关于几何起始内容教学的思考

■徐德同

2017年11月，笔者有幸作为评委参加了江苏省初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动。本届评比活动精彩纷呈，在省内外都产生了较大影响，已成为研究课堂教学问题，探讨课堂教学规律，提高课堂教学质量，促进教师专业发展的重要平台，无论对参赛教师还是观摩教师来说都是一次盛宴，是个人成长最好的催化剂。优课观摩与评比活动“重在学习，重在过程，重在交流，重在研究”的活动宗旨也深入人心。优课观摩与评比活动的课题之一是苏科版《数学》七年级上册第5章第2节“图形的运动”。总体上看，每一位开课的教师都很好地诠释了对几何起始内容和几何教学的理解，让笔者领略了我省各地课堂教学改革的理念和青年教师英姿飒爽的风采，也引发了笔者更多的思考。

一、为什么学几何？

平面几何知识的产生几乎与人类文明史同步，项武义教授在《基础几何学》中说：几何学是人类理性文明对于我们和大自然中的万物万象共存于其中的空间“认识论”。几何学的课题就是研究、理解空间的本质，它是我们研究大自然、理解大自然的自然起点和基石，它也是整个自然科学的启蒙者和奠基者，是理所当然的第一科学。不论是在自然科学的发展顺序上，还是在全局的基本重要性上，几何学都是当之无愧的先行者和奠基者，是其他科学思想和方法论的自然发祥地。

几何学的发展大体上可以分为四个阶段：实验几何、推理几何、坐标几何和向量几何。七年级的孩子学几何入门处于实验几何向推理几何发展阶段。理解几何学的重要性和初、高中几何学习对应的几何发展阶段，对我们的教学是有帮助的。

二、怎么教几何起始课？

教师都有这样的体会，几何难教，难在三处：入门难、论证难、表达难。三难中尤其要处理好入门难。不解决好这个首要的问题，影响学生的不仅是知识的掌握，更有可能导致从开始就产生对几何的畏惧，甚至导致对整个数学学科的抵触，那真是因小失大了。如何进行几何起始课的教学？提几点想法供大家参考。

1.几何起始课教学要从直观感知开始。

几何是有严格逻辑体系的一门学科，它从基本的不加定义的概念和公理出发，以推理为思维方式。演绎几何中的点、线、面是一个抽象的概念，也是基本的概念，是研究几何学的基本元素。从数学的逻辑来讲，应该从基本概念出发，研究它的性质，一直推演下去。为什么？因为几何是公理体系，公理体系就应该以公理为起点。但实践证明，这样做是不行的。开始就是基本元素，就是公理，就是高度抽象的结果，必然会扼杀大多数学生的想象力、扼杀他们对数学美好的感受和期盼，几何就会成为数学学习的瓶颈，学生入门就产生惧怕，学习必然有问题。这就是矛盾。数学的本来逻辑不适应学生的心理基础，怎么办？只好从三维空间开始，让学生感受一下多姿多彩的图形，感受由点、线到面，到图形的运动。因为三维空间是我们现实的生活，是学生首先感知到的。所以，几何学习应该从直观感知开始：感受流星划过的光线，感受雨刷刷过的扇面，感受旋转形成的球面。在几何教学乃至整个数学教学中当孩子的认知水平、理解能力和数学的逻辑结构产生矛盾时，我们往往牺牲数学的逻辑性，首先考虑孩子们已有的认知，要做到先激趣再明理。

总体来说，参加本次优课展示的教师都能注意创设体现数学与生活联系的情境，让学生感悟数学源于生活，源于实际。

2.几何起始课教学要重视抽象和概括。

平面几何中的概念基本上来源于我们生存的空间，我们要通过丰富的、现实的、静态和动态的实例揭示几何概念的形成过程，要让孩子们感悟出实物和数学概念的区别和联系，要能够让孩子们逐步明白所谓抽象和概括就是数学化的过程，也就是忽略事物的颜色、密度、厚度、材质等物理属性而抓住其数学本质属性。知其然更知其所以然，才是教育教学的要义所在。

某日听七年级“线段、射线与直线”一节课，教师采用的是先学后讨论的教学模式，把本节课所学内容先录制成10分钟的微视频，微视频中教师解读了什么是线段、什么是射线、什么是直线，三者有什么样的区别，怎样数线段的个数等，上课前一天的晚上由学生自行观看视频并完成一定量的自学检测。第二天的课主要讨论检测题，教师根据每题的答题情况邀请学生上台评论。学生表现得很踊跃积极，对题目的讨论也很有深度。课后笔者问了某个学生一个问题：“铅笔是线段吗？”他先愣了愣，反问我：“有长度限制吗？”“铅笔当然是定长的。”我说。“那铅笔就是线段。”他很肯定地回答。

