借助数学典型题教学培养学生的解题悟性

□陈　琳

（杭州市余杭区乔司中学，浙江杭州 311101）

所谓“悟性”，指人对事物的分析和理解的能力.那么，在日常的教学过程中，如何去培养学生的解题悟性呢？一定程度上是通过讲解习题或者一些典型的例题来完成的.因而，为了避免就题论题和题海训练，在上课前精选好一定量的习题是必要的，并且在习题教学中对一些典型题进行多角度、全方位、深层次的开发和挖掘，从而激发学生的潜在能力和探究能力.下面以一些典型题为例介绍笔者在这方面的探讨.

一、创设“悟”境　着力疑问　在思疑中启悟

（一）一问，二问，三问，需循序渐进

朱熹曾说过：“读书无疑者，须教有疑，有疑者，却要无疑，到这里方是长进.”[1]可见，“疑”是悟性的起因和动机.因而在解题的过程中，需要着力疑问，积极思考，进入“悟境”.因此，在教学过程中，教师需要适当地提一些认知水平在单一水平的问题，通过逐步搭起解题“脚手架”，进而过渡到高思维含量的问题，逐步递进.

案例1原命题：如图1，点P是△ABC两个内角平分线的交点，试探究∠BPC与∠A之间的关系.

在解决这道题时笔者先给学生设置了四个小题：

问题（1）：若∠A=60°，求∠BPC的度数？

问题（2）：若∠A=100°，120°，∠BPC又分别是多少？

问题（3）：由问题（1）（2）你发现了什么结论？当∠A的度数发生变化时，你的结论仍成立吗？

问题（4）：根据上述题目，适当改变问题的条件，请自编一道题，试再来探究∠BPC与∠A之间的关系.

图1　

问题（1）是一道基础题，从认知水平来看属于单一结构认知水平，学生可以通过三角形内角和为180°和角平分线的性质并且利用∠A=60°来解决问题（1），此时∠BPC的度数为120°.问题（1）的设置是为学生解决问题（2）搭好解题脚手架；问题（2）从认知水平来看属于多元结构层次，但其实与问题（1）殊途同归.此时抛出问题（3），让学生从（1）（2）两小题中发现规律，总结规律，经历从“特殊到一般”的思想方法.有了（1）（2）两小题的铺垫，学生在解决问题（3）时就变得轻松多了，可以得出∠BPC=90°+∠A这个结论.这个时候在学生思维高度活跃的情况下，给出问题（4），要求学生改变现有条件，再来探究结论.要完成问题（4）不难，因为问题（3）为学生解决问题（4）创设了思考的环境，学生在思维高度活跃的状态下自己出题并解题.这一看似简单的设置其实起到了画龙点睛的作用，是本节课的高潮之处.学生利用已有的知识储备去解决一些看似有变化其实未变的题目，实现思维创新，进而培养了学生创造性思维能力.因而，教师在处理一些例题时，需做适当改变，而这种改变，可以教师自己预设，也可以如上述案例中让学生设计，但都要做到由点及面，由浅入深.

（二）启发，提示，引导，需循循善诱

有效的数学课堂需要有大量思维和丰富情感.作为教师除了关注学生获得知识掌握方法的同时，还要注重对学生思维和情感的启迪.所以在平时的教学过程中，我们要常常使用一些启发性的提示语、引导性的发问词，促进学生思维和情感的积极参与.

案例1中问题（4）：根据上述题目，适当改变问题的条件，请自编一道题，试再来探究∠BPC与∠A之间的关系.

学生在处理“自编题”时，往往会感到无从下手.因此需要教师使用一些启发性提示语，从而促进学生思维的活动.

师：上述题目的条件是什么？

生：点P是△ABC两个内角平分线的交点.

师：好，如果要改变条件，你会从哪个点出发？

生：从△ABC两个内角的角平分线这个点出发.

师：那除了△ABC两个内角的角平分线，还可以是哪些角的角平分线？

（学生思考，教师等待）

生：三角形外角的角平分线.

