无差别原则相关悖论多解的本质意义——以酒水悖论、贝特朗悖论为例

赵　曼

(1.中国社会科学院研究生院， 北京　102488； 2.澳大利亚国立大学, 堪培拉　ACT0200)

一、无差别原则

无差别原则是逻辑解释确定初始概率的基本原则。古典概率论的基础是伯努利(Jakob Bernoulli)的“不充足理由原则”(The Principle of Non-sufficient Reason)，即在某一条件下的任意一个随机事件，我们如果没有足够的理由认为他们其中的某些情况比另外的一些情况更有可能发生，那么就认为它们应该具有相等的概率。对于古典概率论的逻辑解释就是依据此原则来确定基本事件的概率的。凯恩斯(John Maynard Keynes)将这一解释的核心内容稍加修正后称为“无差别原则”(The principle of indifference)[1]。然而，有时使用这个原则会导致逻辑悖论的出现。拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)就给出了下面的例子：假定一位女士投掷硬币，虽然不知道硬币会偏向哪一面但是被告知硬币是有偏向性的，现在要求这位女士说出投掷后这枚硬币正面向上的概率[2]。由于她对这枚硬币更可能哪一面向上的问题是完全不知道的，那么她根据无差别原则判断出这个硬币正面向上和反面向上的概率相等，均是1/2。可是，既然她已经知道这枚硬币是有偏向性的，那么她也可以判断这枚硬币正面向上的概率不是1/2。这两种不同的思路就会带来悖论，也就是说如果用P表示这枚硬币正面向上的概率，那么我们就会有两种相反的答案：P=1/2和P≠1/2。由无差别原则所导致的逻辑悖论层出不穷，而这些悖论被统称为无差别原则悖论。如果要使用无差别原则来对概率的结论进行测度，就不得不对产生的悖论进行更多的思考。颜青山提到，根据不同的性质对无差别原则悖论进行区分：投掷硬币的悖论等划分为离散情形，贝特朗悖论、酒水悖论等划分为连续情形[3]。下面我们将从两个极具代表性的无差别原则悖论，即酒-水悖论和随机弦悖论出发，审视同为连续情形的两个悖论是否由于误用了无差别原则而导致多解，同时分析在这两个悖论下得到多解的本质原因是否相同。

二、酒水悖论及其多解分析

酒水悖论是说，假设有一瓶酒和水的混合液体，对于这瓶混合液体我们只知道其中两种液体的比值不会超过3∶1，至于两者之间哪个多，哪个少以及其他的信息一概不知道。由此，我们能够确定酒对于水的比例落在区间[1/3，3]，也就是说 1/3≤酒/水≤3，但是这个比例到底在区间的哪个点上，我们并没有办法确定。由无差别原则可得，酒对水的比例的概率是均匀地分布在[1/3，3]这个区间的。因此，酒对于水的比例不超过2的概率也是均匀分布在 [1/3，2] 区间的。于是，可以得到下面的式子：

同理，可以知道水对酒的比例也是在区间[1/3，3]，即1/3≤水/酒≤3，并且其概率也是均匀地分布在该区间。那么，水对酒的比例不小于1/2的概率均匀地分布在区间 [1/2，3]。可以得到下面的式子：

酒对水的比例在区间[1/3，3]不大于2和水对酒的比例在区间[1/3，3]不小于1/2描述的是同一个事件。但是，通过以上的分析可知，使用无差别原则得到的两个概率值却是截然不同的，显然15/16≠5/8，这就产生了悖论。

接下来我们来分析所得概率值的错误原因。当计算酒对水的比例不超过2的概率时，得到公式1，其中分子2-1/3和分母3-1/3不能直接进行比的运算。因为分子分母都分别是酒水比值的减法运算，上下得到的两个差值的基准是不一样的，因此对差值直接进行比的运算就是毫无道理的。研究的出发角度不同，就会产生不同的结果，看似产生了悖论，实则酒水悖论中的两个结果都是错误的。如果想要正确地自始至终地运用无差别原则，那么就要找到一个不变的基准。笔者发现不管什么时候，V水+V酒=V这个等式都是不会发生变化的，因为不管比例如何它们总的体积是一瓶。也就是说随着酒水比例的变化，它们相应的体积也就发生了变化(此处讨论的时候，假设的前提是它们的体积不会因为相容而使得V发生微小的变化)。那么这个概率式子应该是这样的：

