借助已有认知提升直观探索的严谨性

伍愈文 向秋华

《三角形内角和》是北师大版四年级下册第二单元的教学内容。教材中充分借助几何直观帮助学生探究三角形的内角和：一是测量求和法；二是剪拼法；三是折拼法。这三种方法，无论哪一种，客观上都是存在误差的，不足以让人相信。我们通过课前调查与访谈，发现有一部分学生知道“三角形的内角和是180°”。知道的途径一是家长或者同学的告知，二是看书或者通过网络了解，三是之前认识过三角尺，从它们三个内角的度数知道，但对于为什么是180°，却不明所以。

考虑到北师大版数学教材的编排是按照循序渐进、螺旋上升的原则进行的，即各册的教科书、教科书各单元之间有着较为严密的知识体系和承接关系，我们设想：能不能结合学生的已有认知，借助几何直观，引导学生去处理、体验数学探索的严谨性？下面就以《三角形内角和》的教学为例，谈谈这方面的尝试与思考。

已有认知——引发直观探索严谨性的源起

在四年级上册第二单元《角的度量（二）》中，学生认识了三角尺，知道了三角尺虽然大小不同，但只有两种，每种三角尺上三个角的度数都是固定的，分别是：90°、60°、30°；90°、45°、45°。考虑到学生的已有认知，教师将《三角形内角和》一课中的情境图改为两个直角三角形的争吵：

究竟谁的内角和大？学生略做思考，就有了准确的判断：两个直角三角形的内角和相等，是90°+60°+30°=90°+45°+45°=180°。是不是所有直角三角形的内角和都是180°呢？一石激起千层浪，学生的探究欲望得到调动与激发。

已有认知——奠定直观探索严谨性的基础

将学生分成四人小组，每组一个学具袋，袋中有3个大小不一的直角三角形，还有2个完全一样的直角三角形。小组成员在小组长的组织下，开始了合作探索。

在《角的度量（二）》一课中，学生学习了量角的方法。他们很自然地想到了用量角器量出三个角的度数，然后加起来看是不是180°。由于误差的存在，测量的数据很接近180°。

在四年级上册《旋转与角》一课中，学生认识了平角，知道180°的角就是平角。于是，他们想到了将三角形的三个内角撕下来，再把它们拼在一起，看能不能组成一个平角，探究过程如下图：

同理，将三个角折起来拼在一起，能不能组成平角呢？他们想到了两种折拼的方法，如下图：

上述探究方法，是学生对已有认知的理解与应用，但是无可避免地误差，对三角形内角和定理的推导带来了一定的困扰。怎样才能找到一种直观的、没有误差的、学生又能理解的，还能帮助学生相信“三角形的内角和是180°”的方法呢？

已有认知——构建直观探索严谨性的工具

在四年级下册《三角形分类》一课中，通过剪一剪的活动，学生明白了两个完全一样的直角三角形可以拼成长方形或者正方形。为了帮助学生突破迷惑，感悟直观探索的严谨性，我们做了如下的教学尝试：

师：同學们很能干，用自己的办法研究了三角形的内角和。淘气的办法和你们的不一样（多媒体演示：两个直角三角形分别从左、右两边飞入，并重合）。你们有什么发现？

生1：这是两个完全一样的直角三角形。

师：很会观察。（动画演示：两个三角形向左右分开）我们给除直角以外的四个角标上数字序号。仔细观察，你们发现了什么？

生2：∠1=∠4，∠2=∠3。

师：为什么？

生2：因为∠1和∠4重合，∠2和∠3重合。

（动画演示：其中一个直角三角形通过旋转、平移，与另一个直角三角形拼成长方形。）

师：现在，你们又有什么发现？

生3：因为长方形的四个角都是直角，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°。由于∠1=∠4，∠2=∠3，所以∠1+∠2=∠3+∠4=180°÷2=90°。灰色三角形和白色三角形的内角和都是90°+90°=180°。

师：那么任意一个直角三角形，它的内角和又是多少呢？

生4：180°。

师（追问）：为什么？

生4：因为只要是两个完全一样的直角三角形，就可以拼出一个长方形或者正方形，而长方形和正方形的四个角都是直角，四个直角的和是360°。按照上面的推断方法，就可以证明每一个直角三角形的内角和都是360°的一半，也就是180°。

师：大家同不同意他的意见？

生（齐）：同意。

其实，在预设这个教学环节的时候，笔者心里很是纠结，因为“平行线之间，内错角相等”是七年级的学习内容，如果渗透这个知识，既拔苗助长，又不符合学生的认知规律，学生理解难度很大。怎样才能突破这个学习难点？琢磨了很久，直到想到两个完全一样的直角三角形重叠角的大小是相等的。事实证明，当学生借助直观推理得到直角三角形的内角和时，他们的体验和前三次的操作体验是截然不同的，因为这次是笃信。

已有认知——升华直观探索严谨性的法宝

在坚信直角三角形的内角和是180°的基础上，又有了如下的教学片断：

师：请一、二组的同学在草稿本上随意地画出一个钝角三角形，三、四组的同学在草稿本上随意地画出一个锐角三角形，试试看能不能利用直角三角形的内角和探究出钝角三角形和锐角三角形的内角和。

（学生独立思考、探究。随着时间的推移，学生们举起的手越来越多。）

师：谁来与大家分享一下你的研究方法与结论？

生1：我研究的是钝角三角形的内角和。我将钝角三角形分成了两个直角三角形（展台展示如下）。两个直角三角形的内角和是360°，但是那两个直角不是钝角三角形的内角，所以要减掉，360°-180°=180°。

师：大家认同他的方法吗？

生2：认同。这样可以把一个任意的钝角三角形分成两个直角三角形，从而得出钝角三角形的内角和都是180°。

师：那锐角三角形的内角和呢？

生3：和研究钝角三角形的内角和的方法是一样的。将锐角三角形分成两个直角三角形（展台展示如下）。两个直角三角形的内角和是360°，减掉不是锐角三角形的内角的两个直角，也就是360°-180°=180°。

师：所以，你们的结论是——

生4：锐角三角形的内角和都是180°。

生5：只要是三角形，它的内角和就是180°。

数学学习心理学研究表明，儿童获得一个数学概念的过程是以线形方式从动作表征到图像表征，最后到符号表征的，而抽象的数学结论总能找到相对直观的表征与解释。因此，几何直观不仅是学习数学的好方法，更是学习数学的一种思想。我们要充分考虑到学生的已有认知，从数学发展的全局着眼，结合具体的教学内容，将几何直观的思想转化成探索数学问题的有效工具，帮助学生体验数学直观探索的严谨性，逐步形成较强的几何直观意识与能力。

（作者单位：五峰土家族自治县实验小学）