师：好，那可以怎么改变？

生1：可以改成点P是△ABC两个外角平分线的交点.

生2：可以改成点P是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点.

……

合理运用启发性提示语和引导性发问词，能启发学生积极思考，更有利于让学生经历知识的产生和发展过程，形成发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的研究性能力，从而来提高数学思维活动的有效性[2].

二、动静结合　在静中思考　在辨中感悟 在做中获悟

（一）静中思考

在新课程实施之初，有很多教师认为数学课堂应该是“热闹的，生动的”，需要有游戏、讨论等课堂教学环节.课堂热闹，虽然解放了学生的天性，鼓励学生想说什么就说什么.但是有很多时候，学生往往会在思维能力较肤浅时迫不及待地说出自己的想法，你一言我一语，说完的学生认为“答题完毕”游离课堂；未说的学生失去了“答题的机会”也便作罢.这样的“热闹”并不是“数学课堂”想要的.数学是一门严谨的学科，数学课堂需要有适当的“热闹”场面来活跃思维，但也不应该缺少安静的独立思考.

（二）辩中感悟

数学课堂除了需要“安静”，有时候也需要给学生营造一些“思辨”的氛围.教师可针对学生提出的一些问题，把学生分为若干个小组进行讨论，每个小组确定一位发言人发言.在小组成员发言的过程中，不同组的成员只能静静倾听并作记录，而同组成员可以在发言人发言完毕后作适当补充.待集体发言完毕后，再鼓励不同组的成员提出意见并且补充.这样的小组内集体讨论的方法，通过组内交流，组间分享，就会产生思维的碰撞，从而激发学生更多的思考和想法.因而，在数学教学过程中可以适当地运用这种方法进行数学解题悟性的培养.

（三）做中获悟

华盛顿儿童博物馆墙上有句格言：“我听见了，就忘记了；我看见了，就记住了；我做过了，就理解了.”这恰好说明“听数学”与“做数学”的本质区别.因而，教师在教学过程中应当有目的地去引导学生进行动手操作、实践探索、归纳总结等数学活动，学生通过自己亲身的参与，最终理解问题和解决问题.

案例2对“三角形两边的和大于第三边”的探索.

两名学生一组，并事先准备四根长度分别为2cm、3cm、4cm、6cm的硬纸条，纸条粗细一定.

探索1 请你选择其中的3条组成三角形，最多能组成几个三角形？

学生通过动手操作发现，只有2cm、3cm、4cm和3cm、4cm、6cm两种情况能组成三角形，继而便产生这样的疑问：为什么2cm、3cm、6cm和2cm、4cm、6cm不能组成三角形？从而引导学生提出疑问：三条线段的长度满足什么条件时才能够组成三角形？

探索2三角形任意两边之和与另一边的数量关系是怎样的？

每组同学任意画一个三角形ABC，通过量一量，比较三角形的任意两边的和与第三边的大小关系，形成“三角形两边的和大于第三边”的结论.

探索3 当三条线段满足什么条件时，才能组成三角形？学生在组内讨论和组间讨论的数学活动中，利用手头的硬纸条的情况将三条线段能组成三角形的判断条件归纳为“较短的两条线段之和大于最长的线段”.

学生在“做数学”中学到知识，提高了他们的实践能力，也培养了他们的创新意识.

三、设置变的情境 在变中领悟

数学课堂中要积极创设“变”的情境，“变”能使学生在掌握已有知识的前提下，拓展创新.在教学过程中，例题讲罢，变式跟上，有效的变式训练，能提高学生举一反三、触类旁通的能力.

（一）一题多变，妙变

叶圣陶教育思想的核心表述是“教是为了达到不需要教”[3].所以不应该让学生养成为解题而解题的习惯.而应该引导学生在获得题目答案的同时，更主动去探究一下出题者的出题意图，包括题目中的条件设置，题目中的结论设置，以原题中的条件和结论作为出题的素材，主动去探究新的问题.很多时候，学生解题的能力是单一的，只会解“一道题”而不会解“一类题”.通过鼓励引导学生对题目的条件和结论的再创造，从而训练学生从一个问题抓一类问题，从特殊问题抓一般问题的能力.

