以素养立意的数学课堂教学思考——以《方程的根与函数的零点》教学为例

蒲锦泉

（莆田第一中学，福建 莆田 351100）

高中数学教学活动的关键是促使学生学会数学思考，为学生创设会学数学、会用数学的情境。数学教育的根本任务是提升学生的数学核心素养，那么采取什么办法可以使数学核心素养有效地落地?章建跃教师认为，从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加以思考，是落实数学学科核心素养的关键途径，需要教师改进教学的方式以适应这一要求。下面以《方程的根与函数的零点》为例进行分析与思考。

一、教学设计理念

本节以素养立意，遵循“问题、探究、建构、应用”的活动过程，以层层递进的“问题串”引导学生学习，运用从特殊到一般的研究策略，基于数学本质而进行教学流程的优化和“再创造”，积极启发学生思考。促进学生逐步学会观察联系、发现问题、提出问题、逻辑分析、寻找材料，辨析验证、得出结论，经历数学概念与定理的生成过程，感悟蕴含其中的数学思想与方法，逐步学会批判性思维、学会数学运用和创新。教学中既关注知识的生成过程，又关注学生的体验，重在鼓励、激发和唤醒学生。

二、教学过程框架

1.问题1数学中许多问题最终是转化为方程求解问题，如何求解方程lnx+2x-6=0？

设计说明：设置问题情景，引发认知的冲突，促使学生认识到有些复杂的方程用以前的方法难以求出根，需要寻找解决问题的一般方法，学会提出、生成数学问题。

2.问题2探究方程f（x）=0的根与函数y=f（x）的联系。

先探究一元二次方程的根与相应二次函数间的联系，分别以方程x2-2x-3=0、x2-2x+1=0、x2-2x+3=0引导学生思考，并推广得到：

结论1：一元二次方程的实数根就是二次函数图象与x轴的交点的横坐标；一元二次方程有实数根等价于二次函数图象与x轴有交点。

结论2：方程f（x）=0的实数根就是函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标，方程f（x）=0有实数根等价于函数y=f（x）图象与x轴有交点。

3.零点概念为叙述方便起见，引进函数的零点的概念，并得到三个等价关系：

方程f（x）=0有实数根⇔函数y=f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y=f（x）有零点。

4.概念应用

例1（1）函数y=2x-2的零点是_____；（2）函数y=2x-3 的零点是_____；（3）函数 y=log2（x-1）的零点是____；

5.问题3探究函数y=f（x）在区间［a，b］上存在零点的条件。

师：观察函数y=x2-2x-3的零点的特征。在零点-1的两侧，从左往右看，函数值由正变负，函数图象穿过x轴，函数就有零点，同理考察零点3，那么函数图象穿过x轴如何用数学符号来描述呢？由这些你归纳出问题3的条件吗？

生：函数f（x）满足f（a）·f（b）＜0。

6.问题 4 若函数 y=f（x）在区间［a，b］上满足 f（a）·f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有一定有零点？

生：连续函数。

师：你能举例说明吗？

师：还有补充？

生：f(x)={x+1,x≥0,在区间［-1，2］上满足（fx-1,x＜0.1）·（f2）＜0，但在区间（-1，2）内无零点。

7.问题5若函数f（x）满足f（a）·f（b）＞0，则函数f（x）在区间（a，b）内一定有零点吗？

生：不一定，引导观察二次函数y=x2-2x-3的图象在区间（-2，4），（4，5）的情况说明。

师：生活中有没有类似上面所讲的情况吗？如果温度从3℃变到-6℃或者-3℃变到6℃，其间是否经过0℃?温度从3℃变到6℃，其间是否经过0℃?

8.生成定理

如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b）使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。

9.定理的理解及辨析：

例2下列说法是否正确？不对的请举出反例（画出图象）。

（1）如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 f（a）·f（b）＜0，则函数 y=f（x）在区间（a，b）内有唯一零点。

（2）如果函数y=f（x）在区间［a，b］上是增函数，并且有f（a）·f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有唯一零点。