其中V水1表示的是酒∶水=1∶3时候的V水；V水2表示的是酒∶水=2∶1时候的V水；V水3表示的是酒∶水=3∶1时候的V水。通过上述形象的概率式子，不难发现如此的比值，分子分母是不能互相抵消掉V水的，因为只有V水+V酒=V是不变的，其他的都是变量，酒水在不同的比值下，作为参照的水的体积已经发生了变化，那么在上式中，V水1≠V水2≠V水3是不能够相互抵消的。所以说在区间内，随着酒水两者比值的变化，V水在不断发生变化。同理，水对酒的比例不小于1/2的概率得到的公式2的计算方法也是错误的。

由以上两种算法得到的两个概率值均是不正确的，所以一直以来学者们认为这是个悖论问题，实则两个都是不正确的算法。笔者尝试将这个问题的分析形象化，同时求得酒水问题正确的概率值。如图1—图4所示：首先酒和水的总体积V是不变的，并且两种液体的比值不会超过3∶1，于是我们来讨论酒对水的比例不超过2的时候体积V是如何分配和变化的。图1表示的是，酒∶水的最小比例1∶3；图2表示的是，酒∶水的比例2∶1；图3表示的是，酒∶水的比例不超过2时可变化的体积Vx；图4表示的是，酒∶水的最大比例3∶1。通过图形，我们可以清楚地看到，酒的可变体积在Vx表示的范围内，一旦这个变化范围内的酒的体积确定了，那么随之水的比例也就得以确定了。所以，笔者认为由无差别原则可知，酒对水的比例在区间[1/3，3]时，酒的可变体积Vx在变化范围 [1/4V，3/4V]是均匀无差别的，当酒对于水的比例不超过2时，酒的可变体积Vx在变化范围 [1/4V，2/3V]是均匀无差别的。

图1 图2 图3 图4

通过以上图解，酒对于水的比例不超过2的概率可以得到：

我们得到了两个相同的结果，5/6就是酒水问题正确的概率值。

酒水问题中通过运用无差别原则得到了两个不同的解，且得到的两个解均是错误的。导致多解错误的本质原因就是在运用无差别原则的整个过程中，对酒水或水酒比例的概率运用了无差别原则，虽然分子分母单独拿出来讨论时，酒水或水酒比例在区间内都是均匀分布的，但是因为它们没有选取到一个不变的基准，所以在运算的过程中将分子分母上不同的变量当作同一变量进行约分，就会得到一个看似正确实则错误的答案，然后说两个错误的解产生了悖论就没有意义了。笔者尝试性地将不变的V作为基准，且考虑到酒水或水酒的体积比在区间内是均匀分布的，所以可以对Vx运用无差别原则，从而得到正确且统一的答案。

三、贝特朗悖论及其多解分析

约瑟夫·路易斯·贝特朗(Joseph Louis Bertrand)在其著作中构设了一个几何概率悖论：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形的边长的概率是多少？”[4]贝特朗就提出的这个问题从3个可行的角度给出了3个不同的概率值。下面我们就贝特朗给出的3种经典的解进行逐个分析，并对存在的其他的解举一例来分析(图5—图7)。

图5 图6 图7

第一种答案，从端点方面来思考，如图5所示。从圆周上选取的两个端点来绘制连接为弦。通过想象，内接等边三角形不停地旋转，当它的顶点与其中一条弦的一端重合，另一端位于三角形另外两个顶点之间的圆弧上时构成的弦比三角形的边长长。也就是圆内接等边三角形的夹角为60°，那些弦长长于内接等边三角形边长的弦一定都落在了三角形顶角的60°范围内。而从顶点出发落于顶角以外的弦的弦长都比等边三角形的边长要短。我们没有理由说明从三角形顶点出发的弦的另一端点在圆周上的某一个点而不是其他点，所以应用无差别原则可以得到(是弦与圆切线的夹角)：

公式6：P1=P(60°<θ<120°)=60°/180°=1/3

Martin设计了试验验证第一种答案的概率值[5]。任取一个圆，在圆的中心点位置固定一个类似于转盘样子的微调器，将两个分别独立旋转的结果标记，作为弦的两个端点；然后将实验结果记录；计算记录下的结果，满足的弦得到的概率值是趋近于1/3。

