RN上的分数p-Laplacian方程弱解的存在性*

程伟，柏仕坤，徐家发

(重庆师范大学数学科学学院，重庆401331)

本文主要研究以下RN上的分数p-Laplacian方程弱解的存在性：

(1)

x∈RN

为了获得问题(1)弱解的存在性，我们首先给出本文所使用的分数Sobolev空间Ws,p(RN) 的相关知识，详见文献[1]。

定义Gagliardo半范数如下：

其中u:RN→R是一可测函数。定义分数Sobolev空间

Ws,p(RN){u∈Lp(RN):u是可测的, 且[u]s,p<∞}

鉴于势函数V(x)的出现，考虑如下的子空间：

Xs

并在其上赋予范数

在以下的行文中仅采用范数‖·‖Xs，并简记为‖·‖。

本文中，势函数V(x)满足条件：

1　若干引理与定义

由连续嵌入可得存在τq>0使得

(2)

近年来分数阶Laplacian方程是研究的热点问题，有大量的文献讨论该类方程解的存在性等问题，参见文献[2-9]及其所附参考文献。在文献[3]中，作者采用山路定理，在经典的Ambrosetti-Rabinowitz条件下，获得了分数阶薛定谔方程非平凡弱解的存在性：

(-Δ)su+V(x)u=f(x,u),x∈RN

在文献[4]中，作者采用变化的喷泉定理，在非线性项次临界增长的情况下，获得了文献[3]中问题无穷多能量解的存在性。受以上文献的启发，本文采用山路定理来研究问题(1)非平凡弱解的存在性。为此，本文始终假设非线性项f满足次临界条件：

(H1) 存在d1>0,d2>0使得

|f(x,t)|≤d1|t|p-1+d2|t|q-1,

以下给出问题(1)对应的能量泛函J:Xs→R如下：

(3)

从而由条件(H1)可得

d1|t|p+d2|t|q,∀(x,t)∈RN×R

(4)

结合引理1可知J,ψ都是良定义的，且有如下的引理。

引理2若条件(V)和(H1)成立，则泛函J∈C1(Xs,R),且对任意的v∈Xs,其导数为

(u(x)-u(y))(v(x)-v(y))dxdy+

(5)

并由此可知J的临界点就是问题(1)的弱解。

证明记(Xs)*是Xs的对偶空间，定义算子A:Xs→(Xs)*如下：

〈Au,v〉=

下证A是有界连续算子。事实上，对任意的u,v∈Xs,根据Hölder不等式，有

(u(x)-u(y))(v(x)-v(y))dxdy≤

‖u‖p-1‖v‖

和

‖u‖p-1‖v‖

从而A有界。再证A的连续性。为此需要如下的不等式：

||a|p-2a-|b|p-2b|≤2p-2(p-1)|a-b|·

(|a|+|b|)p-2,∀a,b∈R

令{un}⊂Xs,u∈Xs使得un→u。对任意的v∈Xs,‖v‖≤1,由Hölder不等式可得

c2‖un-u‖(‖un‖p-2+‖u‖p-2)→0,n→∞

和

(un(x)-un(y))-|u(x)-u(y)|p-2·

(u(x)-u(y))||v(x)-v(y)|dxdy≤

(un(x)-un(y))-|u(x)-u(y)|p-2·

c4‖un-u‖(‖un‖p-2+‖u‖p-2)→0,

n→∞

其中ci(i=1,2,3,4)为正常数。

综上可得

从而A是连续的。

接下来首先证明

∀u,v∈Xs

由条件(H1)， 结合(2)式可得

∀u,v∈Xs

(6)

从而根据中值定理和Lebesgue控制收敛定理，对任意的∀u,v∈Xs和s∈[0,1],有

再由(6)式可知ψ′(u)关于v是线性有界的，则ψ′(u)∈(Xs)*。

下证ψ′:Xs→(Xs)*是弱连续的。假设

un→u弱收敛于Xs

(7)

则由引理1可知

(8)

un(x)→u(x),a.e.x∈RN

(9)