（3）已知函数y=f（x）在区间［a，b］上连续的，若在区间（a，b）内有零点，则f（a）·f（b）＜0。

总结：函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线：

（1）若f（a）·f（b）＜0，且函数y=f（x）在区间（a，b）内单调，则函数有唯一零点；

（2）函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点未必有f（a）·f（b）＜0。

10.定理应用

例3求函数f（x）=ln x+2x-6的零点的个数

学生自主探究。

法一：可先画出草图，结合性质、试验、并加以判断。

法二：在同一坐标系中分别画出y=lnx与y=6-2x的图象，两函数图象交点的横坐标即为原函数的零点。由图象可知，原函数有唯一零点。

问题6两种方法有何联系与区别？

设计意图：让学生认识到两种方法的本质是一致的，即F（x）=f（x）-g（x）的零点就是函数y=f（x）与y=g（x）图象交点的横坐标，在求方程的近似解时用法一比较方便；当y=f（x）与y=g（x）的图象容易画时，分离函数来判断零点个数可能比较方便。

11.反馈练习

（1）函数 f(x)=(x2+2x+1)(x2-2x-2)的零点个数为______；

（2）判断方程x2-2x-2=0的根大概在什么区间内（多种思路）；

（3）函数f（x）=2x+x-3的零点是________；

（4）方程2x+x2=2的根的个数是多少？

思考：你能归纳判断函数零点个数有哪些方法吗？

12.归纳提升从知识、方法、思想等角度归纳提升，形成整体认识。

13.课后思考

（1）ln x+2x-6=0的根是多少？如何探求？（为下节的二分法作准备）

（2）如何求解不等式x2-2x-3＞0？今天的学习对此问题的解决有何启示？

三、以素养立意的课堂教学问题思考

以素养立意的课堂教学，应从哪些方面着力？一节课的教学活动是难以把数学核心素养的六个维度一一呈现，因此课堂教学的重点更应落在以下几方面。

1.把握核心知识，突出数学本质

知识是能力的载体，因此教学中首先要落实对核心知识准确把握与理解，落实好教学目标与要求，本节的核心知识是：（1）结合二次函数的图象，认识方程的根与函数的零点的本质联系；（2）理解函数零点的存在条件，会判断函数在某区间内是否有零点。

首先，要让学生认识到一元二次方程根的存在的本质。在讲到一元二次方程与二次函数的联系时，学生会认为，一元二次方程根存在的本质原因是与其判别式有关。教学中教师必须指明，虽然可以用判别式来判断一元二次方程根的存在，但其根存在的实质是相应的函数图象和x轴有交点，没有揭露出方程根存在的本质原因是相应函数的零点的存在，那么就会导致学生对引入函数零点的必要性缺乏深刻的认识，认识不到其一般性和本质性。所以，在研究一元二次方程与其相应函数图象的关系时，让学生理解方程根存在的本质。这样，才能将所得到的判断方程根存在的方法推广到一般情况，对于没有判别式的其他方程就可以根据相应的函数图象来判断了。

其次，让学生理解函数零点的存在条件，会判断函数在某区间内是否有零点。教学中花了较多的时间在这些核心知识的建构与理解上。在练习阶段，进一步体会定理的应用，像判断方程x2-2x-2=0的根时可用图象去处理，令f（x）=x2-2x-2，由于f（0）=-2＜0，加上图象开口向上即可判断，加强数形结合的应用。对于方程2x+x2-2=0的根的判断却遇到了困难，因为函数f（x）=2x+x2-2的图象不容易画，这时启发学生能否像例3的法二那样化为函数y=2x与y=2-x2的图象交点去研究。要让学生明白：求F（x）=f（x）-g（x）的零点与求函数y=f（x）与y=g（x）图象交点的横坐标，其本质是一致的。师生最后再共同归纳出判断函数在某区间内是否有零点的方法，即代数方法：若方程f（x）＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数零点的个数；几何方法：先研究函数的图象与性质，结合零点存在定理判断或者把函数F（x）=f（x）-g（x）的零点转化为求函数y=f（x）与y=g（x）图象交点横坐标，这样可以提升学生对核心知识的整体理解水平。

2.聚焦关键能力，感悟数学思想

本节的教学内容具有丰富的数学思想与方法，因此要从学生发展的角度去设计问题，让学生入宝山而不“空返”，培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养，促进学生“有逻辑地思考”。

