高三解析几何最值问题复习教学的实践设计与思考

丁亚萍

[摘  要] 包含3个A级考点、6个B级考点以及2个C级考点的解析几何一直是高考的重点，思想性强、运算量大且题目灵活多變的解析几何却也一直是学生考试中的拦路虎，高三教师在解析几何的复习教学中应该怎样帮助学生寻得制高点而获得突破是值得大家思考的问题.

[关键词] 解析几何;设计;反思

即使是高考在即的高三学生，面对有些解析几何练习仍会存在一定的畏惧心理，很多学生面对某些解析几何练习题甚至一点思路全无，这对于即将参加高考的学生来说是一种极为不好的局面，那么，高三教师在解析几何的复习教学中应该怎样帮助学生寻得制高点而获得突破呢？笔者以此为思考进行了解析几何最值问题课堂教学的设计与反思.

学情分析

高三学生经过一轮系统复习之后基本都已建立了一定的知识模块体系，在二轮复习过后大多学生也在数学思想方法的提炼上有了自己的心得与体会，解题能力在两轮系统复习之后有了明显的提升，不过，大多学生在知识的整合方面显示出的能力仍比较欠缺，解决解析几何问题的方法比较单一.

教学目标

（1）帮助学生巩固解析几何最值问题的求解方法;

（2）帮助学生将转化、构建函数、数形结合等思想进行有机统一与充分体现;

（3）帮助学生在复习中巩固解析几何双变量的处理办法;

（4）使学生在学习中树立起举一反三、刻苦钻研的数学精神.

教学设计

例：已知抛物线y2=4x与点A（1，0），抛物线上的点到A点距离的最小值为________.

设计意图：题中A点实际上是y2=4x的焦点，引导学生对抛物线焦点与准线问题进行相互转化是本题设计的主要意图，最小值为1时抛物线上的点是顶点O（0，0），这在图形的直观支撑下都很容易得到. 这对于本堂课的教学来说只是一个热身.

变式1：已知抛物线y2=4x与点A（4，0），则抛物线上的点到A点距离的最小值为________.

变式2：已知抛物线y2=4x与点A（a，0）（a>0），则抛物线上的点到A点距离的最小值为________.

设计意图：变式2在例题与变式1的基础上使点A沿着x轴的正方向运动了起来，学生在其运动的过程中进行观察与探索并体会到了最值的变化，发现当02时，在y2=时取得最小值. 转化与分类讨论这两种思想在本题的设计中得到了有机整合，学生能够在这样的设计与变式中明白数形结合在解题中产生的价值.

变式3：已知抛物线y2=4x与直线l：x-y+4=0，P是抛物线上的点，则点P到直线l距离的最小值是________.

设计意图：这是研究曲线上的点到定直线的最短距离的变式问题，点点距离的最小值到点线距离的最小值问题实现了点到线的过渡，教师在教学时可以引导学生采取以下方法来解决：①将题意所求转化成与l平行的直线和抛物线相切的问题并通过两平行线间的距离使此题得解;②设抛物线上任意一点P（x，y），然后根据点到直线的距离公式建立函数关系式并使此题得解.

变式4：如图1，已知抛物线y2=4x与直线l：x-y+4=0，P是抛物线上的点，且点P到直线l、y轴的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值是_______.

设计意图：变式4在变式3中单变量的基础上拓展转化成了双变量，转化思想在这一变式中得到了很好的巩固. 教师在教学中可以引导学生进行双变量处理的初步尝试：固定一个变量之后将其转化成单变量，所以d2=PQ-1=PF-1，d1+d2=d1+PF-1，即求d1+PF的最小值.

变式5：如图2，已知抛物线y2=4x和圆C：（x-3）2+y2=1，P，Q分别是抛物线和圆上的动点，则PQ的最小值是______.

设计意图：变式4与变式5研究的是双变量问题，前者是直线与圆锥曲线之间的问题，而后者是圆锥与圆锥之间的问题. 双变量的处理原则在此题中得到进一步运用的同时也使知识体系得到了完善，点点、点线、直线与曲线、曲线与曲线之间的整合在此题的设计与解决中得到了更好的整合. PQ的最小值转化成了PC-1的最小值.