在这种解法中，先固定一点作为弦的一端，然后在圆周上随机选取另外一点作为弦的另一端。陈作清将此方法扩展后提出，两个端点在圆上均是随机地进行选择，通过几何计算仍旧可以得到1/3的概率[6]。得到P1概率值的前提是将弦的两个端点确定弦作为随机弦的选取方式，也就是满足条件的弦的另一端的范围所在的弧长是圆周长的1/3，该种解法其本质是“随机端点”即对端点在圆周上分布运用了无差别原则。

第二种答案，从半径方面来思考，如图6所示。在圆的一条半径上随机选择一个点，过该点构造一条垂直于此半径的弦，改点即是弦中点。圆内弦长长于内接等边三角形边长的那些弦的中点到该圆圆心的距离要小于该圆半径的一半，弦中点到圆心距离来看，上、下半圆内分别可以划分出两部分1/2R的区域(圆半径为R)。当弦中点到圆心的距离大于1/2R时的弦的弦长均小于内接等边三角形的边长。我们无法说明弦的中点在半径的某一点上而不在其他点上，根据无差别原则可以得到：

Edwin T.Jaynes给出了一个实验来验证第二种答案的概率值[7]。将一个直径5英寸的圆画在地板上，然后从某个固定的点将扫把枝随机地抛掷，对128次成功抛掷的实验结果进行计算，在误差允许的范围内得出的概率值为1/2。

在这种解法中，先要选取一条半径，然后在半径上任取一点作为弦中点。得到概率值的前提是将用弦中点确定弦的方式作为随机弦的选取方式，其本质是“随机半径”即对弦中点在半径上随机分布运用了无差别原则。

第三种答案，从弦中点方面来思考，如图7所示。在大圆内任意选取一个点作为弦的中点。在大圆的内接等边三角形内再画出一个三角形的内接圆，分别与三角形三边相交。由数学知识我们可以得到这两个圆是同心圆，且小圆的半径为1/2R即大圆半径的一半(大圆半径为R)。当弦中点在小圆内时，对应的那些弦的弦长长于等边三角形的边长。反之，当弦中点在小圆外时，弦长必然小于边长。我们没有理由说弦的中点落在小圆内的某一点而不是其他的点，所以依据无差别原则可以得到：

Martin用试验来验证第三种答案的概率值[5]。在材质上画出一个圆，将整个圆用蜜糖覆盖，从而引得苍蝇随机地落在蜜糖范围内。苍蝇首次落下的点作为一条弦的弦中点。反复记录后，整理计算满足条件的弦长出现的概率，得到的概率值是趋近于第三种答案的1/4。

在这种解法中，不作任何假设，直接任取一点作为弦中点。得到P3概率值的前提是将弦的中点在大圆内随机分布等价为随机弦的选取方式，其本质是“随机中点”即对弦中点运用了无差别原则。

通过分析，我们可以发现贝特朗在悖论中给出的3种经典答案均得到了可操作性的真实实验的验证，且3种答案在各自运算的过程中从不同方面分别运用了无差别原则。

陈晓平[8]在吉利斯[7]对使用无差别原则提出限制条件的观点上进一步给出了线性无差别条件：如果参数θ在一个区间的概率分布是无差别的，且Φ=f(θ)是一次函数，那么可以得到Φ在相应的区间的概率分布也是无差别的。我们从图像上就可以更清晰地看到：如图8所示，当θ在横坐标的区间[a，b]匀速运动的时候，它投射到任何一条斜线上的点在相应的区间[a，b]也是匀速运动的，如果投射到的不是斜线而是曲线上的话，如图9所示，在曲线上的动点就不再是匀速运动了。所以，要想θ和f(θ)使用无差别原则就需要它们之间的关系是线性的。

图8 图9

按照陈晓平的观点，在第一种答案里，除三角形顶点外的另一弦端点与顶点处圆切线的夹角形成的角度和弦中点到圆心的距离之间是三角函数关系，不是一阶线性的，所以该答案的计算错误地运用了无差别原则。而在第三种答案里，弦中点到圆心的距离与其中点分布的圆的面积之间是二阶的函数关系，也不是一阶线性的，所以也是错用了无差别原则而得到的错误答案。笔者认为其实不然，3种答案分别是将无差别原则运用于端点在圆周上分布时、弦中点在半径上分布时、弦中点在圆内分布时得到的。分别运用无差别原则时均没有产生错误，所以导致贝特朗悖论的本质原因并不是无差别原则的错误运用。那么究竟是什么导致的悖论呢？其实，是对所提出的问题审读时对随机选取弦的方式理解不同才导致了不同的结果，即前提不同。P1值时，端点是随机分布的，但此时对应的弦在圆内分布却是不均匀的。P2值时，弦在圆内是随机分布的。P3值时，弦中点是随机分布的但此时对应的弦在圆内分布却是不均匀的。笔者对于贝特朗悖论多解下随机分布的情况将另行讨论，此处集中讨论应用无差别原则导致的相关悖论问题。