注意到，

‖ψ′(un)-ψ′(u)‖(Xs)*=

从而存在v0∈Xs,‖v0‖=1使得

对r=p,q由于un→u强收敛于Lr(RN)中，根据文献[10]中的引理A.1，存在{un}的子序列，仍记为{un}，以及g1∈Lp(RN),g2∈Lq(RN),使得对几乎所有的x∈RN,有

|un(x)|,|u(x)|≤gi(x),i=1,2,∀n∈N

从而根据条件(H1)和Young不等式，可推出

|f(x,un)-f(x,u)||v0|≤

d1(|un|p-1+|u|p-1)|v0|+

d2(|un|q-1+|u|q-1)|v0|≤

2d1|g1|p-1|v0|+2d2|g2|q-1|v0|≤

从而根据Lebesgue控制收敛定理，注意到(9)式，有

这显然是矛盾的。从而l=0,因此

‖ψ′(un)-ψ′(u)‖(Xs)*→0,n→∞

类似可证ψ′是连续的。

综上所述，J∈C1(Xs,R),并且易知J的临界点就是问题(1)的弱解。证毕。

定义1[10-11]设(X,‖·‖)是实Banach空间，J∈C1(X,R) 。称J满足(Cc)条件，如果对于X中的任意序列{un}满足：

J(un)→c,‖J′(un)‖(1+‖un‖)→0,

(n→∞)

则序列{un}均有收敛子列。

引理3[10-11](山路定理) 设(X,‖·‖)是实Banach空间，J∈C1(X,R)满足(Cc)条件以及

(i)J(0)=0且存在β>0,ρ>0使得J(u)≥β,∀u∈X,‖u‖=ρ;

(ii) 存在e∈X,‖e‖>ρ,使得J(e)≤0。

2　主要结果

首先给出本文所使用的假设条件：

(H3) 存在β*∈L1(RN)使得

σ(x,t)≤σ(x,s)+β*(x),∀0≤t≤s或者s≤t≤0

其中σ(x,t)=f(x,t)t-pF(x,t);

(H4)f(x,t)=o(|t|p-2t),t→0,对x∈RN一致成立。

注1条件(H3)是验证(Cc)序列有界的重要条件，被广泛运用到各类文献[7,12-14]。在文献[12]中，作者利用(H3)等条件获得了如下问题非负、非平凡弱解的存在性：

-Δpu-Δqu+a(x)|u|p-2u+

b(x)|u|q-2u=f(x,u),

x∈RN

例如，令F(x,t)=|t|pln(|t|+1),则它满足条件(H3), 却不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件：存在μ>p使得

0<μF(x,t)≤f(x,t)t,∀(x,t)∈RN×R{0}

引理4若条件(V), (H1)-(H3)成立，则泛函J满足(Cc)条件。

证明令{un}⊂Xs是一(Cc)序列，即对任意

c>0,J(un)→c,‖J′(un)‖(1+‖un‖)→0,n→∞

这表明

c=J(un)+o(1),〈J′(un),un〉=o(1),n→∞

从而

(10)

wn→w弱收敛于Xs

(11)

(12)

以下分两种情况讨论。

情况I：w不恒等于0。

记集合Ω≠={x∈RN:w(x)≠0}。显然Ω≠有正的Lebesgue测度，且|un(x)|→∞,∀x∈Ω≠。因而在Ω≠中，由条件(H2)可得

从而根据Fatou引理，有

然而根据(10)式可知

这两式显然是矛盾的。

情况II：w恒等于0。

下证J(tnun)有界。若tn=0,J(0)=0;若tn=1,J(tnun)=J(un)→c,这也是有界的。仅考虑tn∈(0,1),对足够大的n, 有

运用条件(H3)可得

其中c5是一正常数。

故对足够大的n,有

这又是矛盾。

综合上述两种情况可知{un}在Xs中是有界的。从而存在u∈Xs使得在子列意义下，(7)-(9)式成立。下证un→u强收敛于Xs。

注意到

〈J′(un)-J′(u),un-u〉=

〈Aun-Au,un-u〉-〈ψ′(un)-

ψ′(u),un-u〉→0

先证

〈ψ′(un)-ψ′(u),un-u〉→0

(13)

