深入探究高考题，解后反思练思维

赖国强

[摘  要] 近几年高考压轴题中出现了众多优秀的考题，这些考题隐含着一定的学习价值，对于学生认识高考命题方向，学习解题思路构建，提升解题思维有着极大的帮助，因此十分有必要开展解题反思学习. 以一道高考解析几何题为例，进行深入探究，并从考题出发开展解后反思，提出相应的教学建议.

[关键词] 解析几何;多解;思路;方法;反思;思维

考题再现

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程;

（2）设点O为坐标原点，试证明∠OMA=∠OMB.

思路突破

1. 第一问突破

求直线AM的方程，实际上就是求点A的坐标，而点A是过椭圆C的右焦点的直线与椭圆的焦点，因此只需要表示出直线l的方程，然后与椭圆解析式联立求解即可.

2. 第二问突破

求证∠OMA=∠OMB，考虑到两个角分别为直线AM和MB与x轴所成的锐角，可知若∠OMA=∠OMB，则直线AM的斜率kAM和直线BM的斜率kBM互为相反数，即kAM+kBM=0，因此问题转化为求证两者斜率之和为零的问题，只需设出直线l的方程，联立方程求直线斜率即可.

方法一：直线纵截式方程，考虑斜率不存在与存在两种情形

讨论情形①：当l与x轴垂直时，则OM垂直平分直线AB，此时∠OMA=∠OMB.

综上，原式得证.

方法二：直线横截式方程，考虑斜率为零与不为零两种情形∠OMA=∠OMB

讨论情形①：当l与x轴相重合时，∠OMA=∠OMB.

综上，原式得证.

思考：上述两种方法分别构建了直线的纵截式方程和横截式方程，从问题的构建思路来看是相一致的，都是基于直线的倾斜角与斜率的关系进行的问题转化，通过方程的联立完成代数式的研究，是利用代数方程进行的几何问题研究，属于解析几何最为基本的解法. 而求解两个角的相等，我们可以單纯地从几何性质角度进行思考，将OM视为是△AMB顶角∠AMB的角平分线，则根据角平分线的性质可以得出一些关于三角形边长的性质.

解后反思

上述考题是高中解析几何的典型问题，尤其是第二问与几何角相等的结合，更能体现出数学的学科融合思想，同时问题的求解思路和采用的方法具有一定的代表性，下面将从考题本质入手开展问题转化、多解探析、结论拓展等方面的解题反思.

1. 深入剖析，问题转化

上述考题的核心是第二问求证曲线上所形成的两个角相等，表面上属于典型的几何问题，但剖析上述求解过程可以发现其背后隐含着深刻的数学规律，如解法一和二的代数视角，求解几何角相等实际上就是求证两条直线的斜率关系，即通过求证直线斜率之和为零得出“直线的倾斜角互补”的结论，进而完成等角证明. 而解法三虽然基于的是数学的几何视角，但其求证过程则充分利用了具有角平分线三角形中的边长比例性质，进而将等角问题转化为求证几何边长的比例问题. 从中可以看出复杂问题的解题关键是对问题的合理转化，打开问题求解的突破口.

2. 方法多解，全面思考

“全面思考，严谨推理”是数学问题所需要遵循的指导思想，即深入研究问题，考虑问题全面，严格按照数学的逻辑进行推理论证，如上述考题解法一和二，按照直线l与x轴的关系将其分为两种情形，采用分类讨论的方式进行严格论证，确保了答案得出的准确性. 近几年的高考数学题特别注重对学生全面思考的考查，这就要求我们在分析问题时多思考问题存在的情形，必要时设定一定的标准进行讨论求证. “全面思考，严谨推理”不仅是解题的基本要求，也是一种解题的习惯，养成良好的解题习惯对于问题的准确作答十分重要.

3. 结论拓展，强化应用

数学的解题过程不仅止于问题本质，而在求解结束后十分有必要对考题进行拓展，包括变式拓展和结论的拓展，尤其是对于其中一些具有代表性的考题，在拓展的过程中可以加深学生对考题本质的理解，对问题解法的理解.

教学思考

1. 深度研究考题，开展解后反思

在历年的高考中都存在一些优秀的、具有代表性的考题，这些考题对于我们研究高考命题方向、分析解题方法有着重要的帮助，而研究考题需要通过两个环节：一是细致地解读考题，亲身分析计算;二是进行解后反思，深度剖析考题的本质，解题的方法. 其中后一环节是考题研究的关键，决定了考题学习的高度和深度. 在教学中开展解后反思，应该按照如下顺序进行思考：①考题所涉及的知识内容;②考题的问题本质、转化途径;③如何结合问题和条件构建求解思路，有哪些构建的方向;④求解过程用到了哪些方法，需要注意哪些关键点;⑤从考题求解的过程中可以得出哪些结论，并适度拓展.通过上述的反思问题引导全面认识考题，获取考题中的精华.

2. 利用解后反思，提升解题思维

教学中开展解后反思，引导学生由问题出发思考知识点、问题本质、转化方式、构建方式和解题方法，实际上就是让学生学习解题的思路，从而形成自我的解题策略，而分析解题思路的过程对于提升学生的思维能力有着极大的帮助，也是开展解后反思的重要意义所在. 学生的解题能力直接由其思维能力来决定，只有充分提升学生的解题思维，才能从本质上提升学生的解题效率. 利用解后反思提升学生思维，需要注意两点：一是充分引导学生研究考题的方法，包括基本的构建方法和解题指导的思想方法;二是适度引导学生对考题的结论进行延伸，开展考题的拓展学习. 利用考题开展解后反思，让学生在反思中进行思维拓展，充分利用考题的价值，使学生获得长久的发展.