高中数学函数解题思路探究

孙金君

(江苏省苏州市吴江汾湖高级中学 215200)

普遍高中数学教师认为高中数学的解题思想方法包括两种，一种是熟练运用各种知识点进行解答，另一种是能够熟练地运用数学思维进行解答.而函数问题的解答正是包含了这两种思想方法，即函数思想.

一、用函数思想解决方程式问题

很多数学问题的解答都用到了方程式，高中数学常用的方程式有一元二次方程、二元一次方程等，一般能够用方程式所解答的数学问题都是为了解出不等式中的未知数.虽然简单的方程式求解用不到函数，而且方程和函数概念之间的差异性较大，但很多函数问题却依附于方程进行解答，二者之间互相利用.当我们用一个解析式来表示函数的时候，函数可以等同于方程，例如三角函数中的余弦可以用方程y=sinx表示.所以在利用函数思想进行解题时，把函数作为一个方程，更容易得出答案.这样做题可以把复杂的知识简单化，达到举一反三的目的.将函数问题结合方程式进行解答，方程式最后得出的未知数的解，利用函数图象表示其实就是其中的交点.函数和方程的结合产物就是函数方程，函数方程包括三角函数方程y=cosx，对数函数方程y=logax等.在解答有关函数方程问题的过程中，大致可以分为两种解答方法.第一种方法是针对题目类型简单的而言，可以进行直接求解方程式的方法，但是需要认真计算，不能马虎，耗费的时间较多，稍微复杂的题型就会加大难度.第二种方法是对于不能直接求解的题目而言，可以将函数方程转换为函数图象的方法，在解答的过程中需要对函数的图象性质进行分析，得出最终结果.

二、用函数思想指导数列问题

高中数学的数列问题也是一个重难点内容，等差数列和等比数列的复杂化容易使学生产生迷惑，等差数列或是等比数列一般都是以一组按顺序排列的数字为题，其中每个数字都属于这个数列中的一个项，在解决高中数列的问题时，可以把数列问题看成项数的函数问题，那么数列的通项公式就变成了函数公式.在解决一些复杂的高中数学数列问题的过程中，可以把函数思想应用到数列的问题当中，可以利用函数的多变化等特性，灵活运用函数解题思想，将复杂的数列求解过程简单化，将没有思绪的数列问题清晰化.例如这样一道数列题:

已知等差数列{an}中，a1+a4+a7=15，a2a4a6=45，求数列的通项公式.因为a1+a7=a2+a6=2a4，所以a1+a4+a7=3a4=15，所以a4=5.所以a2+a6=2a4=10且a2a6=9.所以由此可以解得a2=1，a6=9或a2=9，a6=1.如果a2=1，a6=9，那么d=2,所以an=2n-3.如果a2=9，a6=1，那么d=-2，所以an=13-2n.由此可得，an=2n-3或an=13-2n.解决此类问题的一般过程都是以等差数列的基本性质为依据，此题中所涉及的有关性质为，如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq.但如果m+n=2p，那么am+an=2ap，m、n、p、q∈N*.通过列出有关方程或者有关方程组进行求解，这样的方法其实都涉及了函数中的以有知解未知的思想.

三、利用函数进行数学题的优化

高中数学中的难点问题多之又多，而所有数学问题的设计，彼此之间都有着千丝万缕的联系，而函数思想作为一个重要的解题思想，在很多具体问题的优化解答中扮演着重要的角色，起到了关键的作用.在解决具体实际问题时，能够为数学问题的解答提供更简单更系统的思路.数学问题更多的是解决生活中的实际问题，生活中存在着许多变量之间的各种关系，例如驾车行驶了一段路程，那么就要考虑这段路程上的时间和速度等变量之间的关系，在生产上要考虑物品的价格和生产总数的关系，采购问题、人口统计等诸多实际问题都涉及了函数的变量.高考的数学中的很多问题其实都是根据实际问题进行改编，如果能在这样的题型中运用函数思想优化问题，那么就可以大大缩短思考问题的时间，而且可以引导学生正确地解答题目.例如，在以路程为主题的问题当中，往往会涉及很多的变量，而我们在解答路程问题时，可以把总路程设为y，路程以外的速度变量或者是时间变量可以设为x，然后整合出关于y与x的函数方程问题，让具体的问题变成关于函数方程的问题进行解答.通过数量的相互关系，建立一个基本的数学模型，然后再代入其中的数值，利用相关知识求出结果.许多复杂的数学问题都比较抽象，直接观察不能得出结果，甚至没有头绪，在这样的问题解答时往往可以利用函数的图象进行分析，首先可以把变量关系以函数方程的形式表现出来，然后用函数图象的形式描绘出来，通过函数图象可以优化问题的思路.

综上所述，高中数学函数解题思路主要是在了解函数的性质和概念的基础之上去运用函数的性质和图象来进行解答数学题.要想探究出一套合理的高中数学函数解题思路，需要数学教师为学生们讲通函数的性质，为其多列出相关的数学例题，让学生们不断积累解题经验.并且，教师还需要在此基础之上去探究函数思想与其他类型数学题之间的联系，为数学领域的不断开拓做出贡献.

参考文献：

[1]韩云霞，马旭.浅谈函数思想在高中数学解题中的应用[J].宁夏师范学院学报，2016(03)：92-95.

[2]浦佩华.高中数学解题中如何运用函数思想[J].数理化学习(高三版)，2015(05)：3-4.

[3]邹丽丽.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].高中数理化，2014(22)：6.