对于贝特朗悖论的研究，有很多学者从不同角度给出了多种答案，现分析其中一例(图10)。

图10

图11

对于第四种答案提出的多种模型以及第五种答案，均是通过降维，用一维线段长度来计算。这类算法是对问题的过度抽象，这导致对应的实际模型会有无数种情况，所以计算结果已经完全脱离了题目本身在二维坐标下构建模型的含义，再讨论是否合理地运用了无差别原则也就显得没有意义了。这是完全不同于原有的3种经典解答的，经典的3种解答都正确运用了无差别原则，也都分别从自身角度解释了自己对随机弦的理解，虽然答案不一样，产生了悖论，但每一种答案都对应了一个准确的概率值，可以用实际实验进行模拟验证。第一种算法的1/3对应的是：弦的两个端点在圆周上是随机无差别分布的“随机弦”概率值；第二种算法的1/2对应的是：目前学者们普遍认为的弦在圆内随机无差别分布的随机弦概率值；第三种算法的1/4对应的是：弦中点在圆内随机无差别分布的“随机弦”概率值。虽然产生了悖论，但是学者们争论的焦点在于何为随机弦，当随机弦的定义得到统一和广泛认可后，悖论自然就会消除。笔者的分析对于无差别原则的重新认识有一定的启发，可以巩固使用无差别原则的合理性。

四、结束语

概率的逻辑解释是以无差别原则作为基本原则来确定初始的概率。对于无差别原则相关的悖论研究有利于巩固概率逻辑解释的基础。本文对无差别原则悖论中的酒水悖论和贝特朗悖论的多解进行分析解读，诠释酒水问题是由于在运用无差别原则时没有前后统一的一个不变的基准而导致的悖论。而贝特朗问题其本质并不是由于错用无差别原则导致的悖论，而是对原有问题转化为不同算法时采用了不同的前提假设。对于贝特朗悖论中，无论是经典的3种算法给出的各自对应的随机分布，还是第四、五种答案中转化采用的降至一维的解法等，其产生悖论的本质都不应该是对无差别原则的质疑，不论是在这5种算法还是在延伸的更多的算法中，都少不了对原有问题的转化。将问题转化确定后，在计算过程中正确运用无差别原则的前提下，还需要确定在同一个前提下的相关量之间如何进行正确的转化，而不能反复多次对不同的参数滥用无差别原则。贝特朗悖论的解决关键在于如何对随机弦定义进行统一，当弦的随机选取被统一和广泛认可后，会避免在转化过程中误用或滥用无差别原则等很多问题，悖论也就随之消失。本文是对这类悖论的剖析，是从结果出发，发现悖论产生的本质原因，并围绕无差别原则在整个计算过程中的合理性进行分析。本研究对无差别原则的重新认识以及对巩固概率逻辑解释的基础都有一定意义。

参考文献：

[1]KEYNES J M.A treatise on probability[M].Cambridge ：Cambridge University，Courier Corporation，1921：45.

[2]LAPLACE P S.Essai philosophique sur les probabilités[M].[S.l]:[s.n.],1814:320-340.

[3]颜青山.酒水悖论的几何化解决[J].科学技术哲学研究，2015(3):1-4.

[4]BERTRAND J.Calcul des probabilités[M].Paris:Gauthier-Villars，1889:4-5.

[5]GARDNER M.The second scientific American book of mathematical puzzles and diversions[M].Chicago:University of Chicago Press,1987:223-226.

[6]陈作清.关于贝特朗奇论的新见解[J].西北民族大学学报(自然科学版)，1998(1):64-65.

[7]JAYNES E T.The well-posed problem[J].Foundations of Physics，1973，3(4):477-492.

[8]陈晓平.无差别悖论及其解决[J].逻辑学研究，2013(1):49-71.

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