善用类比方法 构建整体框架——“分式”单元教学课的特色与亮点

■卓 斌

此次评优课活动中，13位优秀选手共同执教了“分式”单元教学课。这种课型作为省级比赛课题是第一次，充分体现了主办者的大胆创意与精心设计。为什么要开设“单元教学课”呢？省教研室副主任董林伟先生认为：一是符合学生的认知规律。人类学习的一般规律为：先进行“前建构”，再到局部的深入研究，然后形成整体认识，最后通过反思形成“后建构”。二是这种课型关注学生的核心素养的形成与关键学科能力的培养，把隐藏在显性数学知识背后的隐性知识挖掘、抽取出来。譬如，这节课要着力解决好三个核心问题：1.为什么要学习分式？2.学习分式的哪些内容？3.我们如何学习分式内容？

创新带来了活力与动力，更带来了别样的精彩与创意。所有的参赛教师都能够关注“分式”概念的教学，注重分式知识发生、发展、形成的过程性设计，让学生感受到学习分式知识的必要性与迫切性；都能够注重数学问题的设计，揭示分式概念的本质与内涵，体现分式定义的合理性与科学性；都能够注重数学活动的设计，体现学生数学学习方式的变革，让学生成为课堂学习的主角；都能够注重多媒体技术的辅助作用，让课堂充满时代气息，实现了现代教育技术手段与数学课程的有机整合；都能够注重学习目标的达成，达到预期的教学效果，对新课改的深入实施发挥了良好的示范引领作用。具体的亮点与特色体现在以下几个方面。

1.注重创设问题情境，从生活实际或数学内部提出问题，体现学习新知识的必要性。

分式概念的产生大致有两条途径：一是从生活实际出发，抽取出一定量的数学式子，然后观察这种式子的共同特征，再抽取其本质属性，进而给出“分式”的数学定义。

案例1.列式表示下列问题中的数量：

（1）如果我市人口总数为a人，绿地面积为b平方米，那么该市人均拥有绿地 平方米。

（2）有两块水稻田，一块面积为a公顷，产水稻m千克；另一块面积为b公顷，产水稻n千克，这两块水稻田平均每公顷产水稻 千克。

（3）某市到盐城220千米，一辆客车从该市开往盐城速度为x千米/小时，需要 小时；一辆小轿车也从该市开往盐城，速度比客车每小时快10千米，则小轿车到达目的地需要 小时。

案例2.开门见山地提出问题：两个整数相除，结果有哪些形式？两个整式相除，结果又有哪些形式？

教师引导学生总结：任意两个整数相除不一定是整数，也可能得到分数。并举出正分数、负分数、带分数等这样的运算结果。两个整式相除，有可能得到类似于，，，的一些式子。

基于此，分式概念产生的另一种途径就是从整式四则运算的封闭性出发。整式是分式产生的另一个生长点，整式对于加法、减法、乘法具有封闭性，但是两个整式相除运算时，会产生一类数学式子不在整式范畴内，很值得研究，从而由数学内部运算的封闭性提出了研究分式的必要性。

2.注重抽取分式概念的基本要素，让学生经历分式概念的建构过程，有利于培养学生的数学抽象概括能力。

在给出几个分式之后，如何自然合理地、独立自主地建构分式的概念，成为必须面对的一个难题。其中较好的处理方式之一就是列表对比。

案例3.请观察分数与新式子之间的相同点是什么，分子与分母的不同点有哪些，并完成下表。

类别相同点不同点 分子分母分数分数的形式整数整数新式子整数或者含有字母含有字母

通过列表不难发现，“新式子”具有以下三个特征：一是具有分数的形式；二是分母中含有字母；三是分子中可以是整数，也可以含有字母。从而学生基本上能够自主地给出“分式”的定义：

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫作分式。

3.注重温故知新，借助类比的方法，构建分式内容的整体框架。

单元教学课的“重头戏”就是引领学生建构这一章的主要学习内容。解决这一个问题的关键点就是找到新知识的生长点与培养基，大多数选手不约而同地想到“分数”。通过引导学生回忆小学阶段学习了分数的哪些内容，基本逻辑顺序是什么，最终得到“分数”一章的内容框架为：定义——基本性质（约分、通分）——四则运算（加法、减法、乘法、除法）——应用（解分数应用题）。