教学反思

1. 复习应立足学生认知水平

教师在备课时应充分考虑学生的实际情况并找准教学的受力点进行教学的设计，应着眼于知识与技能、过程与方法、情感态度价值观这三个具体的目标对教学的各个环节进行有意义的分析与思考，致力于学生眼界的开拓并展现出复习教学应有的科学性与针对性.

2. 复习应以考试说明作指南

明确考试内容与难度的《考试说明》对于高三数学复习教学来说是一种指南，考试说明对于基础知识、技能与思想方法的考查进行过再三的强调，因此，高三数学教师在教学中首先要做的便是对考试说明的认真研读，在研读中将命题指导思想、历年来的命题方向与趋势、高考的新动向、可能出现的新题型进行仔细的研究与把握，然后再根据自己的研究所得与学生实际情况制定出详细的复习计划，使复习教学能够在明确目的、周详计划的指引下有的放矢地进行. 本节课的复习教学正是围绕《考试说明》所提出的要求而具体设计与进行的，教师在复习中依托《考试说明》的具体要求并结合抛物线这一载体实现了点、直线、曲线、抛物线这些知识的有机整合，教师和学生在本课的复习课堂教学中顺利达成了双赢. 在知识网络交汇点处设计试题是《考试说明》明确强调过的，因此，教师在复习教学中首先就应具备运用交汇点的意识与策略，否则学生在应对交汇点的命题时都会感觉力不从心.

3. 复习应具备一定的深度

包含3个A级考点、6个B级考点以及2个C级考点的解析几何一直是高考的重点，学生对这一部分的知识往往也会感觉困难重重. 若想学生能够在高考解析几何试题中取得理想的成绩，高考究竟怎么考是基础知识的复习之外又一重要的问题. 历年来的高考试题中都会出现一道难度较大的解析几何解答题，而且此解答题所考查的内容一般都是轨迹、直线与圆锥曲线位置关系、圆锥曲线的最值与定点定值等问题. 历年高考试题的分析往往能够使教师对高考的题型建立直观的感受，并在复习教学中迎合高考的模式设计出更有意义和深度的题目或变式，围绕相关知识进行串联并进行基本的演变，使学生在针对性的复习教学中获得有意义的锻炼.

4. 复习应注重知识的整合

思想性强、运算量大且题目灵活多变的解析几何一直受到高考命题者的青睐，围绕解析几何内容而设定的试题也一直是学生考试前行的拦路虎. 解析几何的试题在这么多年的高考试卷中出现不可能一成不变，但解析几何内容所蕴含思想以及对坐标法的考查却一直是解析几何试题的根本，解析几何的思想就是通过方程研究曲线，它的方法即为坐标的方法. 事实上，展现解析几何课程缩影的“椭圆”这一节知识的学习展开过程对于解析几何学科特色的体现来说是最为合适不过的. 本课中曲线的最值问题在点、直线、圆、抛物线相关知识的整合以及坐标、平面几何性质的支撑下得到了很好的研究，部分曲线的研究在类比推理中是能够延伸至整个解析几何领域的. 例如，变式3还可以进行变化：已知椭圆4x2+9y2=1与直线l：x-y+4=0，P是抛物线上的点，则点P到直线l距离的最小值应为多少？问题在这样的变式中转变成了直线与椭圆的相关研究，椭圆的参数方程等内容很快得以引出. 复习效果的爆破力在同一知识点或同一解题方法的不同角度分析与助推中得到了惊人的提升，因此，教师在高三复习教学中一定要借助数学知识的整合并使其形成一股巨大的合力，引导学生在复习中不断深化、掌握对解析几何思想以及坐标法的认识与理解，这是复习解析几何万变不离其宗的地方.

高三最后的复习虽然紧迫且面临高考的挑战，但教师立足学生并从学生实际学情、解析几何的本质出发进行复习始终是不可能错的，与此同时，教师还应依托基本点对交汇点进行关注并将所有的合力集于一身，在解析几何复习的制高点寻求突破并最终使其绽放出最美丽的成功之花.