一类常微分方程边值问题的格林函数的求法*

孙 赫

(南京财经大学应用数学学院，江苏 南京 210000)

常微分方程边值问题在应用数学、物理学和控制论中有非常广泛的应用.解决常微分方程边值问题的有效方法是，找出该边值问题的格林函数，然后将所考虑的常微分方程边值问题转化为与其等价的积分方程，并证明该积分方程的解的存在性，进而将积分方程的解的存在性问题归结到一个算子的不动点问题.笔者拟研究一类二阶常微分方程在周期边值条件下的格林函数，主要是利用常微分方程的通解来求解格林函数.但随着常微分方程阶数的升高，利用常微分方程的通解来求解格林函数的方法比较复杂，因此，笔者还将讨论高阶常微分方程在不同边值条件下的格林函数的求法.

1 一类二阶常微分方程周期边值问题的格林函数

考虑非线性二阶常微分方程

-u″(t)+2ρu′(t)-ρ2u(t)=f(t,u(t),u′(t))ρ>0，t∈[0,T]

(1)

在周期边值条件

u(0)=u(T)，u′(0)=u′(T)

(2)

下的格林函数.

定理1若u(t)(u(t)∈C2[0,T])是二阶常微分方程周期边值问题(1)和(2)的解，则

其中

是问题(1)和(2)的格林函数.

证明设u(t)(u(t)∈C2[0,T])是问题(1)和(2)的解.由常数变易法可知，方程(1)的通解[1]为

代入条件(2)，可得

将c1，c2代入u(t)，整理后有

其中

是问题(1)和(2)的格林函数.

以上的证明中给出了格林函数的求法[2].

例1求非线性二阶常微分方程边值问题

(3)

的格林函数.

解设u(t)(u(t)∈C2[0,T])是问题(3)的解，由常数变易法，可得

代入周期边值条件u(0)=u(T)，u′(0)=u′(T),可得

将c1，c2代入u(t)，整理后有

其中

是问题(3)的格林函数.

2 一类高阶常微分方程边值问题的格林函数

随着阶数的升高和边值条件的不断变化，利用常微分方程的通解来求解格林函数的方法比较复杂.下面来讨论一类高阶常微分方程在不同边值条件下的格林函数的求解方法.

考虑如下非线性n阶常微分方程边值问题[3]在非共振情况下的解：

(4)

(5)

设

(6)

记

则有

若G(t,s)由(6)式所定义，则有

例2求边值问题

(7)

的格林函数.

解由题可知V1(u)=u(0)，V2(u)=u(1)，V3(u)=u′(0)-u′(1)，解得u‴(t)-u″(t)-2u′(t)=0的基础解系是u1(t)=1，u2(t)=e-t，u3(t)=e2t，相应的Wronsky行列式是W(s)=-6es及

当0≤s≤t≤1时，有

综上可得格林函数为

3 结语

利用常数变易法求得了一类二阶常微分方程周期边值问题的格林函数，并总结出一类高阶常微分方程边值问题的格林函数的求法，很好地揭示了格林函数的实质，便于掌握格林函数的计算和应用.

[1] 宋 燕.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式[J].高等数学研究，2011，14(3)：6-7.

[2] 胡秀林.二阶微分方程边值问题解的等价性及其格林函数[J].合肥学院学报(自然科学版)，2014，24(4)：7-9.

[3] 葛渭高.非线性常微分方程边值问题[M].北京：科学出版社，2007:9-23.