这些由现实对象或实物直接抽象而成的概念与现实如此贴近，以致人们常常将它们与现实原型不分彼此、混为一谈。教师在教学过程中要让学生感悟这些概念是对现实对象或实物的“数学化”抽象，体会并逐渐内化这种数学抽象意识很重要。张奠宙先生在《我亲历的数学教育》一书中讲了一个小故事：某知名老教师有位学生是上海饭店的电工，发现在地下室控制10层以上房间空调的温度不准，分析之后，原来是使用三相电时，连接地下室和空调器的电缆长度不同，因而电阻也不同，剩下的问题是：如何用万用表测量这三根电缆的电阻？直接测量显然不行，因为万用表没有这么长的导线。电工在草稿纸上画了一张图，如图1所示，很快想出了办法，在房间里把电缆的上端两两相连，在地下室很容易测出两根电缆的电阻和，分别记为a，b，c，接下来只要解方程组即可。这样的方程谁都会解，但是，能够把实际问题数学化，抽象出图1和方程组，才是真正的创造！史宁中教授也指出：数学发展所依赖的思想本质有三个：抽象、推理和模型。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。

图1

“三根电缆”的故事堪称数学教育的经典之作，它告诉我们数学教育的意义不仅仅在于解题，更重要的是培养学生的数学意识，能用“数学的眼光”去观察思考，这种“眼光”可能就是人们常说的离开学校多少年之后大多数知识都忘了，留下的是深深植根于思维中的“意识”。

3.几何入门课教学要突出动手实践和操作。

数学教育家弗赖登塔尔认为：“数学学习是一种活动，这种活动与游戏、骑自行车是一样的，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示，是学不会的。”《义务教育数学课程标准（2011版）》明确指出：认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流都是学习的重要方式。这就是说数学学习不仅要考虑数学本身特点，更要遵循学生学习数学的心理规律，数学课堂教学要从学生已有的生活经验和知识出发，让学生通过操作—观察—探索新知（解决问题）—总结反思等流程亲历知识产生和发展的过程，在学生获得数学理解的同时，促使他们在问题解决能力、实践能力和创新意识上获得发展。

从本次优课评比中，我们欣喜地看到，参赛教师都能设计贴近于学生的数学活动，让学生通过观察、操作，发现数学知识和数学规律。诸多课堂中，教师通过做一做、拼一拼、看一看、折一折、移一移、转一转等活动，让学生感悟线段、射线和直线的形成过程，感悟图形的三种运动方式。同时，参赛教师设计了各式各样的教具和学具，既简单又有效，既提升了孩子们动手实践能力又提高了学生的学习兴趣，为学生直观形象地理解知识提供了很好的帮助。

4.几何起始课教学要重视三种语言的转换。

数学有三种语言，文字语言、符号语言和图形语言，在平面几何入门课阶段，学生初次接触这些语言，一时难以区分，出现混淆现象在所难免。比如，有的学生虽然能背诵“两点之间线段最短”这句话，但让学生在给定的图形中，找出这句文字对应的图形时，往往不能正确地找出来。几何入门课的教学一定要重视三种语言之间的转换，尤其要着力培养学生依据语言的描述画出图形的能力，依据语言的描述画出图形是动手做的一种重要形式和有效途径。要逐步帮助学生建立“画图是一种解决问题的有效策略”的意识，使学生体会到作图的价值，图形特征越画越深入，数量关系越画越清楚，思路越画越清晰，思考越画越深入。

当然，教无定法，几何入门课教学的话题应该是一个永恒的话题，任何想法都需要考虑几何学科特点：图形直观与演绎推理相结合。图形直观是演绎推理的有力支撑，忽视图形直观，学生的思维特征、几何的教育功能都不能充分展现。荷兰学者赫尔曾提出几何思维发展模式，认为几何学习依次经历直观、分析、抽象、演绎、严密等五个水平，这为我们进行几何入门课的教学也提供了一定的参考。同时我们也要认识到，几何学习需要逻辑思维和形象思维相互协调，它既是演绎推理教学的载体，也是创造性教学的平台。