问题是数学思考的起点，因此要创设合理情境，在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”，引起学生的认知冲突，激发学生的思维，让学生学会提出问题，学会数学思考。引入环节是这样的：在数学的学习中，许多问题最终是转化为方程求解的问题，并让学生思考：如何解方程lnx＋2x－6＝0？这个方程不能用求根公式求解，怎么办？必须寻找新的更一般的方法，途径在哪里？需要教师启发学生从方程lnx＋2x－6＝0联想函数，以此引导学生探究方程的根与函数的本质联系，让学生思考这种利用函数去研究方程的方法是否具可行性?是否具有一般性？因为每个方程都对应着一个函数，这种思路当然具有一般性。面对新问题，应该怎么办？教师引导学生化生为熟，先从简单的一元二次方程与相应的二次函数开始研究再推广，这其间可以提问学生如何归纳所看到的事实并加以推广，培养其思考问题的习惯，学会如何提出问题，如何解决问题。

用函数的观点看待方程，把解方程f（x）=0的问题转化为研究函数y=f（x）图像与x轴的交点问题，再引入函数的零点概念，这其间经历由“数”到“形”的转化，可引导学生学会用数学符号表达函数图象“穿过”x轴，让学生学会直观想象学会数学表达。经历由“形”到“数”的转化，可以从数和形的角度赋予方程更多的内涵，直至得到定理的严谨表述，可以让学生感知数学直观，学会数学表达、交流，体会蕴含其中的化归与转化、数形结合等数学思想。

本节从特殊的一元二次方程入手，引进函数的零点概念并探究一般方程的根与函数零点的联系；再从特殊的二次函数入手，探究生成函数零点的存在性定理，结合生活并通过正反例子不断加深对定理的理解与辨析，可以让学生学会抽象概括，学会逻辑推理。注重抽象能力的培养，让学生经历零点的概念和定理的形成过程，最后通过总结，再次引导学生学习怎样进行归纳与结构化，让学生经历抽象与逻辑分析过程，体会从特殊到一般研究问题的基本策略，有利于学生养成数学思考的习惯。

促进学生学会数学思考不仅停留在口头上，而应有具体的方式措施，比如引导学生能用数学的方式阅读、表达和交流，能让学生学会迁移创新、学会数学应用。课后要求阅读课本（二分法），学生自己尝试考虑如何求方程lnx＋2x－6＝0的近似解。课后思考（2）：如何求解不等式x2-2x-3＞0？目的是让学生类比本节的思想，寻找求解不等式的一般方法，让学生在更大范围内联系学习，学会迁移创新，完善认知结构，形成函数、方程、不等式的有机整体。

3.发展必备品格，体现素养立意

数学教育不能忽视对学生的人文教育。那么，本节课的数学品格发展应体现在那些方面？首先应该体现在函数与方程的辩证认识上，方程f（x）=0就是函数y=f（x）的值为0状态，方程的根可转化为函数的零点问题。本节中的“数”与“形”、“静态”与“动态”“特殊”与“一般”等都是具有辨证意味的。其次，发展必备品格要用“数学的方式”。即抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在更大范围内进行概括，建立更为一般的统一理论等。教师教学中对具有数学思维方式、观念的建构，进行数学文化的渗透，就是发展学生必备品格的具体措施。教师把这种思考方式传递给学生，就是素养立意的重要体现。

4.素养立意的课堂教学实施建议

在具体的课堂教学中落实核心素养，应该注意从以下几个方面着手：（1）增强核心知识的把握能力。教师应该站在学科知识系统整体的角度，加强课程标准的学习和教材的研究，把握住数学知识发展的脉络，深刻理解数学知识的来龙去脉，挖掘最有育人价值的知识作为核心知识，突出数学本质和数学思想。（2）提升关键能力的聚焦水平。教师首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法和关键能力。学生能力的培养需要因教学内容的不同而有所选择、有所聚焦。每一节课可以培养的学生能力不尽相同，教师应该根据教学内容的不同，将关键能力的培养聚焦于某些能力，并在具体的核心知识的教学中，渗透关键能力的培养。（3）促进必备品格的逐步养成。必备品格的培养对于学科育人来讲尤为重要，但是需要注意的是必备品格的培养不可一蹴而就，不能脱离具体的教学内容而牵强附会地设计并实施，应该做到因需设计。（4）构建灵动智慧的“生本”课堂。教学中应突显数学灵动的特质，即注重本质思想、注重情境创设、注重探究生成、注重逻辑思维、注重创新应用、注重激活课堂，在如何更有效地促进学生学会数学思考的问题上着力，以“慢教学”引出更多的想法。

［1］章建跃.章建跃数学教育随想录［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.

［2］文卫星.让生态课堂成为常态［J］.中学数学教学参考，2017（9）.

［3］陈平.落实核心素养应立意于内化［J］.中学数学月刊，2017（5）.