借助合情推理中的类比方法，从而得到“分式”一章可能的学习内容有：定义——基本性质（约分、通分）——四则运算（加法、减法、乘法、除法）——应用（解分式方程）。

4.注重设计各类活动，拓展数学学习方式，展示分式内容的学习成效。

在课堂学习中，学生通过数学游戏，动手操作，归纳概括等方式，展示数学思维的本质，以及新授内容的学习成果。

案例4.按照要求拼一拼，想一想。材料为：全等的长方形纸片若干张。操作方法如下：

（1）1张长方形纸片的面积为b m2，一边长为?a m，则另一边长为 m；

（2）2张长方形纸片的面积为2b m2，一边长为2a m，则另一边长为 m；

（3）3张长方形纸片的面积为3b m2，一边长为3a m，则另一边长为 m；

（4）n张长方形纸片的面积为nb m2，一边长为na m，则另一边长为 m。

式的分子、分母同时乘或除以一个不为0的数，分式的值不变。

案例5.数学游戏：小组同学到组长处，从口袋中任意抽取两张卡片，并将抽到的两张卡片组成分式（分数线可直接使用，不需抽取）。接着，选出两个分式，在小黑板上进行加、减、乘、除中的任意一种运算，小组内交流运算法则。

通过一系列数学游戏，学生掌握了分式的概念，设计了分式的各种运算，并且借助小组的力量，讨论了分式四则运算法则。课堂气氛活跃、热烈，生成了很多原生态的成果。

5.注重数学思想方法的渗透，依托类比与转化，解决了新知识的学习方法问题。

13节课的共性优点就是，都能够把类比与转化的数学思想方法贯穿于研究“分式”内容的始终。有的用分数与分式进行类比，有的用整式与分式进行类比，把代数对象的研究经验进行了合理的迁移，取得了良好的效果。

大多数学生通过回忆七年级学习的“一元一次方程”这章内容，能够大胆地为这个方程命名“分式方程”。至于如何解方程，有的学生提出了“根据等式性质，去掉分母，转化为一元一次方程”的构想，既合情合理，又具有创意，展现了活学活用的本领。类似的情景，在分式的通分与约分、分式的四则运算中都有生动的体现，可谓是顺理成章，水到渠成。

6.注重反思与总结，从数学学习的过程与活动中捞足油水，积累了丰富的学习经验。

“编篓编筐，重在收口”。每位选手都十分重视反思与总结环节。有的教师带领学生归纳了分式概念的学习框架：为什么要学习这个概念，学习了分式的哪些内容，采用了什么方法来学习，有的教师帮助学生梳理了按照什么样的思路研究分式这一章知识；有的教师让学生谈一谈这一节课的学习收获及困惑。

当然，课堂教学永远是一门遗憾的艺术。譬如，有个别教师在情境设计方面不够合理，或者不够贴近学生的生活常识，或者选取的实例缺少代表性与普遍性。有个别教师在借班上课的情况下，不能自然地顺应学生的思路展开教学，忽视学生本身的认知需求，更多地按照预设的程序进行教学，师生之间互动不够顺畅等。

结合这次课堂教学观摩活动，给予青年教师三点建议：一是数学教学首先要理解数学。数学教学要理解教材与课程标准，准确把握数学核心概念的内涵与外延。数学是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也。二是数学教学要理解学生。理解学生的认知基础和生活经验，以此找到学生学习新知识的认知起点，进而找到生长点与发展点。充分预测学生在学习新知识时可能遇到的障碍。三是数学教学要理解教学。要站在学生的立场思考问题，更为重要的是你的学生是如何思考问题的，要努力改进学生的学习方式，促进学生的思维发展。这才是数学教学的品质所在，精髓所在！

编后：在本次赛课活动中，江苏省教研室副主任、特级教师、教授级高级教师董林伟表示，“图形的运动”一课涉及的两组活动能充分展示学生学习方式的转变，让学生在生活经验的基础上经历操作、观察、抽象与分析的活动过程，感受图形的运动方式，发展空间观念与抽象能力、感悟基本数学思想。这种基于学生自主的学习活动，不仅能帮助学生获得学习经验，还能帮助学生掌握良好的学习方法，提高数学思维能力，形成数学的核心素养。“分式”单元整体建构教学是本次赛课活动中推出的一种新的教学方式，是数学核心素养的课程目标下教学方式的重要转变。单元整体建构式教学不同于以往以关注知识为主的教学方式，而是引导学生运用已有知识、方法与经验，通过类比的方法，对即将学习的新内容进行整体建构，这种建构不是第一节课内容的教学，也不是整章知识的教学，而是通过教学，引导学生对一章或一个单元进行整体把握。单元整体建构式教学方式契合了新课程改革提出的发展学生核心素养的目标。这次赛课的主题与形式是新教学方式的尝试，必将引领江苏初中数学课改的方向。