事实上，根据条件(H1), (2) 式, (8)式可得

d2(|un|q-1+|u|q-1)]

|un-u|dx≤

再结合ψ′的定义，可知(13)式成立。

由(13)式可知

〈Aun-Au,un-u〉→0

(14)

注意到在Lp(RN)中un→u，根据Hölder不等式，有

(‖[V(x)]1/pun‖p-‖[V(x)]1/pu‖p)≤

从而

‖[V(x)]1/pun‖p→‖[V(x)]1/pu‖p

(15)

另一方面注意到，对任意的u,v∈Xs,有

(u(x)-u(y))-|w(x)-w(y)|p-2·

(w(x)-w(y))][(u(x)-u(y))-

(w(x)-w(y))]dxdy=

[(u(x)-u(y))-(w(x)-w(y))]dxdy-

(w(x)-w(y))(u(x)-u(y))dxdy+

结合(14)-(15)式可知[un]s,p→[u]s,p,再由(15)式可知‖un‖→‖u‖。因为Xs是局部一致凸空间，

弱收敛+依范数收敛⟹强收敛

所以un→u强收敛于Xs。证毕。

定理1若条件(V), (H1)-(H4)成立，则问题(1)至少存在一个非平凡弱解。

证明由引理4知仅需再证引理3中条件(i), (ii)成立。根据条件(H1), (H4)可得对任意的ε>0,总存在cε>0使得

|F(x,t)|≤ε|t|p+cε|t|q,∀(x,t)∈RN×R

结合(2)式可得

进而引理3(i)成立。

另一方面，由条件(H1), (H2)知，存在足够大的M>0使得

注意到，若M足够大，J(τv0)→-∞,τ→+∞。由此可知存在

参考文献：

[1]NEZZA D I E, PALATUCCI G, VALDINOCI E. Hitchhiker’s guide to the fractional Sobolev spaces [J]. Bull Sci Math, 2012, 136(5):521-573.

[2]TORRES C. On superlinear fractionalp-Laplacian in Rn[J].Mathematics, 2014.

[3]SECCHI S.Ground state solutions for nonlinear fractional Schrödinger equations in RN[J].J Math Phys, 2012, 54(3): 056108-305.

[4]TENG K. Multiple solutions for a class of fractional Schrödinger equations in RN[J].Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2015, 21: 76-86.

[5]GUO T X, SUN H R. Solutions of nonlinear Schrödinger equation with fractional Laplacian without the Ambrosetti-Rabinowitz condition [J]. Applied Mathematics and Computation, 2015, 257(C): 409-416.

[6]XU J, WEI Z, DONG W.Existence of weak solutions for a fractional Schrödinger equation [J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2015, 22 (1/2/3): 1215-1222.

[7] DONG W, XU J, WEI Z. Infinitely many weak solutions for a fractional Schrödinger equation [J]. Boundary Value Problems, 2014, 2014(1): 159.

[8]赵继红，冯兆永. 具有临界增长边界条件的p-Laplace方程解的存在性[J]. 中山大学学报(自然科学版), 2010, 49 (1): 1-4.

ZHAO J H, FENG Z Y.Existence of weak solutions for thep-Laplace equation with critical growth in boundary conditions [J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2010, 49 (1): 1-4.

[9]崔德标. 二阶非自治(q,p) -Laplace 方程组解的存在性[J]. 中山大学学报(自然科学版), 2013, 52 (3): 45-48.

CUI D B. Existence of solution of second-order nonautonomous equations with (q,p) -Laplace [J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2013, 52 (3): 45-48.

[10]WILLEM M. Minimax theorems [M]. Boston: Birkhäuser, 1996.

[12]CHAVES M F, ERCOLE G, MIYAGAKI O H. Existence of a nontrivial solution for the (p,q)-Laplacian in RN without the Ambrosetti-Rabinowitz condition [J]. Nonlinear Anal: Theory, Methods & Applications, 2015, 114: 133-141.

[13]MIYAGAKI O H, SOUTO M A S. Superlinear problems without Ambrosetti and Rabinowitz growth condition [J]. J Differential Equations, 2008, 245(12): 3628-3638.

[14]CHUNG N T, TOAN H Q. On a class of anisotropic elliptic equations without Ambrosetti-Rabinowitz type conditions [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2014, 16(16): 132-145.