位线与第三边建立联系，通过推理，可以证明他们之间具有特殊的数量倍分关系.

以上模型构形简洁，过程清晰，利于学生观察、发现、证明、归纳，体现了数学教学的自然性与合理性，为学生下一步归纳定理奠定了基础.

5.归纳定理，抽象概括

通过以上探究、证明，学生抽象概括得到三角形的中位线定理.同时强调中位线的位置及与第三边的数量关系.这一环节的教学体现了几何教学以形定数的思想.

四、强化应用，掌握定理

定理证明后，执教教师即时安排了分层的课堂练习：①边长关系；②角度关系；③中点三角形递推关系.各层次练习不断强化学生应用定理的能力.再通过沙堆问题强化数学的应用思想，使知识回归实际生活，密切数学与生活的联系，让学生体会数学应用的普遍性.

五、目标导向、评价反馈及时有效

为有效开展探究活动，在本节课的教学中，执教教师特别注意发挥目标的导向与评价作用，使整节课学生的探究活动宽泛而不乱，教学内容深广而不散.探有目的、观有图形、验有形象、思有判断、练有层次，环环相扣、流程自然、形成整体、有效发挥了教学的整体效应.具体体现在以下方面.

（1）分组探究、讨论交流、突破难点.

（2）引出概念及时辨析.

（3）定理探究证明后，即时判断蛋糕划分问题，从实际中来又回到实际中去，使学生的认识不断提高，让学生感受到数学学习的有用性，明确数学并不只是枯燥无味的概念和解题.

（4）布置3个分层变式（边长关系、角度关系、形的关系）练习题，及时巩固学生对定理的掌握情况.

（5）实际应用沙堆宽度测量，对知识的应用再次回到现实情境中，学用结合.这里通过再构问题解决模型，强化定理的使用，加深学生对所学知识及方法的理解和应用.

（6）利用电子白板及时了解学生的解题情况，调整教学.

（7）作业分层布置，针对性强.

六、有效利用现代教学信息技术手段，指导学生开展探究活动

技术是为教学服务的，本节课师生充分利用了现代教育信息技术开展教学活动，具有以下特点.

（1）利用硬件设施：智慧教室、多媒体、投影仪、电子白板、网络等.

（2）内容展示：动态课件形象直观.

（3）电子平板：师生操作技能熟练，应用自如.

七、扎实的教学基本功，确保了教学目标的有效达成

教师教学语言清晰、简炼，教态亲切自然，板书美观、设计合理，电子教学设施使用熟练，师生互动融洽，学生在探究活动过程中学习知识、体验方法，提高了能力，教学效果好.

八、几点建议

1.重视几何教学中的语言教学

几何教学中应特别注意几何语言的教学，文字、图形、符号是贯穿几何教学中的重要内容.本节课从情境到论证再到定理，整个过程都体现了几何教学的特点，注意了实际问题与几何图形的联系，重视了几何图形与论证的联系，强调了定理的几何位置与数量关系.但是在得出三角形中位线定理后的定理特征的概括理解部分，执教教师对教学过程处理得过快，忽视了这一环节是学生对定理表征及理解的极佳时机，即通过文字、图形、符号语言间的相互转化来加深学生对定理的理解与掌握.文字、图形、符号是记忆、理解、联系、应用的基础.

2.过程与结果同等重要，让学生学会自己概括归纳

《标准》指出，有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.本节课学生经历了情境、探究、猜想、证明、应用等过程.在归纳、概括的过程中，主要由师生共同完成，教师发挥了主要作用，学生的归纳、概括能力未能得到充分发挥.建议在归纳、概括环节教师还可大胆放手让学生自我归纳猜想、自我归纳证明方法、自我评价探究过程、自我小结.我们要相信对于定理的探究、证明、归纳、概括，均可由学生自主完成，让学生充分经历问题提出、分析以及概括、归纳的全过程，进而提高学生解决问题的能力.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.