案例3原命题：如图1，点P是△ABC两个内角平分线的交点，则

图2　

我们将上述命题中的条件改变后形成命题（1）：如图2，点P是△ABC两个外角平分线的交点，则

此时我们只要综合利用三角形的内角和等于180°、三角形的外角的性质和角平分线的定义，通过等量替换，就可以得出上述结论.

当然我们可以继续将原命题的条件改变，形成命题（2）：如图3，点P是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则此时我们只要利用角平分线的定义和三角形外角的性质，依然可以很容易证明.

除了改变条件我们也可以改变结论，形成命题（3）：如图3，点P是△ABC一个内角平分线BP与一个外角平分线CP的交点，连接AP，证明：AP是△ABC的一个外角平分线.

当然在解决此题时我们需要利用角平分线的性质和判定来证明.

变题训练可以通过改变条件或者改变结论.但是不管怎么改变，作为教师应该明白变题训练首要原则是基于学生已经较牢固地掌握了相应的公式法则和解法.否则，一味为变而变，就无多大意义了.

图3　

（二）一题多解，巧解

解数学题是探索问题之间的关系，选择合适的解题方法.“一题多解”是指从同一解题条件出发，多角度、多维度去理解问题、分析问题、解决问题.在教学过程中，有效地引导学生去“一题多解”，是培养学生思维能力的高招.

案例4鸡兔同笼问题是我国古代著名的趣题之一.在同一个笼子中，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问笼中鸡有多少只？兔有多少只？

鸡兔同笼问题是一个经典问题，其解法众多，比较典型的有砍足法、试凑法、假设法、观察法、方程法、演绎法等.学生在对这些解法的讨论中，自发地运用已有的知识储备，不断地反思和探索，最后在不知不觉中，各种方法顺势而生，自然而成.

（三）一题多用，奇用

“一题多用”是指在解题的过程中，有效地利用题目的条件或者结论来借题发挥，找准题目的本质特征，从而来解决一类题目.

应用上面案例3的结论能解决一些复杂问题.

如图4，PB和PC是△ABC的两条外角平分线.

（1）已知∠A=80°，请直接写出∠P的度数.

（2）图中△BCP按角分类属于什么三角形？

图4　

本题第（2）题根据案例3中命题（1）的结论∠P=90°-∠A，和三角形外角的一半所形成的角都是锐角，可以判断该三角形是锐角三角形.

如图5，在△ABC中，BP1平分∠ABC，CP1平分∠ACD，BP2平分∠P1BC，CP2平分∠P1CD，… 其中∠A=96°，则∠P4=__°.

图5　

如图6，BP是△ABC的内角∠ABC的角平分线，CP是该三角形的外角∠ACD的角平分线，两条角平分线相交于点P，若∠BPC=50°，求∠CAP的度数．

解析在解决此题的时候，首先可以利用案例3中命题（2）的结论，得到∠BAC的度数是100°，再根据案例3中命题（3）的结论，得到AP是此三角形的外角的角平分线，从而计算得：

图6　

很显然，如果没有对上述例题进行思考运用和积累，要能够在短时间内做出这些题目是很不容易的.

教师是传道授业解惑者，教师也应是学生学习动力的激发者.解题悟性作为一种特殊的素质和能力，它的培养需要教师去潜移默化地影响，更需要学生持之以恒地练习.因此数学教师可以习题为载体，在数学教学中需要精选题，选好题，并适时小“题”大作，从而不断激发学生的思维.当我们跳出题海，在解决问题的关键时刻，便会眉头一皱，“悟”上心来.□◢

参考文献：

［1］孙培青.教育名言录［M］.上海：上海教育出版社，1984：87.

［2］叶圣陶.叶圣陶教育文集［M］.北京：人民教育出版社，2002：539.

［3］王长富.培养学生解题能力经验刍议［J］.大观周刊，2011（46）：76.